小学数学讲义秋季五年级超常第3讲鸟头模型超常体系

第三讲站牌级秋季级秋季级暑假级秋季级春季单鸟头模型释义第9级下超常体系教师版1引入活运用各种定式，只需寥寥几子就知道对方的路数，就能推测以后的各种演化。一个数学解题的高手也可以灵活运用数学中的各种思维模式，从而快速解题。在数学中，将一类不断重复出现的、类似的问题以及该类问题的解决方法总结出来，并抽象成目标1、能理解鸟头模型四种基本图形的证明方法2、能熟练利用鸟头模型解决基本图形的面积问题3、能够多次利用鸟头模型解决复杂图形的面积问题精讲模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比或D在BA的延长线上，E在CA延长线上如图（3），或两个角相加为180如图（4），则S△ABC:S△ADE

(ABAC):(ADAE

D E A CB CB C 图⑴ 图⑶ 图⑷2 第9级下超常体系教师版1.（1）等底等高的两个三角形面积 （2）两个三角形高相等，面积比等于 （3）两个三角形底相等，面积比等于 【分析】（1）相等 2 （3）高2.（1）如图1，D为BC的中点，△ABC

12

，则

__:__

SABD

cm（2）如图2，BC=4BD，S△ABC12cm2，则SABD：SACD__:__，SABD____cm2 【分析】（1）1:1， 6 （2）1:3, 3.如图，已知在三角形ABC中，BD：CD=2：3，且△ABC

20cm2

，则

SABD：SACD__:__，SACD__SABC【分析】8，

23思路2:3:)4:)5:)6:第9级下超常体系教师版31（1）如图,在

△ABC

D,E分别是

AB,AC上的点，试说明ADE △ABC

ADAE):(ABAC)已知AD:AB3:7,AE:AC4:7,且S△ADE6平方厘米，求△ABC的面积。A D B（2）如图，

E C D,E分别是BA,CA延长线上的点，试说明：

S△ADE:S△ABC

ADAE):(ABAC) B （3）如图,在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，你能否说明S△ADE:S△ABC

ADAE):(AB

.

AB:AD

5:2

AE:EC

3:2,

平方厘米，求△ABC的面积. （4）如图，S△ADE与S△ABC的比和AD、AE、AB、AC之间有什么样的关系？试着证明你的结论.

S△ABE

AD:AB

S△ABE:S△ABC

AE:AC个等式相乘得：ADE △ABC

ADAE):(ABAC) △ABC

(43):(77)12:49

S△ADE:S△ABC

12:49

份，则S△ABC

4 第9级下超常体系教师版所以所以S : (32):5(32) 6:25 S24.5平方厘米，△ABC的面积是24.5平方厘米．

S△ABE

AD:AB △ABC

AE:AC

,相乘得： (ADAE):(ABAC) △ABC△ADE △ABC

,设

S△ABC

方厘米,所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．（4）S△ADE:S△ABC(ADAE):(ABAC) 2圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？请说明理由.(学案对应:超常1) 【分析】图中每相邻两个正方形和其间夹着的两个三角形都是经典精讲中的第4类鸟头。以右图为例，S△ABC:S△HAG(ABAC):(AHAG)1:1。因此，图中每一个红色三角形和对应的青角形面积都相等。那么内圈三角形石板的总面积和外圈三角形石板的总面积一样大。3已知△DEF的面积为7平方厘米，BECE,AD2BD,CF3AF，求△ABC的面积．E (学案对应:带号1)【分析△BDE

S△ABC

(BDBE):(BABC

)(11):(23)1:6S△CEF:S△ABC(CECF):(CBCA)(13):(24)3:8S△ADF:S△ABC(ADAF):(ABAC)(21):(34)1:6△ABC△BDE

份，S△ADF△CEF

份，S△DEF

244497

份，△ABC

24平方厘米第9级下超常体系教师版5何中的思维方法在几何中有两种思维方法：一种分析法，从结论出发，考虑满足结论成立所必须具备的，逐步追溯到题目所给的已知条件，从而打通条件与结论之间的联系。另一种方法叫综合法，其思维方向与分析方法相反，是由条件推倒出新的结论，然后把结论当作已知条件进行推导，逐步推导出题目中的结论。4CA至F，使AF3AC，求三角形DEF的面积． (学案对应:超常2)【分析】用共角定理∵在△ABC和△CFE中，ACB与FCE互补，

S△ABC△FCE

11

△ABC

S△FCE

8同理可得S△ADF6，S△BDE3．所以S△DEFS△ABCS△FCES△ADFS△BDE186318．5如图，平行四边形ABCD，BEAB，CF2CB，GD3DC，HA4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．H A B E G D C F 6 第9级下超常体系教师版∵在△ABC和△BFE中，ABC与FBE互补，△ABC

