3.6带电粒子在有界磁场中运动问题分类解析

.PAGE.带电粒子在有界磁场中运动问题分类解析刘玉平一、教学目标〔一知识与技能1、掌握带电粒子在有界磁场中做匀速圆周运动的规律。2、灵活运用带电粒子在有界磁场中运动的规律解决有关问题。〔二过程与方法1、通过综合运用力学知识、电磁学知识解决带电粒子在磁场中的问题。2、培养学生的分析推理能力。〔三情感态度与价值观通过学习,充分理解带电粒子在有界磁场中运动的规律,体会科技创新的思维与历程。二、重点与难点：重点：运用带电粒子在有界磁场中做匀速圆周运动的规律解决有关问题。难点：灵活运用带电粒子在有界磁场中运动的规律解决有关问题。三、教学方法：讲授与探究四、教学过程：一、带电粒子在半无界磁场中的运动[例1]如图所示,真空室内有匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小B＝0.60T,磁场内有一块平行感光板ab,板面与磁场方向平行,在距ab的距离l＝16cm处,有一个点状的α粒子发射源S,它向各个方向发射α粒子,α粒子的速度都是v＝3.0×106m/s．已知α粒子的电量与质量之比q/m＝5.0×107C/kg,现只考虑在纸平面中运动的α粒子,求ab上被解析：洛伦兹力是α粒子作圆运动的向心力；计算出圆半径后,确定圆心的位置就成为解题的关键,α粒子轨迹与ab相切,以及α粒子离S最远的距离为2r是判定最远点的条件．如图11-3-2．α粒子带正电,用左手定则判定α粒子在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动,用r表示轨道半径,有Bqv＝m,解得,可见2r>l>r．因向不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S,由此可知,某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切,则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点,为定出P1的位置,可作平行与ab的直线cd,cd到ab的距离为r＝0.10m．以S为圆心,r为半径,作弧交cd于Q点,过Q作ab的垂线,它与ab的交点即为P1．由图中几何关系得：．再考虑N的右侧,任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2r,以2r为半径,S为圆心作圆,交ab于N右侧的P2点,P2即为α粒子在右侧能达到的最远点．由几何关系得：．所求长度为：P1P2=NP1+NP2=0.20m．二、带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动图3[例2]长为间距为的水平两极板间,有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感强度为,两板不带电,现有质量为,电量为的带正电粒子〔重力不计,从左侧两极板的中心处以不同速率水平射入,欲使粒子不打在板上,求粒子速率应满足什么条件．图3解析：如图3,设粒子以速率运动时,粒子正好打在左极板边缘〔图４中轨迹１,则其圆轨迹半径为,又由得,则粒子入射速率小于时可不打在板上．设粒子以速率运动时,粒子正好打在右极板边缘〔图４中轨迹２,由图可得,则其圆轨迹半径为,又由得,则粒子入射速率大于时可不打在板上．综上,要粒子不打在板上,其入射速率应满足：或．图4[例3]如图4所示,A、B为水平放置的足够长的平行板,板间距离为,A板中央有一电子源P,在纸面内能向各个方向发射速度在范围内的电子,Ｑ为P点正上方B板上的一点,若垂直纸面加一匀强磁场,磁感应强度,已知电子的质量,电子电量,不计电子的重力和电子间相互作用力,且电子打到板上均被吸收,并转移到大地．求：图4〔1沿PＱ方向射出的电子击中A、B两板上的范围．〔２若从Ｐ点发出的粒子能恰好击中Ｑ点,则电子的发射方向〔用图中角表示与电子速度的大小之间应满足的关系及各自相应的取值范围．解析：如图5所示,沿ＰＱ方向射出的电子最大轨迹半径由Bev=mv2/r可得rm=mvm/eB,代入数据解得rm＝2×10-2m＝2d．该电子运动轨迹圆心在Ａ板上Ｈ处,恰能击中Ｂ板Ｍ处．随着电子速度的减少,电子轨迹半径也逐渐减小．击中Ｂ板的电子与Ｑ点最远处相切于Ｎ点,此时电子的轨迹半径为,并恰能落在Ａ板上Ｈ处．