小学数学讲义暑假六年级超常第8讲整数裂项与通项归纳

第八讲第八讲整数裂项与通项归纳知识站牌级寒假级春季块综合选讲二级春季与估算

计算模块综合选讲一六年级暑期裂项与通项归纳级暑期掌握整数裂项技巧；灵活运用通项归纳的技巧进行巧算漫画释义第11级上超常体系教师版 课堂引入在第一讲我们学过分数裂项也就是大家看到下面的题目 13 35 57

99101

但是如果来了一个怪兽，它非常喜欢吃分数，尤其喜欢吃分数的分子，结果这个怪兽就把上题的分子吃掉了，只剩下1335577999101了，此时还可以用我们的法宝（裂项）计算吗？也许是因为怪兽只吃到了分数的皮毛，分数没有受到很大的伤害，因此法宝还可以继续使用，这就是我们今天要学习的整数裂项.教学目标1.掌握整数裂项的技巧，并能理解整数裂项与分数裂项的联系和区别2.灵活运用通项归纳的技巧进行巧算经典精讲、裂项1223nn1nn1n例如：1×2+2×3+3×4+…+9×1012123012；23234123；34345234；910910118910；那么（1××3-01×2+×3×-1×23+…+×10118×9×10

-=330二、通项归纳一些计算题目中如果题目中给出数，题目又很长通常就可以采取把这个规律用字母总结成公式的形式，然后对公式进行计算，找到非常简单的运算技巧，最后把简单运算技巧运用到每一项最终达到简算的目的，这就是通项归纳的技巧．2第11级上超常体系教师版第八讲例题思路模块一：裂项模块二：通项归纳6模块三：综合运用8例1计算：⑴12231920________．【分析】⑴本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：

11

所以原式：=192021012=2660⑵原式59

例2计算：⑴35573335________．（学案对应：超常2）

1

（2）原式

第11级上超常体系教师版 例3⑶123423453456n(n1)(n2)(n3)⑸135735795791119212325（学案对应：带号2）【分析】⑴nn1n

2

3n1nn1n

2， 91011120123 9101112

2(n3)

3(n4)

2(n3)，9101112130123491011121330888

5nn

⑷原式19212325135728665 例4 【分析】观察下面的规律：1!31!(12)1!2!，2!42!(13)2!3!1．4第11级上超常体系教师版第八讲..不需要使用“0”.后来，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号.有了“0”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍.过了一段时间，这件事“0”要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，使他两手残废，再也不能握笔写字.就这样，“0”被那个愚昧、残忍的教皇明令禁止“0”，并做出了很多贡献.后来“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了.例5 121223122334

，则 1223nn1nn

9101131 212

910101131 2121011第11级上超常体系教师版 例6计算：

22 42 62 321521721

20122

【分析】通项归纳：2n121

2n2n2

n1原式=1231006 234 例7计算：

1222 223212

2012220132 2013220142 an

n2(n1)2n(n1)

n2

1

)()()()

2014 )(

201321314

1314

n2(n1)2 2n22n1 n2n

2n2n

2n(n1)

212

220122013

220132014

20132(1

0134026例8计算：

1234569910023459899

【分析】设原式=B

1

A2B

252995000ABA3333005000ABA3333005000

3832836第11级上超常体系教师版第八讲.她把10个萝卜分成4份．从左到右分别是1个、2个、3个、4个.小黑闹着要吃那份最多的.个、2个、1个，那就给你最多的.”家能帮帮小黑吗？答案：把第四堆的第三个萝卜移到第一堆和第二堆之间.附加题1. 计算：1234234517181920【分析】原式4883762. 计算：357579313335【分析】原式313335371357

11 13 111 111 111 123 234 345

… 192021

___【分析】利用裂和的方法可以将每一项展开原式 111 111 111 111 111 111 123 123 234 234 345 345

…

19 192021 192021 11 11 11 11 11 11 23 12 34 23 45 34

… 2021 1920231234234534…20211920第11级上超常体系教师版 =（1×2+2×3+…+19×20）+（2×3+3×4+…+20×21）通过整数裂项方法得到结果． 192021(202122123)5738 47 5251525150

5251504965【分析】首先把每项分数约分． 47 5251525150

计算中可以应用下面的公式：12342345

根据上面的公式，分子的和为148495051525

，与分母约分，结果为15 1222 122232 12223242 1323 132333 13233343

12221323

【分析】先找通项公式：

122232132333

n2(n1)2

(3n(n1) n

，所以，原式21 11 11 31 22 33

26

213

1 6. 【分析】通项公式ann(101n)101nn2，101(1100)1002100101201=171700

3

2

【分析

2 7 2313 3 3 2218第11级上超常体系教师版第八讲

15 2413 231

14 31 2513 15 15 241……………3

2n212n11

，所以2013条分数线的话，答案应该为

2201522014

11

知识点总结一、整数裂项122334(n1)n

(n1)n(n1)

10111112121399100(9910010191011)二、通项归纳解题步骤2..将归纳出的公式用到每一项，进行计算家庭作业1. 请计算：1223344950=_________

1

2. 请计算：24462426________．

3. 计算：2464686810222426【分析】原式第11级上超常体系教师版 222426280246480484. 【分析】观察下面的规律：1!11!(21)2!1!2!22!(31)3!2!

121223122334

，则 1223nn1nn

9910010131 212

9910010010131 2121001014700

221321

9921

【分析】通项公式：

an

原式22 33

9898 9999 33 44 5364

9898 9999999710098 989899 32435 979998100 99 1100 7. 计算：1222321819219202【分析】方法一：ann(n1)2n(n1)[(n2)1]n(n1)(n2)n(n1)原式12312234231819201819192021192010第11级上超常体系教师版第八讲 19202122192021 41230方法二：分拆(21)2232，(31)3232再用公式原式(2322)(3332)(203202)(12333203)(12232202) 20221220214141230 8. 计算：12343456567817181920（提示：1323n3

n2n

12

【分析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．1718192021488376，4(123345567...171819)42(221)4(421)6(621)4(234363183)4(24618) 4892102420964440 超常班学案【超常班学案1】计算：⑴34455619202021【分析】⑴56=（567-456）；……2021=（202122-192021）；13（345-234+456-34

第11级上超常体系教师版11=1 202122-234 ）3072

3433981001011022343398【超常班学案2】请计算：

，则（1）25588116265________；（2）3771111156367________．【分析】（1）原式1062656825830450

21

【超常班学案3】计算：

121231234 23 234

123502350【分析】通项公式为：

1223

1

324354 5150 142536 4952

350 152 【超常班学案4】计算：

1222 223212

100101【分析】方法一：通过代数式进行通项归纳或者找规律，可知：

n2(n1)2n2n22n1

2

12

2

2100101

( )( 1212

( 1001011001012 1 3 1 2