自考13635工程力学（机械）高频考点重点

13635工程力学（机械）分章节高频考点重点汇总（划书·彩色标注版）依据指定教材：水小平、张强主编《工程力学（机械）》机械工业出版社2023年版（全国高等教育自学考试指导委员会组编，上卷理论力学第1～10章、下卷材料力学第11～20章）【标注图例】【单选】选择题高频点【填空】填空题高频点【计算】计算题高频点【综合】综合大题高频点红色加下划线＝必背结论与公式；加粗＝关键词。

一、考情导航与备考总纲（先读）（一）课程与试卷结构（【单选】【填空】必背）●课程：工程力学（机械），课程代码13635；指定教材：水小平、张强主编《工程力学（机械）》，机械工业出版社2023年版（全国高等教育自学考试指导委员会组编，ISBN978-7-111-73862-6）。【填空】●教材分上下两卷共20章：上卷理论力学（第1～10章，含静力学、运动学、动力学），下卷材料力学（第11～20章）。【单选】●依据2024年10月、2025年10月两套最新真题，试卷结构与分值固定如下（2026年沿用概率极高）：题型题量每题分值小计编号命题侧重一、单项选择题10题2分20分1～10概念辨析、定性判断二、填空题15题2分30分11～25公式结论、一步计算三、计算题5题6分30分26～30运动学/动力学1～2题，材力3～4题四、综合题2题10分20分31～32静力学构架平衡1题；材力组合变形强度1题●全卷32题、100分、闭卷；客观题（选择+填空）占50分，主观题（计算+综合）占50分，得客观题者过线。（二）四大模块分值占比与复习权重（依据两套真题统计）模块对应教材章约占分值高频题型复习权重静力学第1～4章约18～22分单选、填空、综合31题★★★运动学第5～8章约10～14分单选、计算26/27题★★★动力学第9～10章约8～10分填空、计算28题★★材料力学第11～20章约55～60分贯穿全部题型、综合32题★★★★★【高频·策略】^^材料力学是绝对大头（过半分值），综合题第32题几乎固定考"圆轴弯扭（拉弯扭）组合变形＋第三强度理论"，必须形成肌肉记忆；综合题第31题固定考"平面构架（含力偶、分布载荷）求支座约束力"。（三）彩色标注说明与刷题方法●【单选】蓝＝常出选择题；【填空】绿＝常出填空题；【计算】紫＝常出计算题；【综合】红＝常出综合大题；【高频】橙＝反复考查。红色加下划线为必背结论/公式，加粗为关键词。●复习路径：先背每章公式与结论→做两套真题对应题→用第二份《8套密押》限时训练。计算题务必动手算，不能只看。二、第1章静力学的基本概念（上卷·静力学）1.1力、力对点（轴）的矩、力偶1.力的概念与性质（【单选】【填空】）●力是物体间相互的机械作用，力的三要素：大小、方向、作用点（作用线）；力是定位矢量，沿作用线滑移后对刚体作用效果不变（作用于刚体上的力可沿其作用线移动，为滑动矢量）。【单选·高频】●力的两种作用效应：运动效应（外效应）与变形效应（内效应）；理论力学（刚体）只研究运动效应。●力对点之矩是力使刚体绕该点转动效应的度量，平面中MO(F)=±F·d（d为力臂，即点到力作用线的垂直距离），逆时针为正；力矩随矩心位置改变而改变。【填空】●合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和，MO(FR)=ΣMO(Fi)。【计算】●力对轴之矩：力对某轴的矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对轴与平面交点之矩；当力与轴共面（平行或相交）时，力对该轴之矩为零。【单选·2024.10第12题：长方体对角线力对x轴取矩】2.力偶与力偶矩（【单选】【填空】高频）●力偶：大小相等、方向相反、作用线平行但不共线的两个力组成；力偶没有合力、不能与一个力等效，也不能被一个力平衡，只能由力偶平衡。【单选·必背】●力偶矩：M=±F·d（d为两力作用线垂直距离，即力偶臂）；力偶矩是自由矢量，可在其作用面内及平行平面内任意搬移而不改变对刚体的作用。【单选】●性质：力偶对任一点之矩恒等于力偶矩本身，与矩心无关；同平面两力偶等效条件是力偶矩代数值相等。1.2静力学基本公理与等效性质（【单选】富矿，2024.10第1题已考）●公理一（二力平衡公理）：作用于同一刚体上的两个力平衡的充要条件是等值、反向、共线。●公理二（加减平衡力系公理）：在已知力系上加上或减去任一平衡力系，不改变对刚体的作用。【单选·真题】其适用范围是单个刚体（对刚体系统、变形体不能随意使用）——2024.10第1题原题考点。-推论（力的可传性）：作用于刚体的力可沿作用线移动，只适用于同一刚体。●公理三（力的平行四边形法则）：两个汇交力的合力矢等于两力矢的矢量和，FR=F₁+F₂。●公理四（作用与反作用定律）：作用力与反作用力等值、反向、共线，分别作用在两个物体上（注意与二力平衡区别：平衡二力作用在同一物体）。●公理五（刚化原理）：变形体在某力系作用下平衡，将其刚化为刚体，平衡不受影响；反之不成立。【单选·易混】二力平衡（同体）vs作用反作用（异体）；加减平衡力系、力的可传性都只对单个刚体成立。1.3约束与约束力（【单选】【填空】【综合】必考，每年出图判断方向）●约束反力方向总是与约束所能阻碍的运动方向相反，作用点在接触处。常见约束必背：约束类型约束力特点方向/个数柔索（绳、带、链）拉力T沿柔索、背离被约束体（只能受拉）光滑接触面法向压力N沿接触面公法线、指向被约束体光滑圆柱铰链/固定铰支座两个正交分力FAx、FAy过铰心，方向待定（合反力方向待定）可动铰（滚动）支座一个反力FN垂直于支承面、过铰心固定端（插入端）两个分力＋一个力偶FAx、FAy、MA既限制移动又限制转动（3个量）光滑滑槽/滑道、销钉沿槽一个反力垂直于滑槽（滑道）方向二力杆（二力构件）两端铰接、中间不受力约束力沿两铰连线（或拉或压）【综合·高频套路·2024.10第3题、2025.10第3题】判断固定铰支座约束力方位：先找二力构件（只在两点受力且平衡的构件），其约束力必沿两铰（作用点）连线方位；再由作用反作用传递。这是每年必考的"方位题"。1.4受力图（【综合】基础）●画受力图步骤：取研究对象（解除约束）→画主动力→按约束类型逐一画约束力。●注意：只画研究对象所受的外力，不画它对别的物体的力；二力杆先判；作用力反作用方向相反；同一铰连接多构件时拆开分别画。三、第2章平面力系的简化2.1平面汇交力系与力偶系的简化（【单选】【填空】）●平面汇交力系简化结果是一个合力，作用线通过汇交点，FR=ΣFi（矢量和）。