《理论力学》学习指南

理论力学课程导学静力学基本概念和物体的受力分析平面力系平面力系平衡方程的应用空间力系运动学基础点的合成运动刚体的平面运动质点的运动微分方程动量定理动量矩定理动能定理第一章静力学基本概念和物体的受力分析内容提要一、基本概念1.力物体间相互的机械作用，这种作用使物体的形状（内效应或变形效应）和运动状态（外效应或运动效应）发生改变。2.刚体任何情况下都不会发生变形的物体。刚体是力学中的一种理想化模型。3.平衡物体相对于惯性参考系静止或作匀速直线运动。4.等效力系作用于物体且效应（外效应）相同的力系。二、静力学公理1.二力平衡公理作用于刚体上的两个力，使刚体处于平衡状态的充分与必要条件是：这两个力大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。2.加减平衡力系公理在作用于刚体上的已知力系中，加上或减去任一平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。3.力的平行四边形法则作用于物体上同一点的两个力，其合力也作用在该点上，至于合力的大小和方向则由以这两个力为边所构成的平行四边形的对角线来表示，而该两个力称为合力的分力。4.作用与反作用定律两物体间相互作用的力总是等值、反向、共线且分别作用在这两个物体上。5.刚化公理变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体置换为刚体，则平衡状态保持不变。三、两个推论1.力的可传性原理作用于刚体上的力，其作用点可以沿作用线移动而不改变它对该刚体的作用效果。2.三力平衡汇交定理若刚体受三个力作用而处于平衡，若其中两个力的作用线汇交于一点，则第三个力的作用线也必定汇交于同一点，而且三个共面。四、约束、约束反力及常见的约束类型1.约束限制物体运动的条件称为约束。2.约束反力约束施加于被约束物体的作用力称为约束反力。3.常见的约束类型柔体约束；光滑的点、面、线约束；光滑铰链约束；轴承约束；固定端约束。五、物体的受力图及受力分析的步骤1.物体的受力图表示物体所受全部外力（包括主动力和约束力）的简图。受力图是求解静力学问题的依据。2.受力分析的步骤和注意事项：（1）明确研究对象，将研究对象从它周围物体的约束中分离出来，单独画出其简图；（2）画出研究对象所受的一切主动力和约束反力；（3）约束力要符合约束的类型及其性质；（4）当分别画两个相互作用物体的受力图时，要注意作用力和反作用力的关系；（5）通常应先找出二力构件，画出它的受力图，然后再画其它物体的受力图。

第二章平面基本力系内容提要平面基本力系包括平面汇交力系和平面力偶系。一、平面汇交力系的合成与平衡1．力在坐标轴上的投影与力沿坐标轴的分解（１）力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，如图2-1-1-1所示，它；(2-1)图2-1-1-1图2-1-2-（２）力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分力是一矢量，其合力与分力之间应满足力的平行四边形法则。如图2-1-2-1；(2-2)当时，有；(2-3)由此可见，在一般情况下，力沿坐标轴分解的分力的大小不等于力在坐标轴上投影的大小。只有在直角坐标系中，力在轴上的投影才与力沿该轴上的分量大小相等。如图2-1-3图2-1-（３）合力投影定理合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，即；(2-4)当投影轴x与y垂直时，其合力的大小与方向为，；(2-5)2．平面汇交力系的合成（１）几何法合力矢是力多边形的封闭边，合力作用线通过力系的汇交点。(2-6)（２）解析法当两坐标轴间的夹角为时有(2-7)；(2-8)3．平面汇交力系的平衡（１）平衡的几何条件力多边形自行封闭。（２）平衡的解析条件力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即；(2-9)上式称为平面汇交力系的平衡方程。二、平面力偶系的合成与平衡1.力对点之矩（１）力对点之矩的概念力对点之矩（简称力矩）是力使物体绕矩心转动效应的度量，它在平面问题中是一代数量，其绝对值等于力的大小与力的作用线到矩心的垂直距离的乘积。其正负规定为：若力使物体绕矩心逆时针转动时为正，反之为负。如图2-2-1-1面积(2-10)图2-2-1（２）力对点之矩的解析式设力的作用点Ａ的坐标坐标为、，矩心C的坐标为、，力在正交坐标轴上的投影、，则力对矩心Ｃ的矩为(2-11)如图2-2-1-1（３）合力矩定理合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和，即(2-12)2．