4-1 常微分方程公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

第四章常微分方程1、微分方程基本概念2、一阶微分方程3、二阶线次微分方程第一节常微分方程

O、背景

一、引例

二、概念和公式导出

三、案例

函数是反应客观世界运动过程中量与量之间一个关系，寻求函数关系在实践中含有主要意义。许多实际问题，往往不能直接找出需要函数关系，却比较轻易列出表示未知函数及其导数(或微分)与自变量之间关系等式．这么等式就是微分方程．1676年詹姆士．贝努利致牛顿信中第一次提出微分方程，直到十八世纪中期，微分方程才成为一门独立学科.微分方程建立后，马上成为研究、了解和知晓现实世界主要工具．1846年,数学家与天文学家合作，经过求解微分方程，发觉了一颗有名新星—­­—­­海王星．1991年，科学家在阿尔卑斯山发觉一个肌肉丰满冰人，据躯体所含碳原子消失程度，经过求解微分方程，推断这个冰人大约遇难于50以前，类似实例还有很多．在微分方程发展史中，数学家牛顿、莱布尼兹、贝努利家族、拉格朗日、欧拉、拉普拉斯等等都做出了卓越贡献．背景

一、引例[曲线方程]一平面曲线上任一点切线斜率等于该点横坐标二倍，试建立该曲线满足方程式．解设所求曲线为由导数几何意义知，曲线上任一点处切线斜率为依据题意有即二、概念和公式引出凡含有未知函数导数(或微分)方程，称为微分方程．微分方程有时也简称为方程．未知函数为一元函数微分方程称为常微分方程．微分方程中未知函数导数最高阶数称为微分方程阶.任何满足微分方程函数都称作微分方程解．假如微分方程中含有任意常数，且独立改变任意常数个数与微分方程阶数相同，这么解称作微分方程通解．不含任意常数解称作微分方程特解．三、案例案例1[死亡年代测定]遗体死亡之后，体内碳含量就不停降低，已知碳衰变速度与当初体内碳含量成正比，试建立解设时刻遗体内碳含量为,依据题意有常数等式右端负号是因为随时间增加而降低．含量应满足方程．任意时刻遗体内碳研究案例2[自由落体运动]一质量为质点,在重力作用下自由下落,求其运动方程.解建立坐标系如图，坐标原点取在水平地面,轴铅直向上,设在时刻故由牛顿第二定律得质点满足方程为或经过积分轻易得出其中是两个独立改变任意常数．质点位置是,因为质点只受重力作用,且力方向与轴正向相反，

贝努利（JacobBernoulli1654-1705），著名数学家。

他自学了牛顿和莱布尼茨微积分，并从1687年开始到他逝世为止任瑞士巴塞尔大学数学教授。他发表了无穷级数论文、研究过许各种特殊曲线、创造了极坐标、引入了在tan(x)函数幂级数展开式中伯努利数。雅可布在《学艺》上发表了一系列主要论文，微分方程中“伯努利方程”就是雅可布提出。1694年他首先给出直角坐标和极坐标曲率半径公式。这也是系统地使用极坐标开始。1690年他提出悬链线问题，以后雅可布又改变了问题条件，处理复杂悬链问题，1694年论文讨论了双纽线性质。“伯努利双纽线”由此得名。雅可布对于对数螺线有很深入研究，他发觉经过各种变换之后，结果还是对数螺线。

约翰.伯努利（JohannBernoulli1667-1748），

雅可布弟弟，原来也错选了职业，他起先学医，并在1694年取得巴塞尔大学博士学位，论文是关于肌肉收缩问题。但他也爱上了微积分，很快就掌握了它，并用它来处理几何学、微分方程和力学上许多问题。1695年他任荷兰戈罗宁根大学数学物理教授，而在他哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教授。1696年约翰向全欧洲数学家挑战，提出一个很艰难问题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名“最速降线”问题。它难处于于和普通极大极小值求法不一样，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给条件。这问题新奇和别出心裁引发了很大兴趣，罗比塔、伯努利弟兄、莱布尼茨和牛顿都得到了解答。

丹尼尔.伯努利（DanielBernoulli1700-1782），起初也像他父亲弟约翰.伯努利一样学医，写了一篇关于肺作用论文取得医学学位，而且也像他父亲一样马上放弃了医学而改攻他天生专长。他在概率论、偏微分方程、物理和流体动力学上都有贡献。而最主要功劳是在流体动力学上，其中“伯努利定理”就是他贡献。他曾经荣获法国科学院奖金１０次之多，其中就包含那项惹他父亲恼怒