大学物理科学出版社第四版第一章质点运动学

----第一章一、基本要求．掌握位矢、位移、速度、加速度，角速度和角加速度等描述质点运动精品文档放心下载和运动变化的物理量。．能借助于直角坐标计算质点在平面内运动时的速度、加速度。精品文档放心下载．精品文档放心下载速度。．理解伽利略坐标，速度变换。二、基本内容．位置矢量（位矢）位置矢量表示质点任意时刻在空间的位置，用从坐标原点向质点所在点所感谢阅读引的一条有向线段r表示。r的端点表示任意时刻质点的空间位置。r同时表感谢阅读示任意时刻质点离坐标原点的距离及质点位置相对坐标系的方位。位矢是描述感谢阅读质点运动状态的物理量之一。t）精品文档放心下载相对性：用r描述质点位置时，对同一质点在同一时刻的位置，在不同坐标系中感谢阅读（）矢

r可以是不相同的。它表示了r的相对性，也反映了运动描述的相对性；精品文档放心下载量性：r为矢量，它有大小，有方向，服从几何加法。在直角坐标系Oxyz中rxiyjzkrrx2y2z2cosxr,cosyr,coszr质点运动时，rrt（运动方程矢量式）xxt。zzt２．位移word可编辑.----tttxiyj,的模rx2y精品文档放心下载2。r与r：前者表示质点位置变化，是矢量，同时反映位置变感谢阅读谢谢阅读r与s：s表示t—tt时间内质点通过的路程，是标量，只有质点沿直线感谢阅读运动时两者大小相同或t0时，rs。感谢阅读速度是描述位置矢量随时间的变化。v在直角坐标系中精品文档放心下载vijkvivjvkxyz精品文档放心下载222vvvvv222xyz精品文档放心下载v的方向：在直线运动中，表示沿坐标轴正向运动，表示沿坐标轴谢谢阅读负向运动。在曲线运动中，v沿曲线上各点切线，指向质点前进的一方。感谢阅读12）矢量精品文档放心下载性，速度为矢量，具有大小，方向，求解速度应同时求得其大小和方向；（）精品文档放心下载相对性：运动是绝对的，但运动描述是相对的，所以必须明确参照系，坐标系，感谢阅读4）叠加性，因为运动是可叠加的，所以描精品文档放心下载与，与dr的区别。．加速度a，描述质点速度矢量随时间的变化，其中包括速度的大小和方向随精品文档放心下载时间的变化。不论速度的大小变化，或者是速度方向的变化，都有加速度。加谢谢阅读速度为矢量。在直角坐标中，aaiajak精品文档放心下载xyzword可编辑.----axd2xd2yd2z，a，a，aaaay222xz2y2z2xyz。t，其中，在自然坐标系中aanantv2，aa，aaa2，a与切向的夹角tnarctana2ntnat加速度的方向与速度方向无直接关系。在直线运动中，若a与v感谢阅读点作加速运动，a与v反向，则质点作减速运动。在曲线运动中，a方向总是指感谢阅读向曲线凹的一侧的。．圆周运动的角速度、角加速度角速度d角加速度dd22角量与线量的关系：vR，atR,anR2vvuv为运动物体相对固定参照系的速谢谢阅读vu为谢谢阅读运动参照系相对固定参照系的速度，称为牵连速度。三、典型例题：】h感谢阅读v0lAlc的CAA0xθrllcCˊChlcCDˊDBBy(x,h)））word可编辑.----例11图:AB谢谢阅读谢谢阅读以Axoyb）感谢阅读ˆycrˆcxijcccvcˆccˆijc1l2h2xlsinhccl，ylcoslcllcccvc0dlhlclc22l2h2lh2cll2l2h2v02hll3dxdhlvccdtdtllc20231vcl2h2ˆh(ll)lh2ˆ()vivjcc4lllh0l022224当lclv0l2h2ˆi谢谢阅读感谢阅读B谢谢阅读acvcc4精品文档放心下载谢谢阅读谢谢阅读感谢阅读word可编辑.----】12xy精品文档放心下载ˆ5)ˆr(2t2jt1.0s感谢阅读y/m10ατυ5ααn-10010304050x/m例12图感谢阅读vxvy3ˆ3ˆvj精品文档放心下载1ˆ(SI)a当t1.0sv14i3j22221vv93谢谢阅读vxyd29at92当t1.0sa3.2ms25t1而aaa22t1241v5.0222.4m10.4m1a[()()2]322精品文档放心下载dydx222dt2谢谢阅读word可编辑.----1oB感谢阅读v0B点HOL。BHv0θ0L例13图））精品文档放心下载tv1v0gtv2gtvvv12v0精品文档放心下载使v0HL1OBtHL22v0t02Hgtt0word可编辑.----H22v02Hg得v0v0g2H(H22)谢谢阅读感谢阅读四、习题选解1-1从原点到P点的位置矢量r2i6j。而P点到Q的位移r4i2j。精品文档放心下载求从原点到Q点的位置矢量，并作图表示。解：rrrQP设Q点坐标为（xy）则rxiyj2i6jx2iy6j精品文档放心下载而rxiyj显然xx24x2yy62y4精品文档放心下载故rQxi4j题1-1图1-2设质点沿xx2tx以mt以s谢谢阅读）质点在3s）质点在1.5s是作加速运动还是作减谢谢阅读）第1s末到第3s末时间内的位移和路程。感谢阅读解：（）v2a6以s代入上两式分别得v9ms1a12ms2word可编辑.----（）t=1.5s代入v、a谢谢阅读v2t62.25ms1a6s2a与v反向，质点作减速运动。（）位移xx313x12m由v20得t10t22s即t=2s时质点瞬时静止，其后反向运动。故路程x2x1