力偶的性质及等效定理（１）力偶无合力，即力偶不能与力等效，也不能与力平衡。（２）只要保持力偶的转向和力偶矩的大小不变，力偶可以在其作用面内任意移动和转动或者改变力和力偶臂的大小，而不改变它对刚体的作用效应。（３）作用在同一平面内的两个力偶彼此等效的充要条件是这两个力偶转向相同和力偶矩的大小也相同。3．平面力偶系的合成平面力偶系的合成结果仍然为一力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。即(2-13)4．平面力偶系的平衡平面力偶系平衡的充要条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即(2-14)上式称为平面力偶系的平衡方程。三、平面任意力系向一点简化1.力线平移定理作用在刚体上的力的作用线向刚体上某点平移时，必须附加一力偶，该附加力偶的力偶矩等于原力对该平移点之矩。2．力系的主矢和主矩（１）力系的主矢力系中各力的矢量和称为力系的主矢，即(2-15)（２）力系对简化中心的主矩力系中各力对简化中心的矩的代数和称为力系对简化中心的主矩。即(2-16)在一般情况下，主矢不随简化中心改变而变化，而主矩将随简化中心的位置改变而变化。3．平面任意力系向一点简化根据力线平移定理，可将作用在刚体上的平面任意力系向力系所在的平面内任一点（简化中心）简化，得到一个作用在简化中心的平面汇交力系和一平面力偶系，进而可以合成为一个力和一个力偶，该力矢等于原力系的主矢，该力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。4．平面任意力系的简化结果（１），，此种情况下主矩与简化中心位置无关。（２），。合力=，此时主矢就是合力。（3），，此种情况可进一步简化为第二种情况。（4），，此种情况为平面任意力系的平衡条件。二、平面任意力系的平衡方程１．一矩式平衡方程；；(2-17)２．二矩式平衡方程；；(2-18)其中、两点的连线不能与投影轴垂直。３．三矩式平衡方程；；(2-19)其中、、三点不能在同一直线上。三、特殊情况下的平衡方程１．平面平行力系的平衡方程；(2-20)轴不能与各力相垂直。；(2-21)矩心、的连线不能与各力作用线平行。２．平面汇交力系的平衡方程有以下三种形式；(2-22)；(2-23)轴不能与汇交点和矩心的连线相垂直。；(2-24)矩心、与汇交点不能共线。

第三章平面力系平衡方程的应用内容提要一、物体系统的平衡、静定与静不定概念１．物体系统的平衡（１）外力系统外任何物体作用于该系统的力称为这个系统的外力。（２）内力所研究的系统内部各物体间相互作用的力称为内力，内力总是成对地作用于同一系统上。因此，当取系统为研究对象时，不必考虑这些内力。（３）物体系统的独立的平衡方程总数设系统由n个物体组成。其中n１个物体受平面任意力系作用；n２个物体受平面汇交力系作用；n３个物体受平面平行力系作用；n４个物体受平面力偶系作用。则系统能够列写出的独立的平衡方程的最大数目k为（其中二力构件不算在内）２．静定与静不定概念（１）静定系统系统中所有未知量的总数小于或等于系统独立的平衡方程的总数时，称这系统为静定系统。这类系统仅应用刚体的静力平衡条件，就可以求得全部未知量的解。（２）静不定系统系统中所有未知量的总数大于系统独立的平衡方程的总数时，称这系统为静不定系统或超静定系统。这类问题仅应用刚体的静力平衡条件，不能求得全部未知量的解。3．物体系统的平衡问题常见的物体系统的平衡问题有三类，即（1）构架；（2）多跨静定梁；（3）三铰拱。这三类问题都有其相应的求解特点，在求解过程中能总结归纳。在求解这三类问题时通常要注意以下情况，如固定端约束、铰上受力、分布荷载计算、二力构件等。二、滑动摩擦两个相互接触的物体，当它们发生沿接触面的相互滑动或有相对滑动趋势时，彼此间产生阻碍这个运动或运动趋势的力，称为滑动摩擦力。１．静滑动摩擦力（１）方向与两物体间相对滑动的趋势方向相反。（２）大小由静力平衡方程确定，且有(3-1)其中为最大静滑动摩擦力。２．最大静滑动摩擦力当物块处于临界平衡状态时，静滑动摩擦力达到最大值。最大静滑动摩擦力与物体对支承面的正压力成正比，即(3-2)其中称为静滑动摩擦因数，为无量纲常数，其值与相互接触表面的材料、粗糙度、湿度、温度等有关，一般由实验的方法测定。３．摩擦角与自锁现象（１）全反力支承面的反力包括了两个分量，即法向反力与静滑动摩擦力，这两个力的合力称为全反力，即(3-3)（２）摩擦角在临界状态下，全反力达到极值，该状态下的全反力与支承面在接触点的法线间的夹角称为摩擦角，并且有(3-4)此式说明，摩擦角的正切等于静摩擦因数。（３）自锁现象如果作用于物体的主动力的合力作用线在摩擦角以内，则不论这个力多大，物体总能保持静止状态，这种现象称为自锁。