微专题10 绝对值函数与分段函数问题课件

微专题10绝对值函数与分段函数问题微专题10绝对值函数与分段函数问题1微专题10绝对值函数与分段函数问题

题型一求参数的取值问题例1(1)若函数f(x)=(x-2)2|x-a|在区间[2,4]上单调递增,则实数a的取值范围为

.(2)若奇函数f(x)=

在区间[-1,a-2]上单调递增,则实数a的取值范围是

.答案(1)(-∞,2]∪[5,+∞)(2)(1,3]微专题10绝对值函数与分段函数问题

例1(1)若函2解析(1)当a≤2时,f(x)=(x-2)2(x-a),f'(x)=(x-2)(3x-2a-2)≥0在[2,4]上恒成立,

则2a+2≤(3x)min=6,a≤2;当a≥4时,f(x)=(x-2)2(a-x),f'(x)=-(x-2)(3x-2a-2)≥0在

[2,4]上恒成立,则2a+2≥(3x)max=12,a≥5;当2<a<4时,f(x)=

递增,则

解得a≤2,舍去,综上可得,实数a的取值范围是a≤2或a≥5.(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-1)=-f(1),解得m=2,作出函数f(x)的图

象(图略)可得函数f(x)的递增区间是[-1,1],则[-1,a-2]⊆[-1,1],则-1<a-2≤1,解得1<a≤3.解析(1)当a≤2时,f(x)=(x-2)2(x-a),3【方法归纳】

(1)利用奇偶性求参数的取值时,若定义域确定,则利用特殊

值求出参数的值后再检验,若定义域不确定,则利用定义法求解.(2)利用单调性求参数的取值范围,以函数y=

(区间D1在区间D2的左侧)在区间D1∪D2上单调递增为例,方法一:①满足函数y=f(x)在区间D1上单

调递增;②满足函数y=g(x)在区间D2上单调递增;③满足函数y=f(x)在区间D1的

右端点的函数值不大于函数y=f(x)在区间D2的左端点的函数值;④将满足①

②③的参数的取值范围取交集,即为所得结果.方法二:画出函数图象,借助图

象求解.【方法归纳】

(1)利用奇偶性求参数的取值时,若定义域41-1已知函数f(x)=

(a>0,a≠1)是R上的单调递减函数,则实数a的取值范围是

.答案

解析由题意可得

解得

≤a≤

.1-1已知函数f(x)= (a>0,a≠1)是R上的单调递51-2若函数f(x)=

在区间[1,2]上单调递增,则实数a的取值范是

.答案

1-2若函数f(x)= 在区间[1,2]上单调递增,则实数6解析当a≤0时,f(x)=

-

,若f(x)在[1,2]上单调递增,则f'(x)=

+

≥0在[1,2]上恒成立,则-2a≤(e2x)min=e2,解得-

≤a≤0;当a>0时,f(x)=

当x≥

时,f'(x)=

+

>0恒成立,函数f(x)单调递增;当x<

时,f'(x)=-

<0,函数f(x)单调递减,又由题易知

≤1,解得0<a≤

,综上可得,实数a的取值范围是

.解析当a≤0时,f(x)= - ,若f(x)在[1,2]7题型二解不等式、不等式恒成立、有解问题例2(1)已知函数f(x)=

若f(f(-2))>f(k),则实数k的取值范围为

.(2)设函数f(x)=(x-a)|x-a|-x|x|+2a+1(a<0),若存在x0∈[-1,1],使f(x0)≤0,则a的取值

范围是

.答案(1)(

9,4)(2)[-3,-2+

]题型二解不等式、不等式恒成立、有解问题例2(1)已知函数8解析(1)f(f(-2))=f(4)=9,f(k)<9⇔

或

解得

9<k<0或0≤k<4,所以实数k的取值范围为(

9,4).(2)若存在x0∈[-1,1],使f(x0)≤0,则f

≤0.当a≤-1时,x-a≥0,f(x)=

=

则

≤-1,即a≤-2时,f(x)min=f(-1)=2+2a+(a+1)2=a2+4a+3≤0,-3≤a≤-2;则-1<

≤-

,即-2<a≤-1时,f(x)min=f

=

-a2+(a+1)2=

a2+2a+1≤0恒成立,所以-3≤a解析(1)f(f(-2))=f(4)=9,f(k)<9⇔9≤-1.当-1<a<0时,f(x)=

f(x)min=f

=

-a2+(a+1)2=

a2+2a+1≤0,解得-1<a≤-2+

.综上可得,a的取值范围是[-3,-2+

].≤-1.10【方法归纳】

(1)与分段函数有关的解不等式一般转化为若干个不等式的

解集的并集;(2)与分段函数、绝对值函数有关的不等式恒成立、有解问题,一般利用分离

参数、函数最值等方法求解,求解函数最值一般需要分类讨论.【方法归纳】

(1)与分段函数有关的解不等式一般转化为112-1设函数f(x)=

g(x)=k

,其中k>0,若存在唯一的整数x,使得f(x)<g(x),则实数k的取值范围是

.答案

2-1设函数f(x)= g(x)=k ,其中k>0,若存在12解析作出函数图象易知

≤k⇒k≥

,又当g(x)=k

与y=x2,x>0相切时,k=

,切点横坐标为

,则满足不等式f(x)<g(x)的唯一整数是2或3,即

或

解得

<k≤6,综上可得,

≤k≤6.解析作出函数图象易知 ≤k⇒k≥ ,又当g(x)=k 与y132-2

(2018江苏盐城中学高三阶段性检测)设函数f(x)=|

-ax-b|,a,b∈R.若对任意的实数a,b,总存在实数x0∈[0,4],使得不等式f(x0)≥m成立,则m的最大值

是

.答案

解析设f(x)的最大值为M(b),2-2

(2018江苏盐城中学高三阶段性检测)设函数f14令u(x)=

-ax-b,则u'(x)=

-a,x∈[0,4],当a≤

时,u'(x)≥0,u(x)单调递增,此时-b≤u(x)≤2-4a-b,当b≤1-2a时,M(b)=2-4a-b,当b>1-2a时,M(b)=b,所以当a≤

时,b=1-2a时,M(b)取最小值,M(b)min=1-2a≥

.当a>

时,u(x)在

上单调递增,在

上单调递减,在a∈

时,-b≤u(x)≤

-b,当b=

时,M(b)min=

≥

,在a∈

时,2-4a-b≤u(x)≤

-b,当b=1-2a+

时,M(b)min=1+

-2a>

,综上可得,M(b)min=

,对任意实数a,b,总存在实数x0∈[0,4],使得f(x0)≥m成立等价于

≥m,即m≤M(b)min=

,故实数m的最大值是

.令u(x)= -ax-b,则u'(x)= -a,x∈[0,4152-3

(2018苏北四市高三第一次调研)已知函数f(x)=

函数g(x)=f(x)+f(-x),则不等式g(x)≤2的解集为

.答案[-2,2]2-3

(2018苏北四市高三第一次调研)已知函数f(16解析

f(-x)=

则g(x)=

即g(x)=

则g(x)≤2⇔

或

或

解得1<x≤2或-1≤x≤1或-2≤x<-1,则不等式g(x)≤2的解集为[-2,2].解析

f(-x)= 17题型三函数零点或方程根的问题例3(1)已知函数f1(x)=|x-1|,fk+1(x)=f1(fk(x)),k∈N*,k≤6,若方程fk(x)-lnx=0恰有

两个不相等的实数根,则k的取值集合是

.(2)已知函数f(x)=

有两个不相等的零点x1,x2,则

+

的最大值为

.答案(1){2,4,6}(2)

题型三函数零点或方程根的问题例3(1)已知函数f1(x)18解析(1)方程fk(x)-lnx=0恰有两个不相等的实数根,即函数y=fk(x),y=lnx,x>0

的图象有两个不同的交点,曲线y=lnx在点(1,0)处的切线方程是y=x-1,当k=1

时,作出函数y=|x-1|,y=lnx的图象如图①,只有1个交点,不适合;当k=2时,作出函数y=||x-1|-1|,y=lnx的图象如图②,有2个交点,适合;

解析(1)方程fk(x)-lnx=0恰有两个不相等的实数19当k=3时,作出函数y=|||x-1|-1|-1|,y=lnx的图象如图③,有3个交点,不适合;当k=4时,作出函数y=||||x-1|-1|-1|-1|,y=lnx的图象如图④,有2个交点,适合;

当k=5时,作出函数y=f5(x),y=lnx的图象如图⑤,有3个交点,不适合;当k=6时,作出函数y=f6(x),y=lnx的图象如图⑥,有2个交点,适合,综上可得,k的取值集合是{2,4,6}.当k=3时,作出函数y=|||x-1|-1|-1|,y=ln20(2)当k>0时,f(x)只有1个零点,舍去;当k=0时,f(x)只有1个零点,舍去;当k<0时,

由Δ=4+4k>0,得k>-1,则f(1)=k+1>0,则f(x)=kx2+2x-1在x∈(0,1]上只有一个零点,

x1=

,f(x)=kx+1在x∈(1,+∞)上有1个零点x2=-

>1,则

+

=

-k=

+1-k,-1<k<0,令

=t,0<t<1,则k=t2-1,

+

=-t2+t+2=-

+

,0<t<1,则当t=

,即k=-

时,

+

取得最大值

.(2)当k>0时,f(x)只有1个零点,舍去;当k=0时,21【方法归纳】

与分段函数的零点相关的问题一般有确定函数的零点个

数、已知函数的零点个数求参数的取值范围,解题策略是图象法,即画出分段

函数的图象,或者对方程变形,转化为另一个确定的分段函数与一条动直线的

交点个数问题.【方法归纳】

与分段函数的零点相关的问题一般有确定函数223-1已知函数f(x)=

若函数f(x)有四个不同的零点,则实数m的取值范围是

.答案

3-1已知函数f(x)= 若函数f(x)有四个不同的零点,23解析由f(x)=0得-

=

则直线y=-

与y=

的图象有4个不同的交点,作出函数y=

的大致图象如图,由图可得0<-

<

,则m<-

.

解析由f(x)=0得- = 则直线y=- 与y= 的图象有243-2已知函数g(x)=

若函数y=g(g(x))-2m有3个不同的零点,则实数m的取值范围是

.答案

解析令g(x)=t,g(t)=2m⇒t1=1-2m<0,

=2m+1>0,要使函数y=g(g(x))-2m有3个不同的零点,则-1≤1-2m<0,2m+1>1,解得

<m≤1.3-2已知函数g(x)= 若函数y=g(g(x))-2m有25微专题10绝对值函数与分段函数问题微专题10绝对值函数与分段函数问题26微专题10绝对值函数与分段函数问题

题型一求参数的取值问题例1(1)若函数f(x)=(x-2)2|x-a|在区间[2,4]上单调递增,则实数a的取值范围为

.(2)若奇函数f(x)=

在区间[-1,a-2]上单调递增,则实数a的取值范围是

.答案(1)(-∞,2]∪[5,+∞)(2)(1,3]微专题10绝对值函数与分段函数问题

例1(1)若函27解析(1)当a≤2时,f(x)=(x-2)2(x-a),f'(x)=(x-2)(3x-2a-2)≥0在[2,4]上恒成立,

则2a+2≤(3x)min=6,a≤2;当a≥4时,f(x)=(x-2)2(a-x),f'(x)=-(x-2)(3x-2a-2)≥0在

[2,4]上恒成立,则2a+2≥(3x)max=12,a≥5;当2<a<4时,f(x)=

递增,则

解得a≤2,舍去,综上可得,实数a的取值范围是a≤2或a≥5.(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-1)=-f(1),解得m=2,作出函数f(x)的图

象(图略)可得函数f(x)的递增区间是[-1,1],则[-1,a-2]⊆[-1,1],则-1<a-2≤1,解得1<a≤3.解析(1)当a≤2时,f(x)=(x-2)2(x-a),28【方法归纳】