x13x2x36m1-3一质点在Oxy平面内运动，运动方程为x2t,y192t2SI。求：精品文档放心下载（）质点的轨道方程；（）t时刻质点的位置矢量，速度矢量；（）什么时刻质点的位置矢量与其速度矢量恰好垂直？谢谢阅读（）什么时刻质点离原点最近？求这一距离。解：（）由x2t,y192消去t谢谢阅读x2y2192x22（）（）rtxtiytj2ti192tj谢谢阅读2而v2vdtxy故vvivjxy精品文档放心下载（）rv时则rv0即xivivjxvyv感谢阅读220xyxy谢谢阅读11924t2180谢谢阅读得t123s,t33s舍去（）rx2y2(2t)22192word可编辑.----取极小值，由02t218得t1t203s,t33s）但r019mr36.08m故s时质点离原点距离最近，其距离为6.08m。感谢阅读1-4一质点具有恒定加速度a6i4jSI。t0时，质点速度为零，位置矢精品文档放心下载量r0求10i。（）质点在任意时刻的速度和位置矢量；（）质点的轨迹方程。解：由题意知：a6ms2,axxdvxdt（）axaxy4ms2a6dtvvx6ttxxx

00而vdxvdt6tdtxxxxt2x2100同理ayy4dvy4dtvyy0而vy4dt即vt4ty0dyvdt4tdytyy22t00t由此可得vvivjxy谢谢阅读rxiyj102i2t2j精品文档放心下载（）x102,y2消t得精品文档放心下载x32y即3y2x1-5消防水枪喷出的水的流量是q280l1v26ms1。若水谢谢阅读word可编辑.----枪竖直向上喷射，水流上升的高度是多少？在任一瞬间空中有多少升水？感谢阅读解：竖直上抛的最大高度Hv2033.8m2g水上升到最大高度的时间，由vyv0gtv0，vyy为上升到最高点的速度）得tv2.6s0g则5.2sqmin160ss1t5.2s喷向空中水Q（升）精品文档放心下载t5.2s喷向空中水Q感谢阅读1-6一升降机以加速度1.22ms2上升，当上升速度为2.44ms1时，精品文档放心下载有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m。计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对升降机外固定柱子下降的距离。解：以地面为参照系，坐标原点选在升降机以速度s1谢谢阅读外固定柱上对应升降机地板所在处，向上为正。（1tyy0v2.74m02.44ms1作上抛运动。其运动方程为y1y0vt12①20地板在t=0v2.44ms101yvtat22②20螺帽落地时yy1211yvt

vt

0at202220y0111at22agt2222word可编辑.----t2y00.705s

ag（）螺帽下降的距离y0y11vtgt20.72m201-7如图所示，有人在离水面高h处通过滑轮用绳子拉船靠岸。v0收绳子拉船，求当船与滑轮的水平距离为x时，船的速度和加速度的大小。解：由图可知s2h2x2xs2h2题1-7图示精品文档放心下载11vsh2