４．动滑动摩擦当两物体接触表面有相对滑动时的摩擦力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力。（１）动摩擦力的方向与相对滑动的速度方向相反。（２）动摩擦力的大小与两物体接触间的正压力成正比，即(3-5)其中称为动滑动摩擦因数，简称动摩擦因数。在一般情况下，动摩擦因数小于静摩擦因数，即三、滚动摩阻当一物体沿另一物体表面滚动或具有滚动趋势时，除可能受到滑动摩擦力外，还要受到一个阻力偶的作用，这个阻力偶称为滚动摩阻。１．滚动摩阻（１）方向与相对滚动方向或相对滚动趋势方向相反。（２）大小由平衡方程式确定，且滚阻力偶矩满足(3-6)其中Ｍmax为滚阻力偶矩的最大值。２．滚阻力偶矩的最大值当物体处于滚动平衡的临界状态时，滚阻力偶矩将将达到最大值。滚阻力偶矩的最大值与两物体间的法向正压力成正比，即(3-7)其中称为滚阻系数，具有长度的量纲，其值可由实验的方法测定。四、具有摩擦的平衡问题的解题方法在具有摩擦的情况下，由静力平衡方程和摩擦的物理方程联合求解。一般说来有以下三种类型：１．判断物体所处的状态它是处于静止、临界或是滑动情况中的哪一种。当它们处于静止或临界平衡状态时，还必须分析其运动趋势，滑动摩擦力和滚阻力偶必须与相对滑动或相对滚动的趋势方向相反。（１）静止状态由静力平衡方程确定摩擦力。（２）临界平衡状态由静力平衡方程和式(3-2)或式(3-7)联立求解，但必须正确分析摩擦力（包括滚阻力偶）的方向。（３）运动状态当物体运动时，其滑动摩擦力为动滑动摩擦力。２．求具有摩擦时物体能保持静止的条件由于静滑动摩擦力的大小可以在一定范围内变化，所以物体有一平衡范围，这个平衡范围有时是用几何位置、几何尺寸来表示的，有时是用力来表示的。３．求解物体处于临界状态时的平衡问题摩擦力由式(3-2)确定，结合静力平衡方程式，可得到唯一解答。在求解方法上，一般有解析法和几何法两种，或者两种方法的混合使用。第四章空间力系内容提要一、空间汇交力系１．空间汇交力系的合成（１）空间力在坐标轴上的投影①一次投影法如图4-1-1-1所示，若已知力与三个坐标轴正向间的夹角分别为、和，则力在三个坐标轴上的投影分别为；；；(4-1)如已知力的三个投影，可以求出力的大小和方向，即大小：(4-2)方向：；；(4-3)②二次投影法已知力与坐标面的仰角以及力在平面上的投影与轴间的夹角，则力在三个坐标轴上的投影分别为，，，如图4-1-1-2所示。图4-1-1-1图4-1-1（２）合力投影定理合力在某轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。即(4-4)同理，(4-5)（３）空间汇交力系的合成空间汇交力系可以合成为一个合力，该合力的作用线通过力系的公共作用点，合力的大小和方向为(4-6)；；(4-7)２．空间汇交力系的平衡（１）空间汇交力系的平衡条件空间汇交力系平衡的充要条件是合力等于零，即(4-8)（２）空间汇交力系的平衡方程根据平衡条件，可得到空间汇交力系的平衡方程为；；(4-9)二、空间力偶系１．空间力偶理论（１）空间力偶的等效条件作用在同一平面内或平行平面内的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等，且力偶的转向相同，则这两个力偶彼此等效。（２）力偶对刚体作用的三要素力偶矩的大小；力偶作用面的方位；力偶的转向。（３）力偶矩矢用一矢量来表示力偶对刚体作用的三要素，矢量的模表示力偶矩的大小，矢量的方位与力偶作用面的法线方位相同，矢量的指向与力偶的转向关系服从右手螺旋规则。力偶矩矢是一自由矢量。２．空间力偶系的合成与平衡（１）空间力偶系的合成空间力偶系的合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即(4-10)合力偶矩矢在某一坐标轴上的投影等于各分力偶矩矢在同一坐标轴上投影的代数和，即(4-11)(4-12)(4-13)则得合力偶矩矢的大小和方向为(4-14)；；(4-15)（２）空间力偶系的平衡空间力偶系平衡的充要条件是合力偶矩矢等于零，即(4-16)空间力偶系的平衡方程：；；(4-17)三、空间任意力系1．空间力对点之矩和对轴之矩（1）空间力对点之矩在空间情况下，力对点之矩是一矢量，可用下式表示：(4-18)其中是矩心到力作用点的矢径，x、y和z是力作用点的三个坐标，、、是力在三个坐标轴上的投影。（2）空间力对轴之矩空间力对轴之矩是一代数量，其正负号按右手螺旋规则来确定，其绝对值等于力在垂直于该轴的平面上的投影对此平面与该轴的交点的矩，即(4-19)除按定义计算外，也可用以下几种方法计算力对轴之矩：①若以知力在坐标轴上的投影、和及该力的作用点的坐标、、，则力对各坐标轴的矩可表示为(4-20)这三式也称为力对轴之矩的解析式。