●【单选·2024.10第2题】平面汇交力系中各力矢构成首尾相连的封闭力多边形的充要条件是合力为零（力系平衡），即F₁+F₂+F₃+F₄=0（矢量和为0，不是代数和）。●平面力偶系简化结果是一个合力偶，合力偶矩等于各力偶矩代数和M=ΣMi；平衡条件为ΣMi=0（只有一个方程）。2.2平面任意力系向一点简化（【单选】【填空】【计算】核心）●力的平移定理：作用在刚体上的力可以平移到任一点，但必须同时附加一个力偶，附加力偶矩等于原力对新作用点之矩，即M=MO(F)。【填空·必背】●向简化中心O简化，得到：●主矢F'R=ΣFi（主矢与简化中心无关，大小方向固定）；●主矩MO=ΣMO(Fi)（主矩一般与简化中心有关）。【单选·高频对比】●简化的四种最终结果（【单选】）：主矢主矩简化结果F'R≠0MO=0一个合力（作用线过O）F'R≠0MO≠0可进一步化为一个合力（作用线平移d=MO/F'R）F'R=0MO≠0一个合力偶（与简化中心无关）F'R=0MO=0力系平衡【单选·易错】主矢≠合力；主矢是自由矢量不涉及作用点，合力有确定作用线。当主矢为零、主矩非零时结果是力偶，且此时主矩与简化中心无关。●固定端约束力系向作用面简化为两个正交分力FAx、FAy和一个约束力偶MA（共3个未知量）。【综合·必用】四、第3章平面力系的平衡（综合题31题主战场）3.1平面任意力系平衡方程（【计算】【综合】必背）●平衡充要条件：主矢为零、对任一点主矩为零。●三种形式（【填空】）：●基本式（一矩式）：ΣFx=0，ΣFy=0，ΣMO(F)=0（两投影轴不平行即可）。●二矩式：ΣFx=0，ΣMA=0，ΣMB=0，独立条件：AB连线不垂直于x轴。●三矩式：ΣMA=0，ΣMB=0，ΣMC=0，独立条件：A、B、C三点不共线。●【填空·2025.10第13题】平衡方程ΣFx=0、ΣMA=0、ΣMB=0相互独立的条件是A、B两点连线与x轴不垂直（不垂直于投影轴）。●特殊力系平衡方程数（【单选】）：平面汇交力系2个、平面力偶系1个、平面平行力系2个。3.2平衡方程的应用（【综合】第31题固定题型）●解题"四步法"（【综合·必背套路】）：●①选研究对象（整体或局部，优先选未知少、已知多的构件）；②画受力图；③建坐标、列平衡方程（巧选矩心——使方程中尽量少出现未知力，常取两未知力交点为矩心）；④解方程、校核。●刚体系平衡（【综合】高频）：拆开分析，先分析二力构件和受力最简单的局部，再用作用反作用关系过渡到整体或另一构件；未知量总数=独立平衡方程总数时为静定。●典型综合题（与2024.10-31、2025.10-31同型）：直角弯杆/半圆弧构架＋均布载荷q＋集中力F＋力偶M，求固定铰A、D（或固定端A）约束力。关键：均布载荷合力=q×分布长度，作用点在分布段中点；力偶只能由力偶平衡，列力矩方程时力偶矩直接代入且与矩心无关。3.3静定与静不定、平面桁架（【单选】【填空】）●静定：未知量数=独立平衡方程数；静不定（超静定）：未知量数多于独立方程数（材料力学梁中也考"静不定次数"，见第14、16章）。●桁架假设：各杆两端铰结、自重不计、载荷作用在节点→每根杆都是二力杆。●节点法：每节点2个平衡方程，从只含2未知杆的节点开始；截面法：截开桁架取一部分，用3个平衡方程求被截杆内力。●零力杆（零杆）判断（【单选·高频】）：①无载荷作用的两杆节点，两杆内力都为零；②无载荷的三杆节点，若两杆共线，则第三杆内力为零。3.4考虑摩擦时的平衡（【单选】【填空】【计算】每年必考1题）●滑动摩擦力三阶段（【填空】）：●静摩擦力Fs随主动力变化，0≤Fs≤Fs,max，由平衡方程确定；●最大静摩擦力Fs,max=fs·N（fs静摩擦因数，N法向反力）；临界平衡时取等号；●动摩擦力Fd=f·N，一般f<fs。●摩擦角φf：临界状态下全反力（N与Fs,max的合力）与法线的夹角，tanφf=fs。【填空·必背】【2025.10第11题考摩擦角】●自锁：主动力合力作用线位于摩擦角之内时，无论力多大物体都平衡，称自锁。●斜面类问题（【计算·2024.10第13题】）：物块重P、斜面倾角α、外力F与斜面成β角，沿斜面/垂直斜面建轴，临界（即将上滑或下滑）时Fs=fs·N代入，解F的最大/最小值。【计算·套路】求"保持静止的F最小值"对应物体即将下滑临界，摩擦力沿斜面向上取fs·N；求最大值对应即将上滑，摩擦力向下。五、第4章空间力系平衡及重心、质心、形心4.1空间力系平衡（【填空】）●空间任意力系有6个独立平衡方程：ΣFx=ΣFy=ΣFz=0，ΣMx=ΣMy=ΣMz=0。●空间汇交力系3个、空间平行力系3个（含1个力投影＋2个力矩）。●空间力对轴之矩计算（【填空·2024.10第12题、2025.10第12题】）：把力沿坐标轴分解为Fx、Fy、Fz，作用点坐标(x,y,z)，则●Mx(F)=yFz−zFy；My(F)=zFx−xFz；Mz(F)=xFy−yFx。●解题时善用"力与轴平行或相交则对该轴矩为零"快速判断。4.2重心、质心、形心（【单选】【填空】）●重心是重力合力作用点；质心由质量分布决定；形心由几何形状决定；均质物体的重心、质心、形心三心重合。【单选】●分割法（组合体形心，【填空】）：xC=ΣAixi/ΣAi（面积），均质体重心坐标xC=ΣVixi/ΣVi；挖去部分面积/体积取负值（负面积法/负体积法）。●对称法：具有对称轴/面/中心的均质体，形心在对称轴/面/中心上。六、第5章点的运动学（上卷·运动学）5.1三种描述方法（【单选】【填空】）●矢量法：r=r(t)，v=dr/dt，a=dv/dt。●直角坐标法：运动方程x=x(t)、y=y(t)、z=z(t)；vx=dx/dt，ax=dvx/dt=d²x/dt²，其余两轴同理；v=√(vx²+vy²+vz²)。●弧坐标（自然）法：以轨迹弧长s为坐标，适用于轨迹已知。-速度：v=ds/dt，方向沿轨迹切线；-切向加速度at=dv/dt（反映速度大小变化，沿切线）；-法向加速度an=v²/ρ（反映速度方向变化，沿主法线指向曲率中心，ρ为曲率半径，圆周运动ρ=R）；-全加速度a=√(at²+an²)。【填空·必背】5.2典型结论（【单选】高频，2024.10第4题已考）●动点由静止开始沿某一圆周做匀加速运动（α恒定）：因v=Rt增大，故切向加速度at=Rα为常量，法向加速度an=v²/R越来越大，全加速度越来越大。【单选·真题】●匀速圆周运动：at=0，an=v²/R=Rω²大小不变但方向时刻改变（始终指向圆心）。●直线运动：曲率半径ρ→∞，故an=0，全加速度=切向加速度。