22s人以匀速v022ss2h2收绳拉船v0vhx22x2vh2vxx00v的方向沿x轴负方向船的加速度adsv02hdds2hs1022s22h200v13svs2

h222ss2h2202vh22s2h22vs2vshsh22hs2322h2320000s222h2v02a的方向沿xx31-8如图所示，一人站在山坡上，山坡与水平面成角。他扔出一个初速为v0的小石子，word可编辑.----v0与水平面成（）如空气阻力不计，试证小石子落在斜坡上距离为s处题1-8图感谢阅读s02cosinsgcos2（）由此证明，对于给定的v0与值，s在42时有最大值：smax21sinv0gcos2解：以斜面方向为x轴，垂直于斜面为y轴，扔出点为原点建立坐精品文档放心下载标系。（）v0x0yvvcosv2001xvtgt20xxsin1yvtgt220yyggsinxggcosy小石子落地时v0sint1gcost220落地时间tsin0gcos小石子落在斜坡上的距离word可编辑.----1costsxvgsi2202sicos4v2

2g

sinsin感谢阅读00gcos2g2cosgsinsin2gcossicos2v22精品文档放心下载00g2cosg2cos2sincoscossinsin0gcos感谢阅读sin20gcoscossin20gcos2cos（）v0和值s2si2cosv0gcos20sinsinv2gcos0si2sinv2gcos2精品文档放心下载由上式可知，小石子落在斜坡上距离s最大值的条件是精品文档放心下载in21s2242故smax21sinv0gcos21-9一个人扔石头的最大出手速度为vs精品文档放心下载1，他能击中一个与他的手水平距离为l=50m，高h为处的一个目标吗？在这个距离上他能击中的目标感谢阅读的最大高度是多少？解：以出手点为原点，建立坐标，设出手速度v0与x轴夹角为，忽略空气阻力有yvsint0122xvcost0word可编辑.----消去t，得石头运动轨道方程题1-9图yxtan2cos22

0代入v25ms1,xL50m感谢阅读ytan2gcos2当d值0时y取极d2g(50tan)0dcos22sinsec22g0cos3tan4g5故当51.9时，y在处最高高度为：精品文档放心下载2gy51.9感谢阅读51.92所以不能击中目标，能击中的最大高度是12.3m。一质点沿直线运动，其坐标xt如下关系，xAetcostSI（A，1）任意时刻t2）质点通过原点的时精品文档放心下载刻t。解：质点运动方程xAetcost感谢阅读（）速度vdAetcost1AetdcostAcostdetAetsintAet

costword可编辑.----（）加速度aAetdsintAsintdetAetdcostA

costde感谢阅读1tA2etcostAsintetAetsintA2coste精品文档放心下载tAet22cost2sint感谢阅读（）质点通过原点时x0Aetcost0精品文档放心下载由于et0cost0tk2t=(2k2k=0,1,2,„k=0,1,2,„一质点沿半径为R的圆周运动，其路程s随时间t变化的规律为感谢阅读1s22式中、c为大于零的常数，且b2R。求（）质点运动的切向加速度at和法向加速度an；（）atan的时刻t。1解：质点作圆运动s22（）速率vbct切向加速度atcv2b法向加速度actn2（）切向加速度at当atan时aRRc0法向加速度0nctbRcbct2bRccbctRct1一质点沿半径为R的圆周按路程为svtbt2的规律运动，其中v200,bword可编辑.----都是常量，求：（）t时刻质点的加速度；（）t为何时，加速度的大小等于？（）当加速度为b时，质点沿圆周运动了多少圈？解：质点作圆周运动svtbt2精品文档放心下载0切向加速度at法向加速度an（）速率vv0bv2vbt1220RR质点的加速度大小为aa2na2t1Rv0bt4R2b22ava与v的夹角arctann0a谢谢阅读t（）当a=b时1RR2b2v0bt4vbt0b1vv2（）a=b时，tsvt020b02感谢阅读质点沿圆周运行的圈数nsv202R4一质点沿半径为0.1m的圆周运动，用角坐标表示其运动方程为感谢阅读24t3SI求：（）时质点切向加速度和法向加速度的大小；谢谢阅读（）当等于多少时，质点的加速度和半径的夹角成。感谢阅读解：质点作圆周运动23（）角速度d2角加速度d切向加速度atdvdRRR4.8ms2word可编辑.----法向加速度anR2R22230.4ms2（）v22R2RR质点的加速度和半径的夹角为，即a与a成n角，aaa2144Rt422nt24Rta1a2nnaa2212144Rt42212t3162144Rt424Rt2此时质点的角位移232.67rad感谢阅读一个半径为R=1.0m的圆盘，可以绕一水平轴自由转动，一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端栓一物体A，如图所示。在重力作用下，物体A从静止开始匀加速的降，在内下降的距离h=0.4m。精品文档放心下载求物体开始下降后末，边缘上任一点的切加速度与法向加速度。书馆题1-14图解：在竖直方向建立xt=0时，x00物体由静止开始匀加速下降，设加速度为a，v00112hxvtat202202ha0.2m