BEBF

11 13

△ABC

1，所以△FBE

3

S△GCF△DHG

S△AEH所以SEFGHS△AEHS△CFGS△DHGS△BEFSABCD8815+3+236.ABCDEFGH 36 【巩固】如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，CBBF，DCCG，HDDA，

HD

C

G E A B △BCD △

(CDCB):(CGCF

)1:2

△

2S△CDB △ABD

1:2△AHE

△AHE

S△CGF

S △ADB 四边形ABCD△DHG

S△BEF

2S四边形ABCD四边形EFGH△AHE

S△CGF△HDG

S△BEF四边形ABCD

5S四边形ABCD四边形ABCD

66513.2【拓展】平行四边形ABCD，BEaAB，CFbCB，DGcDC，AHdAD，求四边形EFGH的 【分析】采用例题的方法，可得四边形EFGH的面积.最后得到公式SS[1(abbccddaabcd新 原

6(1)如图(1),已知:AB∥CD,求证:AEBEABa, ABE

a2b2第9级下超常体系教师版7(2)如图(2),已知:BC∥DE,求证:ABACBCa.SABC SADE

a22(3)如图(3)，已知在平行四边形ABCD中，AB16，AD10，BE4，那么FC的长度是多少？(4)如图(4)，DE∥BC，且AD2，AB5，AE4，求AC的长．A a B E B a C b D D b 图(1 图(3) ((学案对应:带号3)【分析】(1)这是相似三角形中的沙漏模型.证明:如图(5),设BE=x,CE=y.由比例模型可知

ABEACE

ACD

ACE

mxnx myny

SABDACD

.即

x y 同理可得:AEa. 综上,可得AEBEABa.再由鸟头模型可得:

SABECDE

b2(2)这是相似三角形中的金字塔模型.ABBF:FCBE:CD

4:161:4，所以

FC1014

(4)由金字塔模型得AD:ABAE:ACDE:BC2:5，所以AC425108 第9级下超常体系教师版C a A a B C b D D b 图(5 图(6)【巩固】如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，ADDFFB，则S△ADE

S四边形DEGF四边形FGCB 【分析】设S△ADE1份，根据面积比等于相似比的平方，所以S△ADE:S△AFGAD2:AF21:4，S△ADE

S△ABC

AD2:AB2

1:9

S△AFG

份，

四边形GF

3份，四边形FGCB

S△ADE

S四边形DEGF四边形FGCB

1:3:5【巩固】如图，已知DE平行BC，BO:EO3:2，那么AD:AB________．AD OB 【分析】由沙漏模型得BO:EOBC:DE3:2，再由金字塔模型得AD:ABDE:BC2:3．

，AD AC，ED与BC平行，EOD

平方厘米． 第9级下超常体系教师版9【分析】因为

AD AC，ED与BC平行，根据相似模型可知ED:BC1:4，EO:OC1:4，SCOD4SEOD4平方厘米，则SCDE415平方厘米，

SAED:SCDE

AD:DC

1:3，所以 SAED5 ( 7如图，在△ABC中，有长方形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH是△ABC边BC的高，交DE于M，DG:DE1:2，BC12厘米，AH8厘米，求长方形的长和宽．

B G H F (学案对应:超常4)【分析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以DEAD

DE2x，所以有2xx1， x ，2x48

【巩固】图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这

【分析】根据题中条件，可以直接判断出EF与DC平行，从而三角形GEF与三角形GDC相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题．做GM垂直DC于M，交AB于N．因为EF∥DC，所以三角形GEF与三角形GDC相似，且相似比为EF:DC所以GN:GM1:3，又因为MNGMGN12，所以GM18cm，

4:121:3，

10第9级下超常体系教师版8如图，长方形ABCD中，E、F分别为CD、AB边上的点，DEEC，FB2AF，求PM:MN:NQ．

(学案对应:带号4)【分析】如图，过E作AD的平行线交PQ于G．由于E是DC的中点，所以G是PQ的中点．由于DEEC，FB2AF，所以AF:DE2:3，BF:CE4:3．根据相似性，PM:MGAM:MEAF:DE2:3，GN:NQEN:NBEC:BF3:4，于是

MNPGGQ

GQ

PM:MN:NQ

2364 7:18:105357

有一块如图的蛋糕，DE分别是AB的三等分点，小明按图切成3块，求空白部分是阴影第9级下超常体系教师版11点总结鸟头模型: E A CB CB C 结论:

S△ABC:S△ADE

(ABAC):(ADAE

作业1.如图，三角形ABC中，AD:DB2:3，AE:EC3:2，如果三角形ADE的面积等于12，那么三角形ABC的面积是多少？B 【分析】直接用共角定理：

S△ABC

(23):(55)6:25

平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．2.如图,以直角三角形的三边分别向外做三个正方形ABIH、

ACFG、BCED,连接HG、EF、ID，又得到三个三角形，已知AB3厘米，AC4厘米，求六边形DEFGHI的面积.12第9级下超常体系教师版H I A B D 【分析】因为BACHAG180,所以 △ABC

(AB

):(AH

AG)1:1△ABC

3426

(平方厘米)所以图中四个大正方形的面积，所以三个正方形的面积和是2(3242)50平方厘米，因此六边形的面3.如图,在△ABC中，D,E,F分别是AB,AC,BC边上的点，且BD:AD5:2,BF:FC3:5,CE:AE2:3，△DEF的面积为43.5平方厘米，则△ABC的面积是 平方厘米.B F 【分析】根据鸟头定理分别求△BDF,△CEF,△ADF的面积与△ABC的面积的关系，△BDF

S△ABC

(53):(78)15:5675:280△CEF△ABC

(25):(58)1:470:280 △ADE △ABC

(23):(75)6:3548:280

,设S△ABC△DEF

280757048874.如图所示，三角形ABC中，点X，Y，Z分别在线段AZ，BX，CY上，且YZ2ZC,ZX3XA,.XY4YB,三角形XYZ的面积等于24，求三角形ABC的面积.B Y Z 【分析】根据鸟头模型，

ABXXYZ

AXBXXYXZ

1 11

SABX BYZXYZ

SBYZ249；第9级下超常体系教师版13ACZ

CZAZYZXZ

SACZ SABC1091624595.把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH。如果ABCD的面积是5平方HE A BF 【分析】多次运用共角定理进行求解。连接AC，BD。由共角定理ABDAEHBCDSCFG

AEAHCFCG

11 23 11 23

SAEH

SCFG

BCD同理可得，SBEFSDGH6SABCD，SEFGH(661)SABCD13565cm26.如图,MN∥BC，

S

S△BCP

4:9

【分析】在沙漏模型中，因为

S

S△BCP

4:9

，所以

MN:BC

2:3

，在金字塔模型中有：AM:ABMN:BC2:3，因为AM4cm，AB4236cm，所以BM642cm7.梯形ABCD的面积为12，AB2CD，E为AC的中点，BE的延长线与AD交于F，四边形CDFE的面积是

A B A 【分析】延长BF、CD相交于G．由于E为AC的中点，根据相似三角形性质，

CGAB2CD，

据相似三角形性质，AF:FDAB:DG2:1，GF:GB1:3，而14第9级下超常体系教师版SABD:SBCDAB:CD2:1，

SBCD

1S

ABCD124，

SGBC

2SBCD

8．

SGDF

11 23

S

CDFE

1 1 2

S

S

8.正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是 A E B F H 【分析】欲求四边形BGHF的面积须求出EBG和CHF的面积．

M由题意可得到：EG:GCEB:CD1:2，所以可得：

SEBG

SBCE将AB、DF延长交于M点，可得：BM:DCMF:FDBF:FC1:1，

EH:HCEM:CD

ABAB):CD

3:2

，得CHCE，

SCHF 25

SBCE SBCE ABBC 12030四边形BGHF

EBC

SEBC

SEBC

SEBC

班学案【超常班学案1】如图,以△ABC的三边分别向外做三个正方形ABIH、ACFG、BCED,连接HG、多少？ 第9级下超常体系教师版15【分析】因为

BACHAG :S△ABC △HAG

ABAC):(AHAG)1:1△HAG

(10【超常班学案2】已知三角形ABC面积为

1，延长AB至D，使BDaAB；延长BC至E，使CEbBC；延长CA至F，使AFcAC，求三角形DEF的面积．FA C BD【分析】根据共角定理△ADF

S△ABC

△BDE

△CEF

S△ABC所以S△DEF

(abbccaabc1)S△ABC

abbccaabc

1．【超常班学案3】如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是

BE2AB， BF2BC，于是

SBEF

4SABC

，同理 HDG

4SADC

于是SBEFSHDG4SABC4SADC4SABCD．再由于AE3AB，AH3AD，于是SAEH9SABD，同理SCFG9SCBD．于是SAEHSCFG9SABD9SCBD9SABCD．那么SEFGHSBEFSHDGSAEHSCFGSABCD4SABCD9SABCDSABCD12SABCD60．【超常班学案4】如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC