小学数学讲义秋季五年级超常第1讲因数与倍数初步超常体系

第一讲因数与倍数初步站牌级秋季级寒假倍数进阶级暑假合数初步级秋季倍数初步级暑假合数进阶最大公因数与最小公倍数定义及求法；最大公因数和最小公倍数的应用释义第9级下超常体系教师版1引入。1982《赤壁赋》吗？目标1.掌握最大公因数,最小公倍数的求法.2.会利用最大公因,最小公倍解决相应的应用题.精讲一、基本概念：因数和倍数的定义：如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的因数：，.若自然数a,b,c满足：abc，那么，b,c都是a的因数.如60包含因数：1和60；2和30；3和最大公因数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的因数，那么称这个自然数是这若干．，．(8,12)4，(6,9,15)3．最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干二、关于最大公因数：1.求最大公因数的方法：分解质因数法，．例如：2313711，25222327，所以(231,252)3721；又如：24233，362232，所以(24,36)22312；③短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘．2 第9级下超常体系教师版21821812218218121212184069 23

32一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第．(如果最后的除数是，)．例如，求600和1515的最大公因数：15156002315；3151285；315285130；28530915；301520；所以1515和600的最大公因数是15．2.求一组分数的最大公因数因数b；a例如：

82 (8,2) (, ) 915 三、关于最小公倍数：1.求最小公倍数的方法：②分解质因数法先分解质因数然后把所有出现过的因数连乘起来相同的只乘一次例如：2313711，25222327，所以231,25222327112772；又如：24233，362232，所以[24,36]233272；③：先找所有包含的因数然后相乘

32特殊地，如果要求多个数的最小公倍数，需要短除直至任意两数都互质.

，所以12,18,402321310360； :2.求一组分数的最小公倍数方法步骤：先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公因数b； 35 [3,5] b即为所求．例如：[, ] 412 (4,12) 点回顾1.若abc,其中b0,且a,b,c均为整数,则a是b的_____;b是a的_____;a能被b____;b能_____a.2.举出一个例子,再用上面的四句话叙述一下．第9级下超常体系教师版33.一个数除了1和它本身,不再有别的因数,这个数叫做_____.一个数除了1和它本身,还有别的因数,这个数叫做_____.要特别记住：0和1既不是质数,也不是合数.常用的100以内的质数：23、57、111317192329、313741434753、59616771737983、89、97,共计______个.4.分解质因数,并写成标准式．(1)6______ (2)12_____ (3)18_____ (4)36_____(5)111____ (6)999____ (7)1001_____ (8)2013____【分析】1. 倍数,因数,整除,整除 质数, 合数,25 623;12223;18232;362232;111337;9993337;100171113;201331161思路1(1)12=1×()=2×()=3×(),所以12的因数有：_______________________.(2)18的因数有：_______________________.(3)12和18公共的因数有：_______________,其中最大的是___,最小的是___,想一想,最大公因数与所有的公因数有什么样的关系．(4)枚举一下12和18的倍数,并找出其中公共的倍数,其中最小的是多少？是否有最大的？想一想,最小公倍数与所有的公倍数有什么样的关系．【分析】(1)12,6,4; 1,12,2,6,3,4(最好让孩子成对的写出来)(2)1,18,2,9,3,6(3)1,2,3,6;

1. 规律：若a,b的最大公因数为c,则c的因数即为a,b的公(4)36;无最大的;规律：若a,b的最小公倍数为c,则c的倍数即为a,b的公倍数.2计算下列各数的最大公因数(4,5)____ (7,97)____ (6,37)___ (5,10)____(9,99)____ (28,35)____ (3,4,5)___ (2,4,6)___ (4,6,9)___ 24,36,90_____(10,12,14,16)___ (14,35,56,140)___4 第9级下超常体系教师版【分析】求最大公因数,一般有枚举法,分解质因数法,短除法,辗转相除法4种方法.枚举法,分解质因数法与短除法,一般用于易分解质因数或公因子显而易见的情况.但如果数较大,一般采用辗转相除法.题中可以总结以下知识点：(2)2个质数必互质;(3大质小合必互质(4)2数有倍数关系,则小数为最大公因数;(5)2数的最大公因数不超过2数的差,同时也是差的因数．)答案如下：(4,5)1;(7,97)1;(6,37)1;(5,10)5;(9,99)9;28,357;108,36036;3553,141117;(3,4,5)1;(2,4,6)2;(4,6,9)1; 24,36,906;(10,12,14,16)2 ; (14,35,56,140)7下面是分解质因数法,短除法,辗转相除法的例子．分解质因数法：28,35____

,28,357355314112......73151173......0

因此,3553,141117短除法：24,36,90_____324369028 12304 6

,24,36,9032

6【补充】(1)(25,45)____ (2)(30,20)____ (3)(51,68)___(4)(24,30)____ (5)(14,21)_____ (6)(39,1001)____(7)(32,64)____ (8)(44,79)____ (9)(65,75)____(10)(30,40,60)____(11)(91,140,147)____ (12)(180,135,45)____【分析】(1)5;(2)10;(3)17;(4)6;(5)7;(6)13;(7)32;(8)1;(9)5;(10)10;(11)7;(12)453计算下列各数的最小公倍数(1)[3,4]____;[4,5]____;[5,15]____;[8,32]____;[6,9]____;28,35____;(2)[3,4,5]_____;

[6,8,10]____

[4,5,6]____

[4,6,9]_____(3)[2,3,4,5,6,7,8,9]___; [11,12,13,14,15,16,17,18,19]______(写出算式即可).第9级下超常体系教师版5108,36023101080【分析】(1)求最小公倍数,常用的方法有：分解质因数法,短除法.本题中涉及到的知识点有：2(2)2数成倍数,则最小公倍数为较大数;a,b(a,b)ab的结论求最小公倍数,这个方法可以称为公式法.答案如下：[3,4]12 [4,5]20 [8,32]32 [6,9]1828,35140如下是分解质因数与短除法的例子： ,28,3522751402108 54 27 39

2 (2)三数或多数求最小公倍数,用短除法必须除到任意2数都互质． [4,5,6]60 [4,6,9]3632436 2 812 24 6 32 3 2 1

,24,36,9023325360(3)数或多数求最小公倍数，最好分解质因数的方法．次．2～9中出现了质因数有2，3，5，7，其中2最多出现了3次(即823)，3最多出现了2次(即932)，其它数最多出现了1次．因此最小公倍数为232572520类似的，[11,12,13,14,15,16,17,18,19]24325711131719【铺垫】(a,b)表示a、b的最大公因数, a,b表示a、b的最小公倍数,下面我们通过特例来研究a、b、a,b、(a,b)这四个数之间的关系.计算：

8,12_________,(8,12)________,请你不妨再举几个例子试试,最后你发现a、b、a,b、(a,b)这四个数之间的等量关系式为_________________.利用上面的结论,在下面的横线处填上适当的数．(3)一个数和16的最大公因数是8,最小公倍数是80.这个数是____【分析】(1)24;4;96;96;(2)135;135;a,b(a,b)ab (3)86 第9级下超常体系教师版亲和数人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系。据说有人问毕达哥拉斯：2205我，我中有你。毕达哥拉斯将具有这种性质的数称为亲和数。200然而，俗话说的好：知音难觅。亲和数的工作比想象的要难得多，毕达哥拉斯首先发现220与284是一对亲和数，在以后的1500年间，世界上有很多数学家致力于探寻亲和数，面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽然经过一代又一代人的穷思苦想，有些人甚至为此耗尽毕生心血，却始终没有收获。公元九世纪，伊拉克哲学、医学、天文学和物理学家泰比特·依本库拉曾提出过一个求亲和数的法则，因为他的公式比较繁杂，难以实际操作，再加上难以法国数学家费马(P．deFermat，1601-1665)才发现了另一对亲和数：17296和18416。41

(m,n为正整数),那么x最大为_____(2)如(1)题，我们定义

24(,)35

)3521

,4)___14

3 a3p; a5q(p,q为正整数),那么a最小为_____24(4)如(3)题，我们定义[3,5]

]___，那么3521

,4]___14

(5)通过上面的例子，请你总结出

bd(,)________ac

bd[,]________ac【分析】(1)

y x

，要使结果为正整数，则x必须是3的倍数，y必须是2的因数．

y x

x最大，则x取最小公倍数，y取最大公因数．结果为(2) (6,8) ) 3521 [35,21]

530 ,4)( )14 147

第9级下超常体系教师版7()同(4.(4) [6,8] ] 3521 (35,21)

530 [5,30] ,4][ 14 147 (14,7)

(5)

bd(,)ac

[a,c]

bd [,]ac (a,c)5张阿姨把225个苹果、350个梨和150个桔子平均分给小朋友们,最后剩下9个苹果、26个梨和6个桔子没有分出去.请问：每个小朋友分了多少个苹果？【分析】苹果：225-9=216（个）,梨：350-26=324（个）,桔：150-6=144（个）（216,324,144）=36,每个小朋友分了：216÷36=6（个）苹果.【铺垫】把20个梨和25个苹果平均分给小朋友,分完后梨剩下2个,而苹果还缺2个,一共最多有多少个小朋友？22,2个梨,补充2个苹果后,18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了,即人数是18和27的公因数,要求最多的人数,即是18和27的最大公因数9了．【铺垫】有336个苹果,252个桔子,210个梨,用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中,三样水果各多少？【分析】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公因数,有(336,252,210)42,即可以分42份,每份中有苹果8个,桔子6个,梨5个．【巩固】幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个,平均分给大班小朋友,结果糖多出7颗,饼干多出4块,桔子多出2个．这个大班的小朋友最多有多少人？【分析】从题中不难看出,这个大班小朋友的人数是1157108,1484144,74272的公因数．而(108,144,72)36,所以,这个大班的小朋友最多有36人．【拓展】一块长方形草地,长120米,宽90米.现在在它的四周种树,要求四个角和各边中点都要求种树,且相邻两棵树之间的距离都相等.请问：最少要种多少棵树？【分析】120÷2=60,90÷2=45,每两棵树之间的距离是它们的最大公因数.（120,60,90,45）=15,一,砖多少块(整块),才能正好把房间地面铺满？【分析】要使方砖正好铺满地面,房间的长和宽都应是方砖边长的倍数,也就是方砖边长厘米数必须是房间长、宽厘米数的公因数．由于题中要求方砖边长尽可能大,所以方砖边长应为房间长与宽的最大公因数．450和330的最大公因数是30．4503015,3303011,共需1511165(块).6如图，连接2×2的方格一条对角线，则对角线与格点共有1个交点(不包含两端)．则：(1)连接3×3的方格一条对角线，则对角线与格点共有____个交点(不包含两端).(2)连接n×n的方格一条对角线，则对角线与格点共有____个交点(不包含两端).8 第9级下超常体系教师版(3)连接2×3的方格一条对角线，则对角线与格点共有____个交点(不包含两端).(4)连接2×4的方格一条对角线，则对角线与格点共有____个交点(不包含两端).58((6)连接m×n的方格一条对角线，则对角线与格点共有____个交点(不包含两端).【分析】(1)2；(2)n-1；(3)0；(4)1；(5)3；(6)(m,n)1原因如下：若横格与竖格的数量互质，则对角线在中间不会穿过格点．若不互质，以×为例：(2，4)=2，对角线会在1×2的格点穿过．即2×4的格子可以在斜线上分成2个1×2的格子，去掉2个端点，因此共2-1=1个交点．交点数为：最大公因数-17加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人(学案对应带号4)【分析】为了使生产均衡,则三道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有a、b、c个工人,有6a10b15ck,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即6,10,1530．所以a5,b3,c2,则三道工序最少共需要53210名工人．8三条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处.里圈跑道长5千米,中圈跑道长4千米,外圈跑道长米.甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,三人都在旗杆的正东方向,32千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.他们同时出发.请问：几小时后,三人第一次同时回到出发点？【分析】如图第9级下超常体系教师版9甲乙丙甲、乙、丙三人要回到出发点,路程都是整圈数∵用的时间相同t甲：1312 t乙：141 [2

字黑洞1717,34,51,68,852323,46,69,92.以我们倒着想，数码从右向左依次为：7-1-5-8-6-4-3-2-9-6-4-如图：86×5+6+4=151.点总结1.最大公因数的求法:枚举法,分解质因数法,短除法,辗转相除法.10第9级下超常体系教师版2.最小公倍数的求法:枚举法,分解质因数法,短除法,公式法.3.分数最大公因数与最小公倍数的求法:bd(,)ac

[a,c]

bd [,]ac 1.求(68,142);[68,142];(160,2180,3524);[160,2180,3524].【分析】(68,142)=2 (160,2180,3524)=4 2.（1）(28,72)___ [28,72]___;（2）(28,44,260)___ [28,44,260]___.3.（1）(391,357)___ [391,357]____;（2）(18,24,36)____ [18,24,36]____. [18,24,36]=72.4.分数1