●【填空·2025.10第16题】同一竖直上抛运动取向上或向下两种y坐标，所建立的运动微分方程是相同的（运动规律客观，不随坐标选取改变）。七、第6章刚体的基本运动6.1刚体平移（【单选】）●定义：刚体运动时任一直线始终与初始方向平行。特征：同一瞬时刚体内各点轨迹形状相同、速度相同、加速度相同（轨迹可以是曲线，称曲线平移）。故研究平移刚体只需研究其上任一点的运动。6.2刚体定轴转动（【填空】【计算】）●转动方程φ=φ(t)；角速度ω=dφ/dt，角加速度α=dω/dt=d²φ/dt²（均代数量，规定正向）。●匀变速转动公式（α=常量，类比匀变速直线运动）：ω=ω₀+αt；φ−φ₀=ω₀t+½αt²；ω²−ω₀²=2α(φ−φ₀)。●转动刚体上距轴R的点：v=Rω；at=Rα；an=Rω²；a=R√(α²+ω⁴)。【填空·必背】6.3轮系传动（【单选】【填空】高频，2025.10第7、15题）●齿轮啮合（或皮带不打滑）：接触点（啮合点）线速度大小相等、切向加速度相等。●两齿轮：ω₁/ω₂=r₂/r₁=z₂/z₁（与半径、齿数成反比）；角加速度同比例α₁/α₂=r₂/r₁。●齿轮II上同轴固结卷筒（半径r₂）悬重物M：卷筒边缘切向加速度=重物加速度，aM=r₂·α₂=r₂·(r₁/r₂)·α₁=r₁α₁（2025.10第15题结论）。●【单选·2025.10第7题】传动轴上主动轮应布置在使各段扭矩分配更合理（大功率主动轮置于中部、从动轮按功率对称布置）的位置，以降低最大扭矩。八、第7章刚体的平面运动（计算题26/27题主战场）8.1运动分解与角速度（【单选】）●平面运动可分解为随基点的平移＋绕基点的转动。选不同基点：平移部分（基点速度）不同，但绕基点转动的角速度、角加速度与基点选择无关，是刚体整体的ω、α。【单选·高频】8.2求速度的三种方法（【计算】必背，每年1～2题）（1）基点法（速度合成法）●vB=vA+vBA；其中vBA=ω·AB，方向垂直于AB连线。一个矢量方程可解2个未知量（画速度平行四边形/矢量三角形）。（2）速度投影定理●同一平面图形上任意两点A、B的速度，在这两点连线AB上的投影相等（因为杆长不变）。已知两速度方向和一个大小时极快。（3）速度瞬心法（【计算】最常用）●速度瞬心P：某瞬时图形上（或其延拓部分）速度为零的点；该瞬时图形绕P做瞬时转动，任一点M速度vM=ω·PM，方向垂直PM。●瞬心确定（【填空】）：①已知A、B两点速度方向，分别作其垂线，交点即瞬心；②两点速度平行且垂直AB时，瞬心在vA、vB矢端连线与AB交点；③纯滚动轮与固定面的接触点就是速度瞬心。●【计算·2025.10第26题·鼓轮纯滚动】内轮r₁=3r、外轮r₂=4r，内轮沿水平轨道纯滚动，轮心速度vO：由接触点为瞬心ω=vO/r₁=vO/(3r)；最右缘点M到瞬心竖直距离为r₁+r₂=7r，水平合成得vM=vO+ωr₂=vO+(vO/3r)·4r=(7/3)vO。●【计算·2024.10第26题·四连杆】已知曲柄O₁A角速度ω，先由vA=ω·l及A点方向，对AB杆用基点法/速度投影，结合B点绕O₂转动（vB⊥O₂B）求vB，进而ωAB=vBA/AB、ωO2B=vB/O₂B。●【计算·套筒/小环类（2024.10-27、2025.10-27）】套在转动构件上的滑块B同时属于运动杆，用点的复合运动或平面运动基点法，抓住"接触处速度沿公共方向分量相等"，几何关系（30°/60°、√3r）务必先在图上标清。8.3平面运动机构加速度（【填空】【计算】）●基点法加速度：aB=aA+aᵗBA+aⁿBA，其中aᵗBA=α·AB（垂直AB），aⁿBA=ω²·AB（沿AB由B指向A）。●【填空·真题】平行四边形机构O₁A=O₂B、O₁O₂=AB→AB杆做平移，故vB=vA、aB=aA=2rω²（2025.10第14题）；半圆盘顶点D速度由其随平移动＋转动合成（2024.10第14题）。九、第8章点的复合运动9.1基本概念（【单选】易混）●动点：被研究的点；动系：固连在相对定系运动的参考体上；定系：固连地面（机架）。●三种运动：绝对运动（动点相对定系）、相对运动（动点相对动系）、牵连运动（动系相对定系的运动，是刚体的运动，不是一个点的运动）。【单选·高频】●三种速度：va绝对速度、vr相对速度、ve牵连速度＝动系上与动点瞬时重合的那一点（牵连点）相对定系的速度。9.2速度合成定理（【计算】）●va=ve+vr（矢量等式，平面内可解两个独立未知量）。●解题步骤：选动点（常取两构件持续接触的接触点/滑块/小环）→选动系（固连于另一运动构件）→分析三种运动→画速度矢量平行四边形→按几何关系或投影求解。●典型：小环套在转动圆环又沿固定直杆滑动（2025.10第27题，φ=60°时vM=(√3/4)rω₀）；顶杆—偏心凸轮；两运动杆交点。十、第9章动量原理（上卷·动力学）10.1质点运动微分方程与动量（【填空】）●质点运动微分方程：ma=ΣF；直角坐标mx¨=ΣFx等；自然坐标mat=ΣFt、man=ΣFn。●质点动量p=mv（矢量）；质点系动量等于总质量乘以质心速度：p=Σmivi=MvC（与质心速度同向，不等于各动量大小简单相加）。●【填空·2024.10第16题】均质细杆OB（质量m、长r）与均质圆盘A（质量m、半径r）焊接绕O以ω转动：先求系统质心C位置，再p=(2m)·vC=2m·OC·ω。10.2动量定理与质心运动定理（【计算】）●动量定理：dp/dt=ΣFi^(e)（外力主矢＝动量对时间变化率）；积分形式p₂−p₁=Σ∫F^(e)dt（冲量）。●质心运动定理：MaC=ΣFi^(e)；质心运动只由外力决定，内力不能改变质心运动。●动量守恒：外力主矢在某轴投影为零，则系统动量（质心速度）在该轴守恒。10.3转动惯量与动量矩定理（【计算】综合，2025.10第28题）●转动惯量Jz=Σmiri²；平行移轴公式Jz=JzC+Md²（zC为过质心的平行轴）。【填空·必背】●常用均质体转动惯量（【填空】高频）：刚体转轴转动惯量细直杆过质心、垂直杆JC=ml²/12细直杆过端点、垂直杆JO=ml²/3薄圆环/细圆环过中心垂直环面JO=mR²均质圆盘过中心垂直盘面JO=½mR²●质点系对定轴z的动量矩Lz=Jzω；定轴转动微分方程：Jz·α=ΣMz(F^(e))（合外力矩＝转动惯量×角加速度）。●【计算·2025.10第28题·半圆盘】已知质心C到圆心距离OC=4r/(3π)：先用平行移轴JO=JC+m·OC²=½mr²+m(4r/3π)²；释放瞬时由动量矩定理mg·OC=JO·α求α；再由质心运动定理求轴承O约束力（释放瞬时ω=0，质心法向加速度为零，只计切向）。