②根据力对点之矩和力对轴之距的关系，即力对某轴之矩等于力对该轴上任一点的矩矢在这轴上的投影，有(4-21)此关系如图4-3-1（3）根据力对轴之矩来计算力对点之矩如已经算出力对各坐标轴之矩、和，且当、、互为正交时，则力对点之矩的大小为(4-22)方向为(4-23)2．空间任意力系的简化、合成与平衡（1）空间任意力系的简化、力系的主矢与主矩空间任意力系向任一点（简化中心）简化后，一般可得作用于点的一个力和一个力偶。这个力的力矢称为该力系的主矢，它等于力系中各力的矢量和，即(4-24)主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。这个力偶矩的矩矢称为力系对简化中心的主矩，它等于力系中各力对简化中心的矩的矢量和，即(4-25)主矩的大小和转向一般随简化中心的位置改变而变化。（2）空间任意力系的合成结果空间任意力系的最后合成结果可能是一个合力，或一个合力偶，或一个力螺旋或力系平衡。（3）空间任意力系的平衡空间任意力系平衡的充要条件是力系的主矢以及对任一点的主矩都等于零，即，(4-26)由此可以得到空间任意力系的平衡方程：；；；；(4-27)

第五章运动学基础内容提要一、研究点的运动的三种基本方法1．矢量法运动方程(5-1)速度(5-2)加速度(5-3)2．直角坐标法运动方程(5-4)速度(5-5)(5-6)加速度(5-7)(5-8)3．自然法运动方程(5-9)速度(5-10)加速度(5-11)二、三种基本方法的特点1．矢量法矢量法中可用一个式子同时表示运动参数的大小和方向，因此表达简明、直接，常用于理论推导。2．直角坐标法直角坐标法是一般常用的计算方法，在点的运动轨迹未知的情况下，可以写出其运动方程，并求得其速度和加速度。因此，当点的运动轨迹未知时，常选用此方法。3．自然法自然法的特点是结合轨迹来确定沿轨迹运动的规律，当点沿曲线运动时，用这种方法较方便。当动点的轨迹已知时，常用此方法。三、点的几种特殊运动1．匀速直线运动当＝常数，而时，点作匀速直线运动。此时(5-12)2．匀速曲线运动当＝常数，而时，点作匀速曲线运动。此时(5-13)3．匀变速曲线运动当＝常数时，点作匀变速曲线运动。此时(5-14)(5-15)(5-16)与同号，为匀加速运动；与异号，为匀减速运动。四、刚体的平动1．刚体的平动定义刚体在运动过程中，若其上任一直线始终保持平行于它的初始位置，称这种运动为刚体的平行移动，简称平动。若平动刚体内各点的轨迹是直线，则称刚体作直线平动；若平动刚体内各点的轨迹是曲线，则称刚体作曲线平动。2．刚体平动的运动特征（1）刚体上各点的轨迹形状相同并彼此平行；（2）在每一瞬时，刚体上各点的速度相等；（3）在每一瞬时，各点的加速度也相等。因此，刚体的平动可以简化为一个点的运动来研究。五、刚体的定轴转动1．刚体定轴转动的定义刚体运动时，若其上（或其延展部分）有一条直线始终保持不动，这种运动称为刚体的定轴转动。2．刚体定轴转动的运动特征刚体定轴转动时，其上各点均在垂直于转轴的平面内绕转轴作圆周运动。3．刚体的转动规律转动方程（5-17）角速度（5-18）角加速度（5-19）此处与都是代数量，当与同号时，刚体作加速转动，当与异号时，刚体做减速转动。4．两种特殊转动匀变速转动（＝常数）：（5-20）匀速转动（，＝常数）：（5-21）5．转动刚体上各点的速度和加速度速度（5-22）加速度，（5-23）全加速度大小和方向（5-24）（5-25）6．转动刚体上各点速度和加速度的矢积表示若沿转轴作出刚体的角速度矢和角加速度矢，则定轴转动刚体内任一点的速度（5-26）加速度（5-27）7．定轴轮系的传动比（5-28）对于外啮合，两轮的转向相反；对于内啮合，两轮的转向相同。第六章点的合成运动内容提要一、基本概念１．静坐标系与动坐标系（１）静坐标系在分析问题过程中，认定不动的坐标系称为静坐标系，简称静系或定系。如不特别声明，通常以固连于地球的坐标系作为定系。（２）动坐标系固连于相对定系运动着的参考体上的坐标系称为动坐标系，简称为动系。２．三种运动（１）绝对运动物体相对于定系的运动称为绝对运动。（２）相对运动物体相对于动系的运动称为相对运动。（３）牵连运动动系相对于定系的运动称为牵连运动。物体的绝对运动可看成是相对运动和牵连运动合成的结果。在研究点的合成运动的过程中，绝对运动和相对运动都是指点的运动，它们可以是直线运动或曲线运动，应该用点的运动学来描述和分析。而牵连运动是指动系的运动，由于动系固连于运动的刚体上，所以牵连运动是刚体的运动，它可以是平动、定轴转动、平面运动或其它更复杂的刚体运动，应该用刚体运动学来描述与分析。３．三种速度和加速度（１）绝对速度（加速度）动点相对于定系的速度（加速度），称为动点的绝对速度（绝对加速度），记为。（２）相对速度（加速度）动点相对于动系的速度（加速度），称为动点的相对速度（相对加速度），记为。（３）牵连速度（加速度）某瞬时动坐标系上与动点相重合的那一点（称为动点的牵连点），相对于定系的速度（加速度），称为动点的牵连速度（牵连加速度），记为。必须清楚牵连速度和牵连加速度的确切含义：是指某瞬时动点的牵连点的绝对速度和绝对加速度。因为不同瞬时，动点分别与动系上的重合点不同，所以牵连点并不是动系上的某一固定点，故牵连速度和牵连加速度不是指动系上任意一点的速度和加速度。除了动系作平动这一特殊情况外，动系上各点相对定系的速度和加速度是不完全相同的，因此，不能把动点的牵连速度和牵连加速度笼统地说成是动系的速度与加速度，而应明确认识到动点的牵连速度和牵连加速度是动系上与动点重合的那个点（真正起牵带动点作用的点）在该瞬时的速度和加速度。二、速度合成定理和加速度合成定理1．速度合成定理在每一瞬时，动点的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和，即（6-1）这个定理对任何形式的牵连运动都适用。式（6-1）是一个矢量方程，在平面问题中共有大小和方向六个要素，若已知其中某四个要素，即可求出其余的两个未知要素。作速度矢量图时，必须注意使图示的、和vr符合，即应为以和为邻边的平行四边形的对角线。2．牵连运动为平动时的加速度合成定理当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，即（6-2）3．牵连运动为转动时的加速度合成定理当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和，即（6-3）其中科氏加速度等于动系转动的角速度矢与相对速度的矢积的两倍，即（6-4）对于平面机构问题，式（6-2）和（6-3）为一矢量方程，其中每一项都有大小和方向两个要素，因为平面矢量方程投影可得两个的代数方程，所以这时只能求得两个未知要素。科氏加速度是由于牵连运动和相对运动相互影响而产生的，即当牵连运动为转动时，牵连速度的变化除决定牵连加速度外，还会引起相对速度的方向发生变化；而相对速度的变化除决定相对加速度外也会引起牵连速度（大小和方向）发生变化，由这两部分相互影响而组成的附加加速度就是科氏加速度。因此，必须注意：当牵连运动为转动时，；（6-5）4．动点、动系和定系的选取原则（１）动点、动系和定系必须分别选取在三个不同的物体或点上。（２）定系一般固连在地球上或固连在相对地球静止的刚体上；而动系则须固连在相对于定系运动着的刚体上。（３）动点不能选在与动系固连的刚体上，否则动点与动系之间不存在相对运动，也就不能构成点的复合运动问题。（４）动点和动系的选取应使动点的相对运动轨迹明显而简单，否则会使加速度问题的分析求解困难或无法进行。第七章刚体的平面运动内容提要一、主要概念1．刚体平面运动刚体运动时，若其上任一点至某个固定平面的距离保持不变，则称该刚体作平面运动。2．刚体平面运动的简化刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面内的运动。3．刚体平面运动方程如图7-1所示，为确定平面图形在平面内的位置，只需给出图形内任一线段的位置，而此线段的位置则可由其上任一点的两个坐标、以及线段与x轴的夹角来表示，所以刚体的平面运动方程为，，(7-1)点称为基点。图7-1图7-24．刚体平面运动的分解引入以基点为原点的平动坐标系后，平面图形的运动可以分解为随着这平动坐标系的平动（牵连运动）和绕这平动坐标系原点的转动（相对运动）。其中，平动部分的速度和加速度与基点的选择有关，而转动部分的角速度和角加速度则与基点的选择无关。二、平面图形上各点的速度1．基点法（合成法）平面图形上任一点的速度等于基点的速度与点随图形绕基点转动的速度的矢量和（图7-2），即(7-2)其中，方向垂直于，并与平面图形的角速度的转向一致。一般选取平面图形上速度已知或较容易求出的点作为基点。2．速度投影法平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，这就是速度投影定理（图（a）（b）图9-37-3（a））。即(7-3)或此定理对于任何形式的刚体运动都成立。根据速度投影定理求速度的方法称为速度投影法。3．速度瞬心法只要平面图形的角速度不为零，则此瞬时图形必定存在唯一的速度为零的点，称为平面图形的瞬时速度中心（简称速度瞬心）。如果取速度瞬心K为基点，则平面图形上任一点的速度等于该点绕速度瞬心的转动速度，即(7-4)其方向垂直于，并与图形的转动方向一致。可见，只要知道某瞬时速度瞬心的位置和图形的角速度，就可以求出该瞬时图形上各点的速度（图7-3（b））。这就是速度瞬心法。平面图形内各点的速度分布就像绕速度瞬心作定轴转动时的情形一样，其大小与各点到速度瞬心的距离成正比（图7-3（b））。