的最大公因数是________;最小公倍数是________.【分析】（1

）=712801

1615.7663和8148的最大公因数是________,最小公倍数是________.【分析】7663=79×97,8148=97×84.所以最大公因数是97.最小公倍数是79×97×84=643692.6.一次考试,参加的学生中有7得优,4得良, ,其余的得差,已知参加考试的学生不满3得中100人,那么得差的学生有多少人？【】由题意“参加的学生中有

3得中”,可知参加考试的学生人数是7,4,3的倍数,因为7,4,3的最小公倍数为84(小于100人),所以参加的学生总数为84人．那么得差的学生有：8412212823人．7.图书馆每天都开门,甲,乙,丙三人都在图书馆借书．甲每隔2天去一次;乙每隔3天去一次;丙每隔4天去一次．某天(设为第1天),三人同时去了一次图书馆,那么第几天三人会再次都去图【分析】甲3天去一次,乙4天去一次,丙5天去一次．因此三人在第[3,4,5]60天会再次同天去图第9级下超常体系教师版11作业1.（1）请写出105的所有因数;（2）请写出72的所有因数.【分析】（1）3×5×7 因数：1、3、5、7、15、21、35、105;（272=23 因数：2346、、、12182436722.用一个数去除30、60、75,都能整除,这个数最大是多少？【分析】本题中,要求的数去除30、60、75都能整除,所以要求的数是30、60、75的公因数.要求符合条件的最大的数,就是求30、60、75的最大公因数.530607536 12152 4 即(30,60,75)5315,这个数最大是15.3. [9,15,20]___【分析】60,180

85 85(, )____;[, ]____.912 912【分析

;5.有3根铁丝,长度分别是18厘米、24厘米、30厘米.现在要把它们截成长度相等的小段,每根都不能有剩余,每一小段最长是多少厘米？一共可以截成多少小段？【分析】要截成相等的小段,且无剩余,所以每段长度必须是18、24、30的公因数.又因为每段尽可能长,所以要求每段长度必须是18、24、30的最大公因数.318 243026 8103 4 即每一小段长(18,24,30)326（厘米）,共可以截成34512（段）6.连接391×357的方格对角线，则对角线与格点共有____个交点(不包含两端).【分析】（391,357）=17,共有17-1=16个交点.7.动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得18粒;如只分给第二群,则每只猴子可得12粒;如只分给第三群,则每只猴子可得9粒．那么平均给三群猴子,每只可得多少粒？【分析】设花生有[18,12,9]=36粒,则三群猴子分别为2,3,4只.平均给三群猴子,那么每只可得4粒.8.现有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米．已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人可以首次相聚？【分析】由题意，甲、乙、丙相聚时他们两两路程之差恰好是400米的倍数，甲和乙每分钟差12第9级下超常体系教师版1208040(米)，则需要4004010分钟乙才能第一次追上甲；同理，乙每分钟比丙多走1207050(米)，则需要400508分钟乙才能追上丙；同理，甲每分钟比丙多走807010(米)，则需要4001040分钟甲才能追上丙；而想要三人再次相遇，所需的时后，三个人可以首次相聚．班学案;（2）求3553,3910和1411的最大公因数.【超常班学案2】(1)[25,45]____ (2)[30,20]____ (3)[51,68]___(4)[24,30]____ (5)[14,21]_____ (6)[39,1001]____(7)[32,64]____ (8)[44,79]____ (9)[65,75]____【分析】(1)225(2)60(3)204 (4)120(5)42(6)3003(7)64 (9)975【分析】由于两根木料锯的次数比最终锯成的段数都少1，如果将两根木料都各增加1毫米，将最756毫米的两根木料锯成同样长的小段，且每次都没有损耗，由于2016,756252，所以【超常班学案4】(1)在一根长木棍上，有2种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种(2)对于红、黑两种刻度线，红刻度线将长木棍m等份，黑刻度线将长木棍n等份，那么相重合的红、黑线共计_______条,锯成的短木棍共_______段.等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成20段。问：m可能为多少?

606060 5630

法2:两次分法中,重合的刻度线为(10,12)11个.因此锯成的段数为10+12-1-1=201(2)(m,n)-1,m+n-(m,n).斥原理可得: mn n m [m,n]

m