十一、第10章动能定理（计算题28题高频）11.1常见力的功（【填空】必背，2024.10-17、2025.10-17）●常力直线功：W=F·s·cosθ。●重力功：W=P·h=Mg·h（只看重心初末高度差，下降h取正，与路径无关）。●弹性力（弹簧）功：W=½k(δ₁²−δ₂²)，δ₁、δ₂为初、末形变量（初减末，与路径无关）。【填空·真题】●力偶功：W=M·φ（φ为角位移弧度，同向取正）。【填空·2024.10第17题：力F恒垂直于杆，力臂恒为l，转过90°=π/2，故W=Fl·π/2】●刚体的内力、光滑固定铰/光滑接触面等理想约束反力不做功；纯滚动时静摩擦力作用点为瞬心、瞬时速度为零，不做功。11.2动能计算（【填空】【计算】）●质点T=½mv²；质点系T=Σ½mivi²。●刚体三种运动动能（【填空·必背】）：●平移：T=½MvC²；●定轴转动：T=½JOω²；●平面运动：T=½MvC²+½JCω²（随质心平移＋绕质心转动）。11.3动能定理与机械能守恒（【计算】第28题固定解法）●质点系动能定理：T₂−T₁=W₁₂（过程中所有外力、内力做功代数和）。【计算·必背】●"由静止释放求到达某位置角速度"标准三步：①写出初态T₁（静止为0）；②写出末态T₂（用待求ω表示）；③计算重力/弹簧力做功W₁₂；列T₂−T₁=W₁₂解ω。●【计算·2024.10第28题·两杆系统】OA、AB质量均m、长均l，OA定轴转动、AB做平面运动；末位置OA铅垂时由几何关系确定两杆质心下降高度和B点速度约束（B沿光滑水平面，vB水平），联立动能表达式与重力功即可解ωOA。●机械能守恒：只有重力、弹性力等有势力做功时T+V=常量（V为势能），可替代动能定理快速求解。十二、第11章材料力学的基本概念（下卷·材料力学）12.1研究任务与基本假设（【单选】）●材料力学三大任务（构件承载能力，【填空·2025.10第5题】）：强度（不破坏、不发生显著塑性变形）、刚度（变形不超过允许值）、稳定性（保持原有平衡形态，如压杆不失稳）。●变形固体基本假设：连续性、均匀性、各向同性、小变形（线弹性）假设。【单选】●杆件四种基本变形（【填空】）：轴向拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲；实际构件常为其组合。12.2内力、截面法与应力（【填空】基础）●截面法四步：截开、代替（以内力代替弃去部分作用）、平衡、求内力。杆件四类内力：轴力N、剪力Fs、扭矩T、弯矩M。●应力为内力集度：垂直截面的正应力σ、沿截面的切应力τ；单位1Pa=1N/m²，常用1MPa=1N/mm²=10⁶Pa。十三、第12章杆的轴向拉伸与压缩（每年必考，选择/填空/计算）13.1轴力与横、斜截面应力（【单选】【填空】高频）●轴力N沿杆轴，拉力为正、压力为负；用截面法逐段求，画轴力图。●横截面上正应力均匀分布：σ=N/A（A为横截面面积）。【填空·必背】●斜截面（外法线与轴线夹角α）应力（【单选·2024.10第5题、2025.10第6题】）：●σα=σcos²α；τα=(σ/2)sin2α=σsinαcosα；●横截面α=0：σ₀=σ最大、τ₀=0（横截面上只有正应力、没有切应力）；●α=45°：切应力最大τmax=σ/2；纵向截面α=90°：正、切应力均为0。【单选·真题结论】轴向拉压直杆横截面上各点只有正应力、不存在切应力；与轴线成30°的斜截面上同时存在正应力和切应力。等直杆受相同轴力时，σ=N/A只与面积有关，圆形、正方形、箱形截面只要A相同，横截面上正应力相同（2025.10第6题）。13.2低碳钢拉伸的力学性能（【单选】【填空】超高频，几乎每次都考）●低碳钢拉伸σ-ε曲线分四个阶段（【填空·必背】）：阶段曲线段关键应力/现象考点弹性阶段OB比例极限σp（胡克定律上限）、弹性极限σe卸载变形完全恢复（2024.10-18答案OB）屈服阶段BC下屈服点＝屈服强度σs；出现45°滑移线产生不可恢复塑性变形强化阶段CD最高点D＝强度极限（抗拉强度）σb卸载后再加载出现冷作硬化（2024.10-6）局部收缩(颈缩)阶段DE局部颈缩、至E断裂名义应力下降●卸载定律：强化阶段某点卸载，卸载线平行于初始弹性直线（斜率E）；再加载沿卸载线回升，比例极限提高、塑性降低，即冷作硬化（加工硬化）。●【填空·2025.10第18题】强化阶段应变ε⁽¹⁾时卸载、残余应变ε⁽²⁾，则卸载时应力σ⁽¹⁾=E(ε⁽¹⁾−ε⁽²⁾)（弹性应变为总应变减残余应变）。●材料对比（【单选】）：低碳钢（塑性材料）有明显屈服与颈缩，拉压力学性能相近；铸铁（脆性材料）无屈服颈缩、变形极小即断裂，抗压强度远大于抗拉强度，宜用于受压构件。●塑性指标：断后伸长率δ、断面收缩率ψ，越大越塑性好。13.3强度条件与拉压变形（【填空】【计算】）●许用应力[σ]=σu/n（塑性取σs、脆性取σb，n为安全系数）；强度条件σmax=Nmax/A≤[σ]，可用于校核、设计截面A≥Nmax/[σ]、确定许可载荷。●胡克定律：σ=Eε；轴向变形Δl=Nl/(EA)，EA称抗拉（压）刚度；横向应变ε'=−νε，ν为泊松比。【填空·必背】●【填空·2025.10第19题】轴力、杆长、材料不变，面积A→0.8A，则Δl'=Nl/(E·0.8A)=Δl/0.8=1.25Δl。●拉压静不定（超静定）解法三件套：静力平衡方程＋变形协调方程＋物理方程（胡克定律）。●应力集中：杆件截面突然变化（开孔、开槽、台阶）处应力局部急剧增大；塑性材料因屈服可缓解，脆性材料危害大。13.4剪切与挤压（【单选】【填空】每年1题）●剪切：剪切面剪力Q，工程实用计算τ=Q/A（A为剪切面面积），强度条件τ≤[τ]；单剪切面1个、双剪切（销轴）2个。●挤压：接触面挤压应力σjy=Fjy/Ajy。●挤压面面积取接触面在垂直于挤压力方向的投影面积：①平面接触Ajy=接触面面积；②销、轴与孔这类圆柱面接触，取直径×厚度的矩形投影Ajy=d·δ。●【填空·2024.10第19题·冲圆孔】厚δ板上用直径d圆柱冲头冲通孔时，工件沿圆柱侧面被剪断，该圆柱侧面（周长πd×板厚δ）面积A=πdδ——冲裁力F=τ·πdδ，这是本题标准答案。●【单选·2025.10第10题·榫头】按图示榫头实际承压的水平面取投影，挤压面积Ajy=ab（接触面为a×b平面时）；务必"按图上真正传递挤压力的那个接触面"取投影，不要把无关面计入。