在不同情况下，速度瞬心的位置的确定可参看图7-4。图7-4以上求平面图形上点的速度的三种方法，基点法是基本方法，不仅能求解平面图形上各点的速度，而且还能求出图形的角速度。速度投影法和瞬心法是由基点法推导出来的，利用速度投影法时不能求出图形的角速度；速度瞬心法既能求解平面图形上各点的速度，也能求出图形的角速度，但须先正确确定速度瞬心的位置。有些复杂机构，可将三种方法配合使用。三、平面图形上各点的加速度加速度的分析主要用基点法，即平面图形上任一点的加速度等于基点的加速度与点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。即（7-5）其中方向垂直于，并与的转向一致。方向由点指向基点。一般选平面图形上加速度已知或容易求出的点作为基点。因为在一般情况下，将由基点法给出的加速度合成公式，向AB连线上投影时，的投影固然为零，但的投影却不为零，所以、两点的加速度和在其两点连线上的投影不相等，故不存在像速度投影定理那样简单且具一般意义的加速度投影定理。只在平面图形的角速度的瞬时，才有任意两点的加速度在其连线上的投影彼此相等这种瞬时存在的特殊情况，故一般而言，求平面图形上点的加速度没有投影法。另外，与速度瞬心的概念类似，平面图形在每一瞬时，一般也在平面图形内存在一加速度等于零的点，称为平面图形的加速度瞬心。一般情况下，速度瞬心与加速度瞬心不在同一点，而且确定加速度瞬心常很麻烦，故求平面图形上点的加速度时，一般不用加速度瞬心法。第八章质点的运动微分方程内容提要一、动力学基本定律1．第一定律（惯性定律）质点如不受力作用，则保持其运动状态不变，即作匀速直线运动或静止。2．第二定律（力与加速度关系定律）质点受力作用而产生的加速度，其方向与作用力合力的方向相同，其大小与作用力合力的大小成正比，而与质点的质量成反比。3．第三定律（作用与反作用定律）任何两个质点相互作用的力，总是大小相等、方向相反，沿同一直线，且同时分别作用在这两个质点上。第一定律表明：任何物体都具有惯性，而力是改变物体运动状态的原因。第二定律表明：质量是质点惯性大小的度量；物体机械运动状态的改变，不仅决定于作用于物体上的力，同时也与物体的惯性有关。第二定律定量地描述了质点运动状态的改变（通过加速度表示出来）与作用力之间的关系。第一定律可视为第二定律的特殊情况。第三定律表明：两物体间相互作用力的关系；由于作用和反作用，引起了机械运动在相互作用的两物体间发生传递。第三定律不仅对物体处于平衡状态时适用，对物体作任何运动也适用；该定律是研究解决质点系动力学问题的依据。总之，动力学基本定律的实质在于表明质点运动的最基本的规律。二、动力学基本定律的适用范围和参考系1．适用于运动速度远小于光速的宏观物体（质量远大于基本粒子）。2．适用于惯性参考系（即动力学基本定律适用的参考系）。大多数工程问题中，常把与地球固连的坐标系作为惯性参考系。对于需要考虑地球自转影响的某些问题，可取以地球中心作为原点、三个坐标轴分别指向三个恒星的地心坐标系作为惯性参考系。而在天文计算中，则可取以太阳中心作为原点三个坐标轴分别指向三个恒星的日心坐标系作为惯性参考系。三、质点动力学基本方程动力学基本定律中的第二定律建立了作用于质点的合力和质点的运动状态变化（通过加速度表示出来）以及质点的质量m三者间的定量关系，即（8-1）它是研究质点动力学问题的基础，故称其为质点动力学基本方程。工程实际中的大多数问题常把与地球固连的坐标系作为惯性参考系，其常以其为静参考系。因此，动力学基本方程（8-1）中的加速度应为质点的绝对加速度。四、质点运动微分方程1．矢量形式（8-2）其中是质点对固定点的矢径。2．直角坐标形式（8-3）其中是合力在固定直角坐标系各轴上的投影；是质点的相应坐标。3．自然形式（8-4）其中，，是加速度在切线、主法线和副法线正向的投影；、和是合力在相应轴上的投影。根据问题的需要，还可以有其它坐标形式的质点运动微分方程，如极坐标形式、柱坐标形式、球坐标形式等。当质点作一般的曲线运动，特别是当质点作直线运动时，为简便宜采用直角坐标形式求解；而当质点沿已知曲率半径的曲线运动，特别是当质点沿已知半径的圆周运动时，则宜采用自然形式进行求解。五、质点动力学的两类基本问题1．第一类问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。2．第二类问题：已知作用于质点上的力，求质点的运动。求解第一类问题，一般只需进行微分运算；而求解第二类问题，一般要进行积分运算，属于微分方程的积分问题，应由运动的初始条件（即质点运动初瞬时的坐标和速度）确定积分常数。另方面还应根据力的性质（常力或时间、距离、速度等的函数），而把加速度灵活地改写为相应的形式，如，等，便于分离变量进行积分。六、质点相对运动的动力学基本方程（8-5）其中为牵连惯性力；为科氏惯性力。