(1)利用奇偶性求参数的取值时,若定义域确定,则利用特殊

值求出参数的值后再检验,若定义域不确定,则利用定义法求解.(2)利用单调性求参数的取值范围,以函数y=

(区间D1在区间D2的左侧)在区间D1∪D2上单调递增为例,方法一:①满足函数y=f(x)在区间D1上单

调递增;②满足函数y=g(x)在区间D2上单调递增;③满足函数y=f(x)在区间D1的

右端点的函数值不大于函数y=f(x)在区间D2的左端点的函数值;④将满足①

②③的参数的取值范围取交集,即为所得结果.方法二:画出函数图象,借助图

象求解.【方法归纳】

(1)利用奇偶性求参数的取值时,若定义域291-1已知函数f(x)=

(a>0,a≠1)是R上的单调递减函数,则实数a的取值范围是

.答案

解析由题意可得

解得

≤a≤

.1-1已知函数f(x)= (a>0,a≠1)是R上的单调递301-2若函数f(x)=

在区间[1,2]上单调递增,则实数a的取值范是

.答案

1-2若函数f(x)= 在区间[1,2]上单调递增,则实数31解析当a≤0时,f(x)=

-

,若f(x)在[1,2]上单调递增,则f'(x)=

+

≥0在[1,2]上恒成立,则-2a≤(e2x)min=e2,解得-

≤a≤0;当a>0时,f(x)=

当x≥

时,f'(x)=

+

>0恒成立,函数f(x)单调递增;当x<

时,f'(x)=-

<0,函数f(x)单调递减,又由题易知

≤1,解得0<a≤

,综上可得,实数a的取值范围是

.解析当a≤0时,f(x)= - ,若f(x)在[1,2]32题型二解不等式、不等式恒成立、有解问题例2(1)已知函数f(x)=

若f(f(-2))>f(k),则实数k的取值范围为

.(2)设函数f(x)=(x-a)|x-a|-x|x|+2a+1(a<0),若存在x0∈[-1,1],使f(x0)≤0,则a的取值

范围是

.答案(1)(

9,4)(2)[-3,-2+

]题型二解不等式、不等式恒成立、有解问题例2(1)已知函数33解析(1)f(f(-2))=f(4)=9,f(k)<9⇔

或

解得

9<k<0或0≤k<4,所以实数k的取值范围为(

9,4).(2)若存在x0∈[-1,1],使f(x0)≤0,则f

≤0.当a≤-1时,x-a≥0,f(x)=

=

则

≤-1,即a≤-2时,f(x)min=f(-1)=2+2a+(a+1)2=a2+4a+3≤0,-3≤a≤-2;则-1<

≤-

,即-2<a≤-1时,f(x)min=f

=

-a2+(a+1)2=

a2+2a+1≤0恒成立,所以-3≤a解析(1)f(f(-2))=f(4)=9,f(k)<9⇔34≤-1.当-1<a<0时,f(x)=

f(x)min=f

=

-a2+(a+1)2=

a2+2a+1≤0,解得-1<a≤-2+

.综上可得,a的取值范围是[-3,-2+

].≤-1.35【方法归纳】

(1)与分段函数有关的解不等式一般转化为若干个不等式的

解集的并集;(2)与分段函数、绝对值函数有关的不等式恒成立、有解问题,一般利用分离

参数、函数最值等方法求解,求解函数最值一般需要分类讨论.【方法归纳】

(1)与分段函数有关的解不等式一般转化为362-1设函数f(x)=

g(x)=k

,其中k>0,若存在唯一的整数x,使得f(x)<g(x),则实数k的取值范围是

.答案

2-1设函数f(x)= g(x)=k ,其中k>0,若存在37解析作出函数图象易知

≤k⇒k≥

,又当g(x)=k

与y=x2,x>0相切时,k=

,切点横坐标为

,则满足不等式f(x)<g(x)的唯一整数是2或3,即

或

解得

<k≤6,综上可得,

≤k≤6.解析作出函数图象易知 ≤k⇒k≥ ,又当g(x)=k 与y382-2

(2018江苏盐城中学高三阶段性检测)设函数f(x)=|

-ax-b|,a,b∈R.若对任意的实数a,b,总存在实数x0∈[0,4],使得不等式f(x0)≥m成立,则m的最大值

是

.答案

解析设f(x)的最大值为M(b),2-2

(2018江苏盐城中学高三阶段性检测)设函数f39令u(x)=

-ax-b,则u'(x)=

-a,x∈[0,4],当a≤

时,u'(x)≥0,u(x)单调递增,此时-b≤u(x)≤2-4a-b,当b≤1-2a时,M(b)=2-4a-b,当b>1-2a时,M(b)=b,所以当a≤

时,b=1-2a时,M(b)取最小值,M(b)min=1-2a≥

.当a>

时,u(x)在

上单调递增,在

上单调递减,在a∈

时,-b≤u(x)≤

-b,当b=

时,M(b)min=

≥

,在a∈

时,2-4a-b≤u(x)≤

-b,当b=1-2a+

时,M(b)min=1+

-2a>

,综上可得,M(b)min=

,对任意实数a,b,总存在实数x0∈[0,4],使得f(x0)≥m成立等价于

≥m,即m≤M(b)min=

,故实数m的最大值是

.令u(x)= -ax-b,则u'(x)= -a,x∈[0,4402-3

(2018苏北四市高三第一次调研)已知函数f(x)=

函数g(x)=f(x)+f(-x),则不等式g(x)≤2的解集为

.答案[-2,2]2-3

(2018苏北四市高三第一次调研)已知函数f(41解析

f(-x)=

则g(x)=

即g(x)=

则g(x)≤2⇔

或

或

解得1<x≤2或-1≤x≤1或-2≤x<-1,则不等式g(x)≤2的解集为[-2,2].解析

f(-x)= 42题型三函数零点或方程根的问题例3(1)已知函数f1(x)=|x-1|,fk+1(x)=f1(fk(x)),k∈N*,k≤6,若方程fk(x)-lnx=0恰有

两个不相等的实数根,则k的取值集合是

.(2)已知函数f(x)=

有两个不相等的零点x1,x2,则

+

的最大值为

.答案(1){2,4,6}(2)

题型三函数零点或方程根的问题例3(1)已知函数f1(x)43解析(1)方程fk(x)-lnx=0恰有两个不相等的实数根,即函数y=fk(x),y=lnx,x>0

的图象有两个不同的交点,曲线y=lnx在点(1,0)处的切线方程是y=x-1,当k=1

时,作出函数y=|x-1|,y=lnx的图象如图①,只有1个交点,不适合;当k=2时,作出函数y=||x-1|-1|,y=lnx的图象如图②,有2个交点,适合;

解析(1)方程fk(x)-lnx=0恰有两个不相等的实数44当k=3时,作出函数y=|||x-1|-1|-1|,y=lnx的图象如图③,有3个交点,不适合;当k=4时,作出函数y=||||x-1|-1|-1|-1|,y=lnx的图象如图④,有2个交点,适合;

当k=5时,作出函数