十四、第13章圆轴的扭转（【填空】【计算】重点）14.1外力偶矩、扭矩与扭矩图（【填空】）●传动轴外力偶矩：m=9550P/n（P单位kW、n单位r/min、m单位N·m）。【填空·必背】●【填空·2024.10第20题】P=600kW、要求Tmax≤2000N·m，由T=9550P/n得最小转速n=9550×600/2000=2865r/min。●扭矩T用截面法（右手螺旋，四指沿扭转方向、拇指指向截面外法线时为正），画扭矩图；最大扭矩在主动轮与功率最大从动轮之间，故主动轮宜布置在中间以降低Tmax（2025.10第7题）。14.2切应力互等、剪切胡克定律（【单选】）●切应力互等定理：互相垂直的两个截面上，垂直于两面交线的切应力大小相等、方向共同指向或共同背离交线。●剪切胡克定律τ=Gγ，G为切变模量；弹性常数关系G=E/[2(1+ν)]。14.3圆轴扭转应力与强度（【计算】必背公式）●横截面上切应力沿半径线性分布：圆心为0、表面最大；τρ=Tρ/Ip，τmax=T/Wt。●极惯性矩Ip与抗扭截面系数Wt（【填空·高频】）：●实心圆轴：Ip=πd⁴/32，Wt=πd³/16；●空心圆轴（外径D、内径d、α=d/D）：Ip=π(D⁴−d⁴)/32=πD⁴(1−α⁴)/32，Wt=πD³(1−α⁴)/16。●强度条件：τmax=Tmax/Wt≤[τ]。●【单选·2024.10第7题】最大切应力与该截面扭矩T成正比，与轴长l、面积A、切变模量G无直接正比关系（G影响变形不影响静力应力）。14.4扭转变形与刚度条件（【计算·2025.10第29题】）●扭转角φ=Tl/(GIp)（弧度rad）；单位长度扭转角θ=T/(GIp)（rad/m），换算为度/米：θ(°/m)=T/(GIp)·(180/π)。●刚度条件：θmax=Tmax/(GIp)·(180/π)≤[φ']（°/m），据此可求许可外力偶矩M₀≤GIp[φ']π/180。●【填空·2025.10第21题】两圆轴直径材料相同、受相同外力偶，相对扭转角与长度成正比：φ₁/φ₂=l₁/l₂（即Ip相同时φ∝l）。十五、第14章梁的弯曲内力（剪力图弯矩图，计算/综合必考）15.1梁与内力（【填空】基础）●梁三类计算简图：简支梁、外伸梁、悬臂梁。截面内力：剪力Fs（沿截面）、弯矩M（力偶）。●符号规定：剪力使所取梁段产生顺时针转动趋势为正；弯矩使梁下部受拉（凹向上）为正。15.2载荷集度、剪力、弯矩微分关系（【单选】超高频，2024.10-8、2025.10-8）●dFs/dx=q；dM/dx=Fs；d²M/dx²=q（q以向下为正）。由此得内力图特征（必背表）：梁段/载荷剪力图弯矩图无载荷段(q=0)水平直线斜直线均布载荷q(向下)斜直线(向右下倾斜)二次抛物线(上凸，q指向凸向)集中力作用处突变，突变值=集中力大小折角(连续但不光滑)集中力偶作用处不变(连续且光滑)突变，突变值=力偶矩大小●【单选·真题】①仅均布载荷段剪力图为斜直线（2024.10第8题）；②集中力偶M作用截面剪力图连续且光滑、弯矩图突变（2025.10第8题）。●画图口诀：先求支座反力→分段定控制截面→利用微分关系连线→集中力/力偶处看突变→弯矩极值出现在剪力为零处。15.3典型梁内力与静不定次数（【填空】【计算】）●简支梁受满跨均布载荷q、跨度l：支座反力ql/2，Mmax=ql²/8（跨中），Fs,max=ql/2。【填空·2024.10第21题】●简支梁跨中集中力F：两端反力F/2，Mmax=Fl/4。●纯弯曲：某梁段剪力恒为零（Fs≡0）、弯矩为常数，该段只受弯不受剪，称纯弯曲（2025.10第22题，由两端力偶使中间BC段Fs=0、M恒定）。●静不定次数＝多余约束数＝总支座反力数−独立平衡方程数：简支梁（铰支2+滚动支1=3，平衡方程3）静定；在跨内增加1个可动铰支座即为1次静不定（2024.10第23题：A铰支、B可动铰、D可动铰，多1个约束→1次）。●【计算·2024.10-29、2025.10-30】画剪力图弯矩图：求反力→分段写Fs、M方程或用微分关系→标出各控制值（含力偶引起的弯矩突变方向）。十六、第15章梁的弯曲应力（【计算】综合高频）16.1弯曲正应力（【填空】【计算】核心公式）●纯弯曲平面假设：变形后横截面仍为平面并与挠曲线垂直；纵向纤维只受单向拉压。●弯曲正应力公式σ=My/Iz；距中性轴y处正应力，沿截面高度线性分布，中性轴（过截面形心）处σ=0，上下边缘最大。●最大正应力：σmax=Mmax/Wz，Wz=Iz/ymax为抗弯截面系数。●常用截面Iz、Wz（【填空·必背】）：矩形(b宽h高)Iz=bh³/12、Wz=bh²/6；实心圆Iz=πd⁴/64、Wz=πd³/32。●【单选·2025.10第23题】工字截面悬臂梁，中间横截面上正应力等于零的是位于中性轴上的点C（A上边缘受压、B下边缘受拉均非零）。16.2弯曲切应力与强度条件（【单选】）●矩形截面切应力沿高度抛物线分布：上下边缘为0、中性轴处最大，τ=FsSz*/(Izb)；工字形截面切应力主要由腹板承担。●弯曲强度条件：σmax=Mmax/Wz≤[σ]（正应力控制，为主）；τmax=Fs,maxSz*/(Izb)≤[τ]（切应力校核，短梁/薄壁时需要）。16.3合理截面与铸铁梁放置（【单选·2024.10第22题】）●提高抗弯能力：材料尽量远离中性轴（工字形、箱形比同面积矩形合理）；对称截面梁上下边缘最大拉压应力相等。●拉压许用应力不同的材料（如铸铁[σt]<[σc]），应使中性轴偏向受拉一侧：T形（槽形）截面翼缘（宽边）放在受压区、腹板窄边朝向受拉区。铸铁简支梁跨中受正弯矩（下部受拉）时，若放置使受拉边缘到中性轴距离更小，则更合理；M增大时离中性轴更远、应力先达强度极限的受拉边缘C截面先破坏（2024.10第22题）。●【计算·2024.10第30题·杠铃】将杠铃片简化为两个700N集中力，圆钢杆d=28mm：先求中间横截面弯矩M，再Wz=πd³/32，σmax=M/Wz（弯曲正应力问题，注意自重不计、按简支/悬臂约束确定M）。二十三、分章典型例题精解（计算题·综合题手把手，务必动手复算）（一）理论力学部分（对应计算26～28、综合31题）【综合】例1平面构架求支座约束力（与综合31题同型）●已知：水平梁AB长4m，A为固定铰支座，B点由二力斜杆BC支承，C在A正上方3m（BC=5m，3-4-5三角形）；AB满布均布载荷q=2kN/m，跨中另受竖直集中力F=10kN。求A处约束力及BC杆受力。●解：①BC为二力杆，其对B的力S沿BC方向，分量Sx=−4S/5、Sy=3S/5。