式（8-5）是质点对于非惯性坐标系的相对运动微分方程，它描述了质点在相对运动中的基本规律。七、牵连惯性力与科氏惯性力的两重性牵连惯性力与科氏惯性力统称为欧拉惯性力，它具有虚假的和真实的两重性。1．虚假性表现在：（1）它并非像真实力那样是物体与物体之间相互的机械作用，它们既没有施力物体，也不存在相应的反作用力，因而无法用牛顿第三定律加以解释。（2）实际作用于质点的力不因坐标系的不同选择而异，而牵连惯性力与科氏惯性力则随坐标系的不同选择而变。2．真实性表现在：当观察者处于非惯性参考系中时，就能感受到这种惯性力的存在，并可通过仪器加以测量，它具有与真实力一样的动力学和静力学的效应。它在质点相对运动中的表现和实际作用的力完全一样，可以与实际的力一样来进行分解、合成、简化等方面的处理。八、质点相对运动的几种特殊情况1．相对于平动坐标系的运动此时，因为平动坐标系的角速度，所以，式（8-5）成为（8-6）2．相对于惯性坐标系的运动此时，因为，动系的角速度，所以，，式（8-5）成为（8-7）3．相对平衡此时，所以式（8-5）成为（8-8）4．相对静止此时，，所以，式（8-5）成为（8-9）第九章动量定理内容提要一、动量1.质点的动量质点的质量与其速度的乘积称为质点的动量。动量是矢量，其方向与质点速度的方向。2.质点系的动量质点系内各质点动量的矢量和称为该质点系的动量主矢，简称为质点系的动量，它等于质点系的质量Ｍ与其质心速度的乘积，即（9-1）二、力的冲量力的冲量表示力在一段时间间隔内对物体作用的累积效应。力与其作用时间的乘积称为力的冲量，用表示。冲量是矢量，其方向与力的方向一致。力的元冲量（9-2）它的方向与力的方向相同。力在时间间隔内的冲量为（9-3）三、质点的动量定理1．质点动量定理的微分形式质点动量对时间的导数等于作用于它的力，即（9-4）或质点动量的微分等于作用力的元冲量，即（9-5）2．质点动量定理的积分形式质点的动量在一段时间间隔内的变化量，等于作用在质点上的力在该段时间间隔内的冲量，又称为质点的冲量定理，即（9-6）四、质点系的动量定理1．质点系动量定理的微分形式质点系的动量对时间的导数，等于作用在该质点系的所有外力的矢量和（外力的主矢），即（9-7）将上式投影到固定直角坐标轴系上，有（9-8）即质点系的动量在固定轴上的投影对时间的导数，等于该质点系的所有外力在同一轴上投影的代数和。2．质点系动量定理的积分形式质点系的动量在一段时间内的变化量，等于作用在该质点系的所有外力在这段时间内冲量的矢量和，又称为质点系的冲量定理，即（9-9）将上式投影到固定直角坐标轴系上，有（9-10）即质点系动量在某固定轴上投影的变化量，等于作用于质点系的外力在对应时间间隔内冲量在同轴上的投影的代数和。动量定理建立了动量与外力冲量之间的关系，因此涉及到速度、力和时间的动力学问题，应用动量定理求解较简便。质点系动量定理表明，只有作用于质点系上的外力才能改变质点系的动量。作用于质点系的内力不能改变整个系统的动量，但能改变质点系内各部分的动量。五、质点系动量守恒定理如果作用于质点系的所有外力的矢量和（或在某固定轴上投影的代数和）恒等于零，则质点系的动量（或在该轴上的投影）保持不变，即如果，则常矢量如果，则常量（9-11）动量守恒定理可用于求解系统中一部分的速度，或与速度有关的量。六、质心运动定理1．质心运动定理质点系的总质量与其质心加速度的乘积，等于作用在该质点系上所有外力的矢量和（外力的主矢），即（9-12）将上式投影到固定直角坐标轴系上，有（9-13）或投影到自然轴系上，有（9-14）质心运动定理建立了质点系质心的运动与其所受外力之间的关系。质心的运动与质点系的内力无关，而只与外力系的主矢有关。内力虽然不能改变质点系质心的运动，但内力可以改变质点系中各个质点的运动。质心运动定理常用来求解作用于系统上的未知力，尤其是约束反力。2．质心运动守恒定理如果作用于质点系的所有外力的矢量和（主矢）恒等于零，则质心作惯性运动；若开始静止，则质心位置始终保持不变；如果作用于质点系的所有外力在某固定轴上投影的代数和恒等于零，则质心的速度在该轴上的投影是常量；若开始速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。第十章动量矩定理内容提要一、动量矩1.质点对固定点的动量矩质点的动量对某固定点之矩，称为质点对于点的动量矩，即（10-1）它是定位矢量，其方向垂直于质点的矢径与它的动量所构成的平面，指向由右手法则确定。2.质点系对固定点的动量矩质点系内各质点对某固定点的动量矩的矢量和，称为这质点系对该点的动量主矩或动量矩，即（10-2）将上式投影到以点为原点的固定直角坐标轴上，有（10-3）即质点系对某固定轴的动量矩，等于质点系中各质点的动量对此轴之矩的代数和。