所以电子能击中Ｂ板ＭＮ区域和Ａ板ＰＨ区域．图5在ＭＦＨ中,有,图5,,．图6电子能击中Ｂ板Ｑ点右侧与Ｑ点相距的范围．电子能击中Ａ板Ｐ点右侧与Ｐ点相距的范围．图6〔２如图6所示,要使Ｐ点发出的电子能击中Ｑ点,则有,．解得．取最大速度时,有,；取最小速度时有,．所以电子速度与之间应满足,且,．[例4]如图11-3-16所示,一足够长的矩形区域abcd内有磁感应强度为B,方向垂直纸面向里的匀强磁场,现从ad边的中点O处,以垂直磁场且跟ad边成30º角的速度方向射入一带电粒子．已知粒子质量为m,带电量为q,ad=l,不计粒子重力．〔1若粒子从ab边上射出,则入射速度v0的范围是多少？〔2粒子在磁场中运动的最长时间为多少？解析：粒子在矩形区域内运动的边界状态如图：由几何关系：r1=L,r2=L/3粒子做匀速圆周运动qvB=mv2/R即r=mv/qB对r1=L有：v1=qBL/m对r1=L/3有：v2=qBL/3m讨论：〔1当v0>qBL/m时粒子在边上射出磁场,射出范围为EF段：〔2当时,粒子在边上的GH段射出,射出段GH的范围：〔3当0<v0<qBL/3m时,粒子在ab边上的OM段上射出．射出段OM的范围：当粒子从M点射出时,旋转角度最大为5π/3,在磁场中运动时间最长：图7三、带电粒子在"三角形磁场区域"中的运动图7图8[例4]在边长为2a的三角形ABC内存在垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场,有一带正电q,质量为的粒子从距Ａ点的Ｄ点垂直AB方向进入磁场,如图7所示,若粒子能从AC间离开磁场,求粒子速率应满足什么条件及粒子从AC间什么范围内射出．图8解析：如图8所示,设粒子速率为v1时,其圆轨迹正好与AC边相切于E点．由图知,在中,,,图9由得,解得,图9则．又由得,则要粒子能从AC间离开磁场,其速率应大于v1．如图9所示,设粒子速率为v2时,其圆轨迹正好与BC边相切于Ｆ点,与AC相交于G点．易知Ａ点即为粒子轨迹的圆心,则．又由得,则要粒子能从ＡＣ间离开磁场,其速率应小于等于．综上,要粒子能从ＡＣ间离开磁场,粒子速率应满足．粒子从距Ａ点的间射出．[例5]边长为100cm的正三角形光滑且绝缘的刚性框架ABC固定在光滑的水平面上,图内有垂直于框架平面B＝0.5T的匀强磁场．一质量m=2×10-4kg,带电量为q=4×10－3C小球,从BC的中点小孔P处以某一大小的速度垂直于BC边沿水平面射入磁场,设小球与框架相碰后不损失动能．求：〔1为使小球在最短的时间内从P点出来,小球的入射速度v1是多少？〔2若小球以v2=1m/s的速度入射,则需经过多少时间才能由P点出来？解析:〔1根据题意,粒子经AB、AC的中点反弹后能以最短的时间射出框架,即粒子的运动半径是0.5m．由牛顿第二定律得：qvB=mv2/R即R=mv/qB代入数据解得v1=5m/s〔2当粒子的速度为1m/s时,其半径R2=0.1m,其运动轨迹如图,可知粒子在磁场中运动了6.5个周期．由T=2πR/v=2πm/qB=0.2πs故经t=1.3πs粒子能从P点出来．练习:1．如图所示有一边界为矩形的磁场,一带电量为q、质量为m的带负电的粒子到达坐标中〔a,b点时速度为v,方向与x轴方向相同,欲使粒子到达坐标原点时速率仍为v,但方向与x轴方向相反,则所在磁场的方向应为_____,磁感应强度的大小B＝________,在图中标出磁场分布的最小范围．解析：根据题目要求,带负电粒子在〔a,b点时所受的洛伦兹力方向沿y轴负方向,根据左手定则知磁场应垂直于纸面向里．为使带电粒子过坐标原点时沿x轴负方向,则带电粒子圆周运动的直径应为b,且磁场应分布在直线x＝a的右侧．根据洛伦兹力提供向心力得由Bqv＝mv2/<b/2>得B＝2mv/qb磁场最小分布在长为b、宽为b/2的矩形区域内．2．一个负离子,质量为m,电量大小为q,以速率V垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中<如图1>.磁感应强度B的方向与离子的运动方向垂直,并垂直于图1中纸面向里.<1>求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离.<2>如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P,证明:直线OP与离子入射方向之间的夹角θ跟t的关系是θ=qBt/2m。