②均布载荷合力ql=8kN、作用于跨中，与F合计向下18kN、作用点距A为2m。③对A取矩（逆时针为正）：ΣMA=(3S/5)·4−18·2=0，得S=15kN（BC受压）。④ΣFx=FAx−4S/5=0，得FAx=12kN（向右）。⑤ΣFy=FAy+3S/5−18=0，得FAy=9kN（向上）。【综合·答案】BC杆受压15kN；固定铰A：FAx=12kN（→）、FAy=9kN（↑）。套路：先判二力杆定方向→巧选两未知力交点为矩心→再投影。【计算】例2斜面摩擦临界力（与2024.10第13题同型）●已知：物块重P=100N置于倾角α=30°斜面，受水平推力F，静摩擦因数fs=0.2。求维持物块不致下滑所需F的最小值。●解：沿斜面（向上为x）、垂直斜面建轴。法向反力N=Pcosα+Fsinα；临界下滑时摩擦力沿斜面向上且取fsN。沿斜面平衡：Fcosα+fs(Pcosα+Fsinα)=Psinα，整理F=P(sinα−fscosα)/(cosα+fssinα)。代入sin30°=0.5、cos30°=0.866：F=100×(0.5−0.2×0.866)/(0.866+0.2×0.5)=100×0.3268/0.966≈33.8N。【计算·答案】Fmin≈33.8N。关键：求最小值对应"即将下滑"，摩擦力沿斜面向上并取fs·N。【填空】例3空间力对轴之矩（与2024.10第12题同型）●已知：长方体顶点A坐标(3a,2a,a)处作用竖直向下的力F=(0,0,−F)，求该力对x、y、z轴之矩。●解：用公式Mx=yFz−zFy=2a·(−F)−a·0=−2aF；My=zFx−xFz=0−3a·(−F)=3aF；Mz=xFy−yFx=0。【填空·答案】Mx=−2aF、My=3aF、Mz=0。口诀：力与轴平行或相交，对该轴矩为零。【填空】例4点的自然法加速度（与2024.10第4题同型）●已知：点从静止沿半径R=0.5m圆周做匀角加速运动，角加速度α=4rad/s²，求t=2s时切向、法向、全加速度。●解：ω=αt=8rad/s；at=Rα=0.5×4=2m/s²；an=Rω²=0.5×64=32m/s²；a=√(at²+an²)=√(4+1024)≈32.1m/s²。【填空·答案】at=2m/s²（常量）、an=32m/s²（随时间增大）、a≈32.1m/s²。【计算】例5定轴转动与轮系传动（与2025.10第15题同型）●已知：主动轮I半径r1=100mm、转速n1=900r/min，与从动轮II（r2=300mm）外啮合，II上同轴固结卷筒半径r3=50mm，绕绳悬重物。求重物上升速度。●解：ω1=πn1/30=30πrad/s；啮合点线速度相等ω2=ω1·r1/r2=10πrad/s；卷筒边缘速度即重物速度v=ω2r3=10π×0.05=0.5π≈1.57m/s。【计算·答案】v≈1.57m/s。外啮合转向相反、角速度与半径成反比。【计算】例6速度瞬心·鼓轮纯滚动（与2025.10第26题同型）●已知：鼓轮小轮r=0.1m沿固定面纯滚动，大轮R=0.3m，轮心O速度vO=0.4m/s向右，求大轮最高点速度。●解：纯滚动接触点为速度瞬心，ω=vO/r=0.4/0.1=4rad/s（顺时针）；最高点到瞬心距离r+R=0.4m，其速度水平向右v=vO+ωR=0.4+4×0.3=1.6m/s。【计算·答案】最高点v=1.6m/s（向右）。【计算】例7点的复合运动·转动杆上小环（与2025.10第27题同型）●已知：直杆OA以匀ω=2rad/s绕O转动，套在杆上的小环P同时沿过O的固定水平直杆滑动；图示瞬时OP=r=0.2m、杆与水平成θ=30°。求小环绝对速度。●解：动系固连OA。牵连速度ve=ωr=0.4m/s（垂直OA）；绝对速度va沿水平固定杆，相对速度vr沿OA。由va=ve+vr，向"垂直OA"方向投影（vr投影为0）：va·sinθ=ve，故va=ve/sin30°=0.8m/s。【计算·答案】va=0.8m/s（沿水平固定杆）。【填空】例8质点系动量（与2024.10第16题同型）●已知：均质杆OA质量m=2kg、长l=0.6m，A端焊均质圆盘质量m=2kg，绕O以ω=3rad/s转动。求系统动量大小。●解：杆质心速度v1=ω·l/2=0.9m/s，盘质心（在A）速度v2=ωl=1.8m/s；系统质心速度vC=(mv1+mv2)/(2m)=1.35m/s；p=(2m)vC=4×1.35=5.4kg·m/s。【填空·答案】p=5.4kg·m/s，方向垂直于OA（圆盘自转不影响系统质心速度）。【计算】例9定轴转动微分方程求角加速度与约束力●已知：均质细杆长l、质量m，绕水平端轴O在铅垂面内由水平位置无初速释放，求释放瞬时角加速度及O处约束力。●解：JO=ml²/3；重力对O矩=mg·l/2，由JOα=ΣMO：α=(mgl/2)/(ml²/3)=3g/(2l)。释放瞬时ω=0，质心法向加速度为0、切向加速度aCt=α·l/2=3g/4（竖直向下）；由质心运动定理mg−FOy=m·3g/4，得FOy=mg/4（向上），FOx=0。【计算·答案】α=3g/(2l)；FO=mg/4（竖直向上）。【计算】例10动能定理求角速度（与2024.10第28题同型）●已知：均质细杆长l、质量m，绕端轴O由水平位置静止释放，求转到铅垂位置时的角速度。●解：初动能T1=0；铅垂位置质心下降h=l/2，重力功W12=mgl/2；末动能T2=½JOω²=½(ml²/3)ω²=ml²ω²/6。由T2−T1=W12：ml²ω²/6=mgl/2，得ω=√(3g/l)。【计算·答案】ω=√(3g/l)。凡"由静止释放求末角速度"，优先用动能定理一步到位。（二）材料力学部分（对应计算29～30、综合32题及填空）【计算】例11轴向拉压应力与变形●已知：阶梯杆上段A1=200mm²、下段A2=100mm²，各段轴力均为N=10kN（拉）、各长0.5m，E=200GPa。求两段正应力与总伸长。●解：σ1=N/A1=10000/200=50MPa，σ2=10000/100=100MPa；Δl1=Nl/(EA1)=10000×500/(200000×200)=0.125mm，Δl2=10000×500/(200000×100)=0.25mm；Δl=0.375mm。【计算·答案】σ1=50MPa、σ2=100MPa，总伸长0.375mm。【填空】例12斜截面应力（与2024.10第5题同型）●已知：拉杆横截面上正应力σ=80MPa，求α=30°斜截面上正应力、切应力及杆内最大切应力。