3-1线性方程组的同解变换公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

第3章线性方程组二、齐次线性方程组解结构与解法三、非齐次线性方程组解结构与解法下页一、线性方程组同解变换②高斯消元法与矩阵初等行变换①基本概念③线性方程组解判定定理第1节线性方程组同解变换下页二、高斯消元法与矩阵初等行变换一、基本概念三、线性方程组解判定定理1.1基本概念含有m个方程n个未知量线性方程组普通形式为

a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm====++++++++++-+若b=(b1,b2,…,bm)≠o

，则称(1)为非齐次线性方程组；若b=(b1,b2,…,bm)＝o

，即a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxn000====++++++++++-+……(2)

则称(2)为齐次线性方程组,或(1)

导出组.

下页第1节线性方程组同解变换……(1)A称为方程组系数矩阵.A=a11a21am1a12a22am2a1na2namn称为方程组增广矩阵.下页系数矩阵与增广矩阵定义1下页a11c1a21c1am1c1a12c2a22c2am2c2a1ncna2ncnamncnb1b2bm====++++++++++-+定义2若以n个数组成有序数组c1,

c2,…,cn替换未知量x1,x2,…,xn，使方程组(1)每一个方程都成为恒等式，则称该有序数组c1,

c2,…,cn是方程组(1)一个解.

即若c1,

c2,…,cn是方程组(1)一个解，则有：方程组解+4x3=3-2x2x1+

x3=5+4x2-x1+14x3=12-5x23x13x1x1x15x22x24x214x34x3x31235===--++++++-例1.+4x3=3-2x2x1+5x3=82x2+2x3=3x2x3=2+4x3=3-2x2x1+2x3=3x2——r1r2——

r2-3r1

r3+r1——r3-2r2(Ab)=

1-2

4

3-1

4

1

5

3-5

14

12

3-5

14

12

1-2

4

3-1

4

1

5

0

1

2

3

1-2

4

3

0

2

5

8

0

1

2

3

1-2

4

3

0

0

1

2——r1r2——

r2-3r1

r3+r1——r3-2r2

用消元法解线性方程组过程，实质上就是对该方程组增广矩阵施以初等行变换过程.1.2消元法与矩阵初等行变换下页x3=2+4x3=3-2x2x1+2x3=3x2——r3-2r2

0

1

2

3

1-2

4

3

0

0

1

2——r3-2r2

用消元法解线性方程组过程，实质上就是对该方程组增广矩阵施以初等行变换过程.1.2消元法与矩阵初等行变换下页x3=2

=-5-2x2x1

=-1x2——r2-2r3r1-4r3

0

1

0

-1

1-2

0

-5

0

0

1

2——r2-2r3r1-4r3x3=2

=-7x1

=-1x2——r1+2r2

0

1

0

-1

1

0

0

-7

0

0

1

2——r1+2r2行最简形矩阵行阶梯形矩阵

从前面讨论中能够看出，利用线性方程组Ax

=

b系数矩阵A和增广矩阵=(A

¦

b),能够方便地讨论线性方程组Ax

=

b是否有解以及有解时,解是否唯一等问题.1.3线性方程组解判定定理设增广矩阵

=(A¦b)行最简形为下页下页(1)

若R(A)<R(),则B1中dr+1=1.行对应矛盾方程0=1.故方程组Ax

=

b无解.于是B1第r+1

(2)

若R(A)=R(

)=r=n,则B1中dr+1=0(或第r+1行不出现).因为或B1只有n+1列,故B1中bij均不出现.于是B1对应等价方程组为故方程组Ax

=

b有唯一解.下页

(3)

若R(A)=R()=r<n,则B1中dr+1=0(或第r+1行不出现).此时B1对应等价方程组为下页称xr+1,···,xn为上述方程组自由未知量,令xr+1=c1,···,xn=cn–r,用列矩阵(列向量)形式表示为:可得方程组Ax

=

b含有n–r个参数解:下页因为参数c1,···,cn–r可任意取值,故方程组Ax

=

b有没有穷多解.由以上分析，我们能够得到以下定理。下页定理1

线性方程组有解充分必要条件是r(A)=r().定理2

（1）若r(A)=r()=n，则方程组有唯一解（2）若r(A)=r()<n，则方程组有没有穷多解。例1

求解非齐次线性方程组解

对增广矩阵

进行初等行变换,r2–3r1r3–2r1r3–r2显然,R(A)=2,R()=3,故方程组无解.下页例2

求解非齐次方程组解对增广矩阵

进行初等行变换,显然,R(A)=R(B)=2,故方程组有解,且有(行最简形)下页所以方程组通解为:其中c1,c2为任意数.下页例3求解方程组所以，此方程组有唯一解，.下页设是矩阵，是非齐次线性方程组所对应齐次线性方程组，则以下结论正确是（）仅有零解，则有惟一解；有非零解，则有没有穷多个解；有没有穷多个解，则仅有零解；有没有穷多个解，则有非零解．A、若B、若C、若D、若下页设为阶实矩阵，是转置矩阵，（ⅱ）必有（）．（A）（Ⅱ）解是（Ⅰ）解，（Ⅰ）解也是（Ⅱ）解；（B）（Ⅱ）解是（Ⅰ）解，但（Ⅰ