ts22圆盘边缘一点的切向加速度ats2a0.2m法向加速度anv2v2a2t2t时aRn0RRa2t2R0.36ms2，at0.2ms2word可编辑.----从同一地点，以相同速率朝不同方向把许多石子扔向空中，由运动学公谢谢阅读精品文档放心下载证：设某一石子的抛射角为，初速率为v0。在任一时刻t，石子沿x轴和y轴的速度分量为vxvcos0vyvsin0gt石子在tHvsint1202cos2singt

vv2v2vvxy002vcos2sin2sin2t2v2vg220001

vv202gH202gvsint220故作抛体运动的石子在任一时刻的速率与抛射角H和精品文档放心下载初速v0。这些石子在相同高度处有相同速率。边缘是一向下的陡壁，炮位距离陡壁感谢阅读，陡壁下面的地平面低于炮位h=100m如果炮弹出口速率为v0300ms1，忽略空气阻力，求：题图（）离陡壁最近的炮弹弹着点距陡壁的距离；（）这时炮弹出口速度与水平面的夹角。解：炮弹着地点若离陡壁最近，则炮弹会经过高地边缘。炮弹作抛体运动精品文档放心下载的轨道方程yxtang2cos220炮弹经陡壁边缘y0xL20cosntaword可编辑.----g1Lsincos=sin222

0炮弹出口速度与水平面夹角2v20)61.8834炮弹落地点yhxLdhLdtangLd2cos22

0d59.5m如图所示，一气象气球自地面以匀速v上升到天空，在距离放出点为R感谢阅读处的A点用望远镜对气球进行观测。记录得气球的仰角为时间t的函数。（）求出用h和R表示仰角的公式；（）求出d作为时间的函数的公式；RdR（）试证当上升时间t时，趋近于零。题图感谢阅读vvt2h）由图可知，任一时刻ttanR气球匀速上升hvtvtvttanarctanRRvt（）等式tant求导Rddsecdv2RR谢谢阅读dvvR2vRRcos2RRhRvtRR222222vt2vRR2（）当上升时间tt2t2vv感谢阅读word可编辑.----RdRRv2vtt222Rvt

v当tR，R2vvt趋于零。为转播电视而发射的地球同步卫星，它在赤道上空的圆形轨道上运动，精品文档放心下载周期等于地球自转周期T=24h精品文档放心下载是地球半径）心r处的重力加速度，agRr，eR2e解：由题知同步卫星作圆周运动的角速度2R速度a2h。nge，rRrev2Rh又向心力由万有引力提供，anrads1，向心加2h2RerRhR22eeR所以ghRheReeh32e2e卫星高度h3gR2e2卫星速率vReR3.59107emh3.07103ms1一飞轮的角速度在内由900rmin1800rmin1。求（）感谢阅读2）在此）再经多长时间，轮将停止转动。精品文档放心下载解：飞轮作匀减速运动，在t=5s0减至，角位移为。0设角加速度为（）由匀速圆周运动速度方程0tt01200rmin22.093rads2word可编辑.----（）由00t12t20转70.83（）又经时间t，飞轮停止转动0又0tttt45st540s北京正负电子对撞机的储存环的周长为感谢阅读速的速率运行。这些电子运动的向心加速度是重力加速度的几倍？精品文档放心下载解：电子以接近光速c的速率作圆周运动，储存环的周长为L半径为。感谢阅读向心加速度anv2c2Rs2L22.351015man2.414g一无风的下雨天，一火车以20ms谢谢阅读1的速度前进，车内旅客看见玻璃窗上的雨滴和铅垂线成角下降，求雨滴下落的速度（设下降的雨滴作匀速运感谢阅读解：以地面为参照系，火车相对地面运动的速度为v1，雨滴相对于地面的运为雨滴相动速度为v，旅客看到雨滴下落的速度v感谢阅读22对于火车的运动速度。

v

vv21275v1v2vv25.36ms1题图1tantan飞机A以v1000kmh1的速率（相对地面）向南飞行。同时另一A架飞机B以v0800kmh1的速率（相对地面）向东偏南角方向飞行。求A机相对于BB机相对于Aword可编辑.----A相