●解：σ₃₀=σcos²30°=80×0.75=60MPa；τ₃₀=(σ/2)sin60°=40×0.866≈34.6MPa；最大切应力在45°面τmax=σ/2=40MPa。【填空·答案】σ₃₀=60MPa、τ₃₀≈34.6MPa、τmax=40MPa。【计算】例13剪切与挤压实用计算●已知：直径d=20mm销轴双剪切面连接，传递拉力F=40kN；主板厚t=10mm。求销钉切应力与挤压应力。●解：双剪时每面剪力Q=F/2=20kN，单剪面面积A=πd²/4=314.2mm²，τ=Q/A=20000/314.2≈63.7MPa；挤压计算面积Ajy=dt=20×10=200mm²，σjy=F/(dt)=40000/200=200MPa。【计算·答案】τ≈63.7MPa、σjy=200MPa。注意双剪有两个剪切面，挤压面取直径投影。【计算】例14圆轴扭转强度与刚度（与2025.10第29题同型）●已知：实心轴d=50mm，传P=10kW、n=300r/min，G=80GPa。求最大切应力和单位长度扭转角。●解：T=9550P/n=9550×10/300≈318.3N·m；Wt=πd³/16≈2.454×10⁻⁵m³，τmax=T/Wt≈13.0MPa；Ip=πd⁴/32≈6.136×10⁻⁷m⁴，θ=T/(GIp)≈0.00648rad/m≈0.372°/m。【计算·答案】τmax≈13.0MPa、θ≈0.372°/m。强度、刚度条件分别用Wt和Ip，切勿混用。【计算】例15简支梁剪力弯矩（与计算29/30题同型）●已知：简支梁跨l=4m，满跨均布q=3kN/m，跨中集中力F=8kN。求支座反力与最大弯矩。●解：结构与载荷对称，RA=RB=(ql+F)/2=(12+8)/2=10kN；跨中剪力为零、弯矩最大，Mmax=ql²/8+Fl/4=3×16/8+8×4/4=6+8=14kN·m。【计算·答案】RA=RB=10kN，Mmax=14kN·m（跨中）。叠加法：均布与集中力结果代数相加。【计算】例16弯曲正应力（与2024.10第30题同型）●已知：矩形截面b=40mm、h=80mm，某截面M=4kN·m。求截面最大正应力及距中性轴y=20mm处正应力。●解：Wz=bh²/6=40×80²/6≈42666.7mm³，σmax=M/Wz=4×10⁶/42666.7≈93.8MPa；正应力线性分布，y=20mm处σ=σmax·(20/40)=46.9MPa。【计算·答案】σmax≈93.8MPa、y=20mm处σ≈46.9MPa；中性轴处为0、上下边缘最大。【填空】例17叠加法求弯曲变形●已知：简支梁l=4m、E=200GPa、I=8×10⁻⁶m⁴，跨中受F=20kN，求跨中挠度。●解：EI=200×10⁹×8×10⁻⁶=1.6×10⁶N·m²；wmax=Fl³/(48EI)=20000×64/(48×1.6×10⁶)≈0.0167m=16.7mm。【填空·答案】跨中挠度≈16.7mm（向下）。【计算】例18平面应力状态主应力与第三强度●已知：单元体σx=60MPa、σy=0、τxy=−40MPa。求主应力、最大切应力、第三强度相当应力。●解：σmax,min=(σx+σy)/2±√[((σx−σy)/2)²+τ²]=30±√(900+1600)=30±50，即80、−20；按代数值σ1=80、σ2=0、σ3=−20MPa。τmax=(σ1−σ3)/2=50MPa；σr3=σ1−σ3=100MPa（等价于√(σx²+4τ²)=√(3600+6400)=100MPa）。【计算·答案】σ1=80、σ2=0、σ3=−20MPa；τmax=50MPa；σr3=100MPa。【综合】例19圆轴弯扭组合·第三强度理论（综合32题母题）●已知：圆轴d=60mm，危险截面弯矩M=800N·m、扭矩T=600N·m，[σ]=100MPa。试按第三强度理论校核强度。●解：Wz=πd³/32≈2.121×10⁻⁵m³，Wt=2Wz；σ=M/Wz≈37.7MPa，τ=T/Wt≈14.2MPa；σr3=√(M²+T²)/Wz=√(800²+600²)/2.121×10⁻⁵=1000/2.121×10⁻⁵≈47.2MPa。因47.2MPa<[σ]=100MPa，故安全。【综合·答案】σr3≈47.2MPa<100MPa，满足强度要求。圆轴弯扭直接用σr3=√(M²+T²)/Wz最快捷。【填空】例20压杆临界压力（与2024.10第9题同型）●已知：两端铰支圆截面压杆d=40mm、l=1.5m、E=200GPa。求临界压力；若改为两端固定又为多少。●解：I=πd⁴/64≈1.257×10⁻⁷m⁴；铰支μ=1，Fcr=π²EI/(μl)²=π²×200×10⁹×1.257×10⁻⁷/1.5²≈110kN；两端固定μ=0.5，相当长度减半，Fcr=4×110≈441kN。【填空·答案】铰支Fcr≈110kN；两端固定≈441kN（为铰支的4倍）。【填空】例21自由落体与水平冲击动荷系数●已知：构件静变形Δst=10mm。①重物从h=100mm高处自由落下；②另一同构件受v=2m/s水平冲击（g=9.81m/s²）。分别求动荷系数。●解：①Kd=1+√(1+2h/Δst)=1+√(1+2×100/10)=1+√21≈5.58；②Kd=√(v²/(gΔst))=√(4/(9.81×0.01))=√40.77≈6.39。【填空·答案】自由落体Kd≈5.58；水平冲击Kd≈6.39（水平冲击Kd与速度v成正比）。二十四、选择题·填空题高频易错陷阱辨析（考前扫雷）（一）理论力学易错清单（【单选】【填空】）●二力平衡vs作用与反作用：前者两力作用在同一刚体上（等值反向共线），后者分别作用在两个物体上。●加减平衡力系公理、力的可传性只适用于单个刚体；对变形体、刚体系不能随意使用。●力偶"三没有"：没有合力、不能用一个力平衡（只能由力偶平衡）、对任一点之矩恒等于自身力偶矩（与矩心无关）。●力系简化：主矢与简化中心无关，主矩一般与简化中心有关；主矢=0、主矩≠0时结果是一个力偶（此时主矩与中心无关）。●力矩MO(F)随矩心改变；力偶矩不随矩心改变——两者勿混。●二力构件（二力杆）约束力沿两铰作用点连线，与杆件是直是弯无关。●约束未知量个数：可动铰1个、固定铰/光滑圆柱铰2个、固定端3个（两力＋一力偶）、空间固定端6个。●静摩擦力由平衡方程确定（0≤Fs≤fsN），并非恒等于fsN；只有临界状态才取fsN；tanφf=fs。●重心、质心、形心只有在均质时才三心重合。●平移刚体同一瞬时各点速度相同、加速度相同、轨迹形状相同，但轨迹可以是曲线（曲线平移）。