11.3 直接证明、间接证明与数学归纳法公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

(了解直接证实两种基本方法——分析法和综正当/了解分析法和综正当思索过程、特点/了解间接证实一个基本方法——反证法/了解反证法思索过程、特点/了解数学归纳法原理/能用数学归纳法证实一些简单数学命题)11.3直接证实、间接证实与数学归纳法1．直接证实中最基本两种证实方法是

和

．2．综正当是利用已知条件和一些数学定义、公理、定理等，经过一系列推理论证，最终推导出所要证实结论成立． 综正当简称为：

．3．分析法思索过程：从要证实结论出发，逐步寻求使它成立充分条件，直至最终，把要证实结论归结为判定一个显著成立条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止． 分析法简称为：

．综正当分析法由因导果执果索因4．反证法思索过程：假设原命题不成立，经过正确推理，最终得出矛盾， 所以说明

，从而证实了原命题成立，这么证实方法叫反证法． 应用反证法证实数学命题，普通有下面几个步骤： 第一步，分清命题“pq”条件和

． 第二步，作出与命题结论q相矛盾假设綈q. 第三步，由p与綈q出发，应用正确推理方法，推出矛盾结果． 第四步，断定产生矛盾结果原因在于开始所作假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证实了命题pq为真．假设错误结论5．由一系列有限特殊事例得出

推理方法，通常叫做归纳法．6．对一些与正整数相关数学命题常采取下面方法来证实它们正确性：先证实当n取第1个值n0时，命题成立；然后假设当n＝k，(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证实当n＝k＋1时，命题也成立，这种证实方法叫做

．7．用数学归纳法证实一个与正整数相关命题时，其步骤为： (1)归纳奠基：证实当取第一个自然数n0时命题成立； (2)归纳递推：假设n＝k，(k∈N*，k≥n0)时，命题成立， 证实当n＝k＋1时，命题成立； (3)由(1)(2)得出结论．普通结论数学归纳法1．分析法是从要证实结论出发，逐步寻求使结论成立() A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．等价条件 答案：A2．假如命题p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2成立，则以下结论正确是() A．p(n)对全部正整数n都成立 B．p(n)对全部正偶数n都成立 C．p(n)对全部正奇数n都成立 D．p(n)对全部自然数n都成立 解析：归纳奠基是：n＝2成立．归纳递推是：n＝k成立，则对n＝k＋2成立．∴p(n)对全部正偶数n都成立． 答案：B3．某个命题与自然数n相关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么能够推得() A．n＝6时该命题不成立 B．n＝6时该命题成立 C．n＝4时该命题不成立 D．n＝4时该命题成立 解析：解法一：由n＝k(k∈N*)成立，可推得当n＝k＋1时该命题也成立．因而若n＝4成立，必有n＝5成立．现知n＝5不成立，所以n＝4一定不成立．解法二：其逆否命题“若当n＝k＋1时该命题不成立，则当n＝k时也不成立”为真，故“n＝5时不成立”⇒“n＝4时不成立”．答案：C4．如右图所表示，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确一个条件即可，无须考虑全部可能情形) 解析：从结论出发，找一个使A1C⊥B1D1成立充分条件． 因而能够是：AC⊥BD或四边形ABCD为正方形． 答案：AC⊥BD

用综正当证实不等式时，应注意观察不等式结构特点，选择适当已知不等式作为依据．在证实时，常要用到以下证题依据：(1)若a，b∈R，则|a|≥0，a2≥0，(a－b)2≥0；(2)若a，b同号，则≥2；(3)若a，b∈(0，＋∞)，则

；a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.【例1】设a>0，b>0，c>0，证实：≥a＋b＋c. 证实：∵a，b，c>0，依据基本不等式， 有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c. 三式相加： ＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)． 即 ≥a＋b＋c.变式1.已知a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥2(a＋b＋c)－3. 证实：∵a2＋b2＋c2－2(a＋b＋c)＋3 ＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1 ＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0， 当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．

∴原不等式成立.【例2】如右图所表示，设四面体P—ABC中，∠ABC＝90°，PA＝PB＝PC，

D是AC中点．

求证：PD垂直于△ABC所在平面．立体几何中很多证实过程都要采取综正当，证实过程中，要步步为营，环环相扣，不可主观臆造，不然因果不成立，从而造成错误．证实：连结PD，BD.∵BD是Rt△ABC斜边上中线，∴DA＝DB＝DC.又PA＝PB＝PC，而PD为△PAD、△PBD、△PCD公共边，∴△PAD≌△PBD≌△PCD.于是∠PDA＝∠PDB＝∠PDC，而∠PDA＝∠PDC＝90°，∴∠PDB＝90°.可见PD⊥AC，PD⊥BD.∵AC∩BD＝D，∴PD⊥平面ABC.变式2.在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，底面是边长为1正方形，

E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA中点．求证： (1)平面AD1E∥平面BGF；(2)D1E⊥平面AEC. 证实：(1)∵E，F分别是棱BB1，DD1中点， ∴BE∥D1F且BE＝D1F，∴四边形BED1F为平行四边形， ∴D1E∥BF，又D1E⊂平面AD1E，BF⊄平面AD1E，

∴BF∥平面AD1E.又G是棱DA中点，∴GF∥AD1，又AD1⊂平面AD1E，GF⊄平面AD1E，∴GF∥平面AD1E，又BF∩GF＝F，∴平面AD1E∥平面BGF.(2)∵AA1＝2，∴AD1＝同理AE＝，D1E＝，∴

＝D1E2＋AE2，∴D1E⊥AE.∵AC⊥BD，AC⊥D1D，BD∩D1D＝D，∴AC⊥平面BB1D1D，又D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E，又AC∩AE＝A，∴D1E⊥平面AEC.由有限特殊事例去发觉问题，得出问题普通结论，再利用数学归纳法给证实，从不完全归纳到利用数学归纳法证实展示了从发觉问题到处理问题完整数学思维过程．【例3】是否存在常数a、b、c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12

＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立，若存在，求出a、b、c并证实；

若不存在，试说明理由． 解答：假设存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12

＝an(bn2＋c) 对于一切n∈N*都成立． 当n＝1时，a(b＋c)＝1；当n＝2时，2a(4b＋c)＝6； 当n＝3时，3a(9b＋c)＝19.解方程组 解得证实以下：当n＝1时，显然成立，假设n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)；当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2＝k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2＝(k＋1)(2k2＋4k＋3)＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1]．所以存在a＝，b＝2，c＝1，使等式对一切n∈N*都成立．变式3.是否存在常数a，b，c使等式1·(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c对一切正整数n成立？并证实你结论． 解答：分别用n＝1,2,3代入等式得 解之得

下面用数学归纳法证实： (1)当n＝1时，由上可知等式成立； (2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，即1·(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k4－k2.则n＝k＋1时，左边＝1·[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]＝1·(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋1·(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)＝k4－k2＋(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)＝k4－k2＋(2k＋1)·＝(k＋1)4－(k＋1)2.∴当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)，(2)得知等式对一切n∈N*均成立．1．分析法特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．2．综正当特点是：从已知看可知，逐步推出未知．3．分析法和综正当各有优缺点．分析法思索起来比较自然，轻易寻找到解题思绪和方法，缺点是思绪逆行，叙述较繁；综正当从条件推出结论，较简捷地处理问题，但不便于思索．实际证题时经常两法兼用，先用分析法探索证实路径，然后再用综正当叙述出来．【方法规律】4．应用反证法证实数学命题，普通分下面几个步骤： 第一步：分清命题“pq”条件和结论； 第二步：作出与命题结论q相矛盾假定綈q； 第三步：由p和綈q出发，应用正确推理方法，推出矛盾结果； 第四步：断定产生矛盾结果原因，在于开始所作假定綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证实了命题pq为真． 第三步所说矛盾结果，通常是指推出结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与暂时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况．5．(1)在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂式子中，注意由n＝k到n＝k＋1时，式子中项数改变，应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设证法不是数学归纳法．(2)对于证实等式问题，在证n＝k＋1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以降低计算时复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证实不等式时，普通要利用放缩法；证实几何命题时，关键在于搞清由n＝k到n

＝k＋1图形改变．(3)归纳、猜测、证实属于探索性问题一个，普通经过计算、观察、归纳，然后猜测出结论，再用数学归纳法证实．因为“猜测”是“证实”前提和“对象”，务必确保猜测正确性，同时必须注意数学归纳法步骤书写.

(本题满分5分)假如△A1