（３）定轴转动刚体对转轴的动量矩作定轴转动的刚体对转轴的动量矩，等于这刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积，即（10-4）（４）质点系对任一固定点的动量矩与相对于质心的动量矩间关系质点系对任一固定点的动量矩，等于其质心的动量对该点的矩与质点系相对于质心的动量矩之矢量和，即（10-5）式中rC为质心对定点的矢径。二、动量矩定理1．质点的动量矩定理质点对某一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在该质点上的力对同一点的矩，即（10-6）将上式投影到以点为原点的固定直角坐标轴上，得（10-7）即质点对某固定轴的动量矩随时间的变化率，等于作用于质点的力对同一轴的矩。2．质点系的动量矩定理质点系对某一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在该质点系的所有外力对同一点的矩的矢量和（主矩），即（10-8）将上式投影到以为原点的固定直角坐标轴上，得（10-9）即质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的全部外力对同一轴的矩的代数和。3．质点系动量矩守恒定理如果作用于质点系的所有外力对某固定点（或固定轴）的主矩恒等于零，则质点系对该点（或该轴）的动量矩保持不变，即如果，则常矢量（10-10）如果，则Lx＝常量（10-11）4．质点系相对于质心的动量矩定理质点系在相对于以质心速度作平动的坐标系中运动时，质点系各点的相对动量对质心的主矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩，即（10-12）应用动量矩定理时，一般应取固定点或固定轴、质心为其矩心或矩轴。对于任意点或轴一般不具有上述动量矩定理的简单形式。对于刚体的加速度瞬心，或加速度指向质心的速度瞬心，其动量矩定理的形式与固定点一样。动量矩定理主要用于求解带有转动的动力学问题。应用时质点系各质点对于所取固定轴的角速度必须是在同一惯性坐标系中的角速度，即都必须是绝对角速度。不论各质点的动量对固定轴取矩，还是各外力对该轴取矩，均应采用同一正负号规则。通常取与转动角速度同转向的动量矩或力矩为正值，反之为负值较为简便。三、刚体定轴转动微分方程定轴转动刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的外力对转轴的主矩，即（10-13）四、刚体平面运动微分方程刚体的平面运动可分解为随质心的平动和绕质心的转动。随质心的平动由质心运动定理来描述，绕质心的转动由相对于质心的动量矩定理来描述，于是得刚体平面运动微分方程（10-14）第十一章动能定理内容提要一、力的功力的功是力在一段路程中对物体作用的累积效应。1．常力在直线路程中的功为（11-1）其中为常力与运动方向的夹角。2．变力在曲线路程中的功：变力的元功（11-2）变力在路程中的功（11-3）其解析式为（11-4）一般而言，功的计算是一个曲线积分，它不仅与力的作用点的始末位置有关，而且与其运动路径有关。3．几种常见力的功：（1）重力的功重力的功等于物体的重量与其重心在运动始末位置的高度差的乘积，即（11-5）（2）弹性力的功弹性力的功等于弹簧初变形的平方和末变形的平方之差与弹簧刚度系数乘积的一半，即（11-6）（3）牛顿引力的功为（11-7）（4）定轴转动刚体上外力或力偶的功作用于定轴转动刚体上的力的功等于该力对转轴的矩与刚体微小转角的乘积的积分，即（11-8）（5）约束反力的功理想约束的约束反力的功等于零。常见的理想约束有光滑支承面、铰链、始终拉索而不可伸长的绳索、刚性连接等。物体沿固定面作纯滚动时，摩擦力不做功。二、功率力在单位时间内所做的功，称为功率，即（11-9）或（11-10）功率方程（11-11）三、动能动能是物体机械运动的一种度量，它不仅能表示机械运动的强弱，而且可用以研究机械运动与其它形式的运动之间的转化问题。动能恒为正值。1．质点的动能质点的质量与其速度平方乘积的一半称为质点的动能，即（11-12）2．质点系的动能质点系内所有质点动能的总和称为质点系的动能，即（11-13）3．刚体的动能：（1）平动刚体的动能平动刚体的动能等于刚体的质量与速度平方的乘积之半，即（11-14）（2）定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方的乘积之半，即（11-15）（3）平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能等于它以质心速度作平动时的动能与相对于质心轴转动时的动能之和，即（11-16）（4）柯尼西定理质点系在绝对运动中的动能等于它随质心一起平