小学数学讲义秋季五年级A版第1讲因数与倍数初步优秀A版

第1讲第一讲因数与倍数初步站牌级秋季级寒假倍数进阶级暑假合数初步级秋季倍数初步级暑假合数进阶最大公因数与最小公倍数定义及求法；最大公因数和最小公倍数的应用释义第9级下优秀A版教师版1引入。1982《赤壁赋》吗？目标1.掌握最大公因数,最小公倍数的求法.2.会利用最大公因,最小公倍解决相应的应用题.精讲一、基本概念：因数和倍数的定义：如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的因数：，.若自然数a,b,c满足：abc，那么，b,c都是a的因数.如60包含因数：1和60；2和30；3和最大公因数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的因数，那么称这个自然数是这若干．，．(8,12)4，(6,9,15)3．最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干二、关于最大公因数：1.求最大公因数的方法：分解质因数法，．例如：2313711，25222327，所以(231,252)3721；又如：24233，362232，所以(24,36)22312；③短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘．2 第9级下优秀A版教师版21821812218218121212184069 23 第1讲

32：一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第．(如果最后的除数是，)．例如，求600和1515的最大公因数：15156002315；3151285；315285130；28530915；301520；所以1515和600的最大公因数是15．2.求一组分数的最大公因数因数b；a例如：

82 (8,2) (, ) 915 三、关于最小公倍数：1.求最小公倍数的方法：②分解质因数法先分解质因数然后把所有出现过的因数连乘起来相同的只乘一次例如：2313711，25222327，所以231,25222327112772；又如：24233，362232，所以[24,36]233272；③：先找所有包含的因数然后相乘

32特殊地，如果要求多个数的最小公倍数，需要短除直至任意两数都互质.

，所以12,18,402321310360； :2.求一组分数的最小公倍数方法步骤：先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公因数b； 35 [3,5] b即为所求．例如：[, ] 412 (4,12) 点回顾1.若abc,其中b0,且a,b,c均为整数,则a是b的_____;b是a的_____;a能被b____;b能_____a.第9级下优秀A版教师版32.举出一个例子,再用上面的四句话叙述一下．3.一个数除了1和它本身,不再有别的因数,这个数叫做_____.一个数除了1和它本身,还有别的因数,这个数叫做_____.要特别记住：0和1既不是质数,也不是合数.常用的100以内的质数：23、57、111317192329、313741434753、59616771737983、89、97,共计______个.4.分解质因数,并写成标准式．(1)6______ (2)12_____ (3)18_____ (4)36_____(5)111____ (6)999____ (7)1001_____ (8)2013____【分析】1. 倍数,因数,整除,整除 质数, 合数,25 623;12223;18232;362232;111337;9993337;100171113;201331161思路1(1)12=1×()=2×()=3×()，所以12的因数有：_______________________.(2)18的因数有：_______________________.(3)12和18公共的因数有：_______________，其中最大的是___，最小的是___，想一想，最大公因数与所有的公因数有什么样的关系．最小公倍数与所有的公倍数有什么样的关系．【分析】(1)12，6，4；1，12，2，6，3，4(最好让孩子成对的写出来)(2)1，18，2，9，3，6(3)，236 1.规律：若a,b的最大公因数为c，则c的因数即为a,b公因数．想想练练：10和15的公因数有哪些，请列举出来．2计算下列各数的最大公因数(4,5)____ (7,97)____ (6,37)___ (5,10)____ (9,99)____28,35____ 24,36,90_____ 4 第9级下优秀A版教师版第1讲(学案对应学案1)解质因数法与短除法，一般用于易分解质因数或公因子显而易见的情况如果数字较大，一般采用辗转相除法.题中可以总结以下知识点：(2)2个质数必互质；(3)必互质；(4)2数有倍数关系，则小数为最大公因数；(5)2数的最大公因数不超过2数的差，同时也是差的因数．答案如下：(4,5)1；(7,97)1；(6,37)1；(5,10)5；(9,99)9；

28,357；下面是分解质因数法，短除法，辗转相除法的例子．分解质因数法：28,35____

，28,357短除法：24,36,90_____324369028 12304 6

6355314112......73151173......0【补充】(1)(25,45)____ (2)(30,20)____ (3)(51,68)___(4)(24,30)____ (5)(14,21)_____ (6)(39,1001)____(7)(32,64)____ (8)(44,79)____ (9)(65,75)____(10)(30,40,60)____ (11)(91,140,147)____ (12)(180,135,45)____【分析】(1)5；(2)10；(3)17；(4)6；(5)7；(6)13；(7)32；(8)1；(9)5；(10)10；(11)7；(12)45【拓展】用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？、30530607536 12152 4 即(30,60,75)5315，这个数最大是15.3计算下列各数的最小公倍数第9级下优秀A版教师版5，，108,36023101080[3,4]____ [4,5]____(学案对应学案2)

[5,15]____

[8,32]____

[6,9]____

【分析】求最小公倍数，常用的方法有：分解质因数法，短除法.本题中涉及到的知识点有：(2)2数成倍数，则最小公倍数为较大数；答案如下：[3,4]12 [4,5]20 [8,32]32 [6,9]1828,35140如下是分解质因数与短除法的例子： 2108 54 27 39

2 【补充】(1)[25,45]____ (2)[30,20]____ (3)[51,68]___(4)[24,30]____ (5)[14,21]_____ (6)[39,1001]____(7)[32,64]____ (8)[44,79]____ (9)[65,75]____【分析】(1)225(2)60(3)204 (4)120(5)42(6)3003(7)64 (9)975想想练练：[11,15]___ [16,10]___ [27,18]___【分析】165，80，546 第9级下优秀A版教师版第1讲亲和数人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系。据说有人问毕达哥拉斯：2205我，我中有你。毕达哥拉斯将具有这种性质的数称为亲和数。然而，俗话说的好：知音难觅。亲和数的工作比想象的要难得多，毕达哥拉斯首先发现220与284是一对亲和数，在以后的1500年间，世界上有很多数学家致力于探寻亲和数，面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽然经过一代又一代人的穷思苦想，有些人甚至为此耗尽毕生心血，却始终没有收获。公元九世纪，伊拉克哲学、医学、天文学和物理学家泰比特·依本库拉曾提出过一个求亲和数的法则，因为他的公式比较繁杂，难以实际操作，再加上难以法国数学家费马(P．deFermat，1601-1665)才发现了另一对亲和数：17296和18416。4计算下列各数的最小公倍数[3,4,5]_____ [6,8,10]____ [4,5,6]____ [4,6,9]_____

(学案对应学案3)【分析】三数或多数求最小公倍数，用短除法必须除到任意2数都互质． [4,5,6]60 [4,6,9]3632436 2 812 24 6 32 3 2 1

，24,36,90233253605(1)有3根铁丝，长度分别是18厘米、24厘米、30厘米.现在要把它们截成长度相等的小段，每根都不能有剩余，每一小段最长是多少厘米？一共可以截成多少小段？(2)一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发一次，第一次同时发车以后，多少分钟时又同时发车？(学案对应学案4)第9级下优秀A版教师版71818318 243026 8103 4 15，2多有多少个小朋友？【分析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个，苹果数是人数的整数倍还缺2个，所以减27的公因数，要求最多的人数，即是18和27的最大公因数9了．【拓展】张阿姨把225个苹果、350个梨和150个桔子平均分给小朋友们，最后剩下9个苹果、26个梨和6个桔子没有分出去。请问：每个小朋友分了多少个苹果？【分析】苹果：225-9=216（个）,梨：350-26=324（个）,桔：150-6=144（个）（216、324、144）=36，每个小朋友分了：216÷36=6（个）苹果。【分析】从题中不难看出，这个大班小朋友的人数是1157108，1484144，74272的公因数．而(108,144,72)36，所以，这个大班的小朋友最多有36人．8 第9级下优秀A版教师版第1讲字黑洞1717,34,51,68,852323,46,69,92.以我们倒着想，数码从右向左依次为：7-1-5-8-6-4-3-2-9-6-4-如图：865+64=提高加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?】a、b、c个工人,有6a10b15ck,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即6,10,1530．所以a5,b3,c2,则三道工序最少共需要53210名工人．1.求(68,142)；[68,142]；(160,2180,3524)；[160,2180,3524]。【分析】(68,142)=2， (160,2180,3524)=4 第9级下优秀A版教师版92.（1）(28,72)___ [28,72]___；（2）(28,44,260)___ [28,44,260]___。3.（1）(391,357)___[391,357]____；（2）(18,24,36)____[18,24,36]____。 [391 [182436]=724.一次考试，参加的学生中有3得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满100人，那么得差的学生有多少人【分析】由题意“参加的学生中有1

得优，1

得良，1么得差的学生有：8412212823人．5.图书馆每天都开门，甲，乙，丙三人都在图书馆借书．甲每隔2天去一次；乙每隔3天去一次；图书馆？【分析】甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次．因此三人在第[3,4,5]60天会再次同天去图书馆．6.一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？【分析】要使方砖正好铺满地面，房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间长、宽厘米数的公因数．由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公因数．450和330的最大公因数是30．4503015，3303011，共需1511165(块).7.一块长方形草地，长120米，宽90米。现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都要求种树，且相邻两棵树之间的距离都相等。请问：最少要种多少棵树？【分析】120÷2=60，90÷2=45，每两棵树之间的距离是它们的最大公因数。（120，60，90，45）点总结1.最大公因数的求法:枚举法,分解质因数法,短除法,辗转相除法.2.最小公倍数的求法:枚举法,分解质因数法,短除法,公式法.10第9级下优秀A版教师版第1讲作业1. 45与75的公因数有哪些，请列举出来．2. (45,90)