解析：<1>离子的初速度与匀强磁场的方向垂直,在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动.设圆半径为r,则据牛顿第二定律可得：qvB=mv2/r解得r=mv/qB如图所示,离了回到屏S上的位置A与O点的距离为：AO=2r,所以AO=2mv/qB<2>当离子到位置P时,圆心角<见图2>：,因为,所以θ=qBt/2m。3．长为L的水平极板间,有垂直纸面向内的匀强磁场,如图所示,磁感强度为B,板间距离也为L,板不带电,现有质量为m,电量为q的带正电粒子<不计重力>,从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是<AB>A．使粒子的速度V<BqL/4m；B．使粒子的速度V>5BqL/4m；C．使粒子的速度V>BqL/m；D．使粒子速度BqL/4m<V<5BqL/4m。解析：由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏,而作匀速圆周运动,很明显,圆周运动的半径大于某值r1时粒子可以从极板右边穿出,而半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出,现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最大值r2,由几何知识得：粒子擦着板从右边穿出时,圆心在O点,有：r12＝L2+<r1-L/2>2得r1=5L又由于r1=mV1/Bq得V1=5BqL/4m,∴V>5BqL/4粒子擦着上板从左边穿出时,圆心在O＇点,有r2＝L/4,又由r2＝mV2/Bq=L/4得V2＝BqL/4∴V2<BqL/4m4．初速度为零的离子经电势差为U的电场加速后,从离子枪T中水平射出,经过一段路程后进入水平放置的两平行金属板MN和PQ之间,离子所经空间存在一磁感强度为B的匀强磁场．如图1所示〔不考虑重力作用,离子的比荷〔q、m分别是离子的电量和质量在什么范围内,离子才能打在金属板上？解析：设从离子枪T射出的是正离子,则落在下板上〔若是负离子则落在上板上,最小水平距离为d,最大水平距离为2d,下落距离为d/2,若离子在电场中做圆周运动的轨迹半径为r,落点距电子枪水平距离为x,则：,．当x=d时,r1=5d/4；当x=2d时,r2=17d/4．离子在离子枪中被加速后的速度为,又：故：因为：,所以：5．如图所示,在空间中固定放置一绝缘材料制成的边长为L的刚性等边三边形框架△DEF,DE边上S点〔处有一发射带正电的粒子源,发射粒子的方向皆在图中截面内且垂直于DE边向下.发射的电量皆为q,质量皆为m,但速度v有各种不同的值．整个空间充满磁感应强度大小为B,方向垂直截面向里的均匀磁场。设粒子与△DEF边框碰撞时没有能量损失和电量传递。求：〔1带电粒子速度的大小为v时,做匀速圆周运动的半径〔2带电粒子速度ｖ的大小取那些数值时,可使S点发出的粒子最终又垂直于DE边回到S点?〔3这些粒子中,回到S点所用的最短时间是多少?解析:〔1带电粒子从点垂直于边以速度射出后,做匀速圆周运动,其圆心一定位于边上,其半径可由下式求得,为……〔1<2>要求此粒子每次与的三条边碰撞时都与边垂直,且能回到点,则和应满足以下条件：＝1,2,3,………〔2由①②得＝1,2,3,…〔3<3>这些粒子在磁场中做圆周运动的周期为T=2πR/v将〔1式代入,得T=2πm/qB……〔4可见在及给定时与无关。粒子从点出发最后回到点的过程中,与的边碰撞次数愈少,所经历的时间就愈少,所以应取＝1,由图可看出该粒子的轨迹包括3个半圆和3个圆心角为300的圆弧,所需时间为t=3×T/2+3×5T/6=4T=8πm/qB〔56．一磁场宽度为L,磁感应强度为B,一质量为m、带电量为q的粒子以某一初速射入如图所示的匀强磁场中要使此带电粒子穿过这个磁场,则带电粒子的初速度应为多大？解析:如果带电粒子带正电,带电粒子在磁场中沿逆时针方向运动,当运动轨迹刚好与磁场右边界相切时,轨道半径R-Rcosθ=L,R=L/〔1-cosθ,又R=mv/qB,则速度v=,即带电粒子要穿过磁场,速度要大于；如果带电粒子带负电,带电粒子在磁场中沿顺时针方向运动,当运动轨迹刚好与磁场右边界相切时,轨道半径R+Rcosθ=L,R=L/〔1+cosθ,