球面几何选修球面三角形中边角的基本性质市公开课金奖市赛课一等奖课件

导入新课球面三角形是一类特殊三角形，也含有三角形一些通性，一样，在生活当中我们也能够发觉它应用.一些天然矿石含有球面三角形态汽车标志设计一些精美饰品第1页在前面所学平面几何知识中，我们已经知道，在平面三角形中：三角形三内角和等于180°（在球面上，三角形内角之和大于180°）；三角形一个外角等于和它不相邻两个内角之和；第2页三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形一个外角大于任何一个和它不相邻内角；在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.第3页那么对于球面三角形，这些性质是否依然成立呢？下面，我们将对球面三角形一些基本性质进行学习.第4页2.3球面三角形边角基本性质第5页教学目标

【知识与能力】掌握球面三角形基本概念.熟记球面三角形中边角基本性质.

【过程和方法】利用所学过平面三角形边角关系进行知识迁移，掌握球面三角形基本性质.经过对球面三角形基本性质证实，加深对知识了解.第6页

【情感态度和价值观】经过平面几何向空间几何过渡，培养学生空间想象能力，和知识迁移能力.在球面三角形边角性质证实过程中，锻炼逻辑思维能力.第7页重点球面三角形定义、概念，了解球面三角形中边角对应关系.难点球面三角形边角性质证实.教学重难点第8页教学内容球面上，顺次连接不在同一个大圆上三个点球面线段所组成图形，称为球面三角形.球面三角形定义：知识回顾这三条球面线段叫做球面三角形边；这三个点叫做球面三角形顶点；每两条球面线段所形成球面角，叫做球面三角形内角.AOBC第9页基本性质1球面三角形两边之和大于第三边.即在球面△ABC中，a+b>cc+a>bb+c>a第10页证实：如图，在球面△ABC中，将A,B,C三个顶点分别与球心O相连，从而得到三面角O-ABC.由三面角性质（三面角任意一个面角小于其它两个面角之和而大于其差），可得Ð

AOB+Ð

AOBÐ

BOC>Ð

AOC又在单位圆中弧长与其对应圆心角弧度数相等，所以c+a>b同理，可证实a+b>c,b+c>a第11页由球面三角形基本性质1，我们能够推知，OABCabc球面三角形两边之差小于第三边若在球面三角形中，三边关系为a>b>c则a-b<ca-c<bb-c<a第12页基本性质2球面三角形中，等边所对角相等，等角所对边相等.FOAEDBCbac即在球面ABC中，b=cÐB=ÐCÐB=ÐCb=c第13页证实：FOAEDBCbac先证实在球面△ABC中，若b=c则∠B=∠C，如图，过顶点A作平面OBC垂线交该平面于点D，过点D分别作OB,OC垂线DE,DF.因b=c，所以∠AOE=∠AOF又因为OA=OA,所以Rt△AEO≌Rt△AFO,第14页所以∠AED=∠AFD,又因为∠AED=∠B,∠AFD=∠C,从而有∠B=∠C.所以AE=AF,又因为AD=AD，所以

Rt△ADE≌Rt△ADF,下面再证实由∠B=∠C推出b=c,第15页观察球面△ABC球极三角形，因为球极三角形边与原三角形对应角之和为π，所以b'=c'.由上面证实可得∠B=∠C再由球极三角形边与原三角形对应角之和为π，就可得b=cFOAEDBCbac第16页基本性质3球面三角形中，大角对大边，大边对大角.即在球面ABC中，b>aÐB>ÐAÐB=ÐAb>aABCbca第17页则由基本性质2，可推知,依据基本性质1，ABCDabc证实：在球面三角形ABC中，设ÐABC=ÐBAC作球面角∠ABD,使其等于∠A，ADBD=有b=+=+>aADDCBDDC第18页证实：因为a，b，c均为正，故a+b+c＞0°,又由立体几何得知凸多面角各面角之和小于360°，所以课外扩展经过前面学习，我们知道了球面三角形中边角对应关系，现在我们来学习两条相关球面三角形中边、角角度性质.球面三角形三边之和大于0°而小于360°.

0<a+b+c<360°∠AOB+∠BOC+∠COA＜360°OABCabc第19页证实：由极三角形和原三角形关系得：a'+A=180°，b'+B=180°，c'＋C=180°，即A+B+C=540°-(a'+b'+c')但依据定理2有：0°＜a'＋b'＋c'＜360°所以上式化为180°＜A+B+C＜540球面三角形三角之和大于180°而小于540°.OABCabc第20页课堂小结1.球面三角形两边之和大于第三边.由三面角性质，两面角之和大于第三个面角，并由单位球面中，弧长与圆心角对应关系可知.2.球面三角形等边对应角相等，等角对应边相等.经过作图，添加辅助线，结构全等三角形来证实边角间对应关系.第21页3.球面三角中，大边对大角，大角对大边利用前面基本性质1、性质2能够推知，边（角）越大，对应角（边）也越大.第22页解析：本小题考查球截面圆性质、球表面积，基础题.解：设球半径为R，圆M半径为r，则πr2=3π，即r2=3由题得R2-（）2=3，所以R2=44πR2=16π.R高考链接1.（09全国卷）已知OA为球O半径，过OA中点M且垂直于OA平面截球面得到圆M，若圆M面积为3π，则球O表面积等于___________.2第23页到圆C.若圆C面积等于，则球O表面积等于________.7π42.(09全国卷)设OA是球O半径，M是OA中点，过M且与OA成45°角平面截球O表面得答案：8π解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由47π.8)144(4422pppp===RS第24页3.(09全国卷)直三棱柱ABC-A1B1C1各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2,Ð=BAC则此球表面积等于________.120°解:在△ABC中,AB=AC=2,ÐBAC=120°可得,BC=23由正弦定理,可得△ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O′，球心为O，在RT△OBO′中，易得球半径R=5，故此球表面积为4πR2=20π.答案：20π第25页弧长是（为R地球半径），则这两地间球1．三个球半径之比为1:2:3，那么最大球体积是其余两个球体积和_______倍；2.北纬60°圈上M,N两地，它们在纬度圈上πR2面距离为______．课堂练习第26页3.在半径为13cm球面上有A,B,C三点，其中AB=BC=AC=12cm，求球心到经过这三点截面距离.ABCO第27页两点劣弧长为（R为地球半径），求OO/AB24RpA,B两点间球面距离.4．在北纬45°圈上有A,B两点，设该纬度圈上A,B第28页5．已知过球面上A,B,C三点截面和球心距离为球半径二分之一，且AB=BC=CA=2，求球表面积．OAO/BC第29页6．半球内有一个内接正方体，正方体一个面在半球底面圆内，若正方体棱长为，求球表面积和体积．A6OBCD第30页所以，球心到截面距离为11cm.3.解：设经过A,B,C三点截面为⊙O′,设球心为O，连结OO′，则OO′⊥平面ABC,∵AO′=×12×=4,∴=-=11OOOAOA22¢¢1.2.33p习题答案3232第31页∴a=，∴AB=r=R，∴△ABC中,∠AOB=，所以,A,B两点球面距离等于R说明：要求两点球面距离，必须先求出两点直线距离，再求出这两点球心角，进而求出这两点球面距离.4.解：设北纬45°圈半径为r，则r=，设O′为北纬45°圈圆心，∠AOB′=，a2424∴ar=πR，∴Ra=πR，2224π

223π3π第32页64解：设截面圆心为O'，连结O'A，设球半径为R，则323==2

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232O'A··在直角△O'OC中，OA2=O'A2+O'O232314R