●平面运动选不同基点：基点速度不同，但角速度ω、角加速度α与基点无关。●速度瞬心瞬时速度为零，加速度一般不为零，且瞬心位置随时间改变；纯滚动接触点是瞬心、该处静摩擦力不做功。●复合运动中牵连运动是动系这个"刚体"的运动；牵连速度是动系上与动点重合的"牵连点"速度，不是动系原点速度。●质点系动量p=MvC（矢量），不是各质点动量大小相加；动能T恒为正标量，动量可因方向相反而抵消。●内力不能改变系统质心运动，但内力做功可以改变系统动能（如人船、爆炸）。●弹性力功只看初末形变½k(δ₁²−δ₂²)；重力功只看质心高度差；理想约束反力不做功。●平行移轴公式Jz=JzC+Md²中JzC必须是绕质心平行轴的转动惯量。（二）材料力学易错清单（【单选】【填空】富矿）●σ=N/A只与面积A有关，与截面是圆、方、箱形无关；面积相同则正应力相同。●轴向拉压横截面上只有正应力、无切应力；切应力在45°面最大τmax=σ/2；纵向截面两应力皆为0。●低碳钢四阶段顺序：弹性(比例/弹性极限)→屈服(σs)→强化(σb，冷作硬化)→颈缩断裂；冷作硬化产生于强化阶段卸载后再加载。●卸载线平行于初始弹性直线（斜率E）；残余应变=总应变−弹性应变。●铸铁抗压强度远大于抗拉，宜做受压件；梁用铸铁时中性轴偏向受拉一侧（T形宽翼缘置受压区）。●三种刚度：拉压EA、扭转GIp、弯曲EI；提高刚度最有效是减小跨度/增大I。●剪切面vs挤压面：销轴单剪1个面、双剪2个面；圆柱面挤压计算面积取直径投影d·δ，板被冲剪的圆柱侧面面积=πdδ。●圆轴扭转切应力沿半径线性、圆心为0、表面最大；只有圆截面才有Wt=2Wz。●外力偶矩m=9550P/n（P用kW、n用r/min、得N·m），单位务必统一。●微分关系：无载段Fs水平、M斜直；均布段Fs斜直、M抛物；集中力处Fs突变、M折角；集中力偶处Fs不变、M突变。●弯矩极值出现在Fs=0处；正弯矩使梁下部受拉。●弯曲正应力沿高度线性、中性轴处为0、边缘最大；弯曲切应力沿高度抛物线、中性轴处最大、边缘为0——两者分布正好相反。●静不定次数=多余约束数=总支座反力数−独立平衡方程数。●主应力必须按代数值排序σ1≥σ2≥σ3（压应力代负号参与排序）。●最大切应力τmax=(σ1−σ3)/2（用最大与最小主应力，不是σ1−σ2）。●第三、四强度理论简化式系数别混：σr3=√(σ²+4τ²)、σr4=√(σ²+3τ²)；圆轴弯扭σr3=√(M²+T²)/Wz。●长度系数越小越稳定：两端固定0.5<一固一铰0.7<两端铰支1<一固一自由2。●欧拉公式只适用大柔度杆（λ≥λp）；中柔度用经验公式、小柔度属强度问题。●各种钢材E近似相同，换高强度钢对提高稳定性作用很小，应靠减小柔度、加强约束。●冲击：突加（骤加）载荷Kd=2；水平冲击动应力与速度v成正比；自由落体Kd=1+√(1+2h/Δst)；增大静变形Δst（加缓冲）可降低Kd。●应力集中在脆性材料上危害更大（塑性材料靠屈服缓解）。（三）补充典型例题【填空】例22桁架零力杆判断●结论：①无载荷作用的两杆节点，两杆内力都为零；②无载荷的三杆节点中若两杆共线，则第三杆内力为零。用节点法从未知杆≤2的节点开始，用截面法求指定杆内力。【填空·答案】满足上述规则的杆为零力杆（内力为0），可先剔除再计算其余杆。【填空】例23平面力系简化的最终结果●已知：平面力系向O点简化得F'R=10kN、MO=4kN·m（两者均不为零）。求最终合力大小及其作用线到O点距离。●解：最终可合成为一个合力，大小等于主矢FR=F'R=10kN；合力作用线平移距离d=MO/F'R=4/10=0.4m，平移方向使合力对O之矩与MO同向。【填空·答案】合力10kN，作用线距O点0.4m。【计算】例24空心圆轴的极惯性矩与抗扭截面系数●已知：空心轴外径D=60mm、内径d=30mm（α=d/D=0.5）。求Ip、Wt。●解：Ip=πD⁴(1−α⁴)/32=π×60⁴×(1−0.0625)/32≈1.193×10⁶mm⁴；Wt=Ip/(D/2)=1.193×10⁶/30≈3.976×10⁴mm³。【计算·答案】Ip≈1.193×10⁶mm⁴、Wt≈3.976×10⁴mm³。空心轴材料远离圆心，抗扭更省料。【计算】例25轴向压缩与弯曲组合（压弯）●已知：矩形截面立柱b×h=30mm×40mm，受轴向压力N=12kN，同时截面弯矩M=200N·m。求截面最大压应力。●解：A=bh=1200mm²，轴力压应力N/A=12000/1200=10MPa；Wz=bh²/6=30×40²/6=8000mm³，弯曲最大应力M/Wz=200000/8000=25MPa；压弯在同一侧叠加，最大压应力σc,max=N/A+M/Wz=10+25=35MPa。【计算·答案】最大压应力35MPa（另一侧为25−10=15MPa）。拉弯组合时受拉侧用M/Wz−N/A。【填空】例26简单静不定梁结论●两端固定梁受满跨均布q、跨长l：固端弯矩MA=MB=ql²/12（上部受拉）、跨中弯矩ql²/24（下部受拉）；两端固定梁跨中受集中力F：固端弯矩Fl/8、跨中弯矩Fl/8。一次静不定需补一个变形协调条件（如固定端转角为0）。【填空·答案】均布两端固定梁固端弯矩ql²/12；两端固定梁有2个竖向反力＋2个固端弯矩共4个未知量、竖向荷载下独立平衡方程2个，故为2次静不定（简支梁跨内每加1个可动铰支座为1次静不定）。十七、第16章梁的弯曲变形（【填空】【计算】）17.1挠度、转角与挠曲线微分方程（【填空】）●挠度w：横截面形心沿垂直梁轴方向的线位移；转角θ：横截面绕中性轴转过的角度；小变形下θ≈tanθ=dw/dx。●挠曲线近似微分方程：EIw″=M(x)（EI为抗弯刚度）。●积分法：对EIw″=M(x)积分一次得转角方程（含常数C）、再积分得挠曲线方程（含常数D），用边界条件（固定端w=θ=0、铰支座w=0）和连续条件定常数。17.2叠加法与常用位移（【填空】必背）●叠加法：复杂载荷分解为若干简单载荷，分别查位移再代数相加。常用结果（EI为常数）：梁与载荷最大挠度端/关键转角悬臂梁·自由端集中力F（长l）wmax=Fl³/(3EI)自由端θ=Fl²/(2EI)悬臂梁·自由端集中力偶Mw=Ml²/(2EI)自由端θ=Ml/(EI)简支梁·跨中集中力Fwmax=Fl³/(48EI)端转角=Fl²/(16EI)简支梁·满跨均布qwmax=5ql⁴/(384EI)端转角=ql³/(24EI)●【填空·2025.10第24题】悬臂梁在某截面作用力偶M，固定端以外指定截面转角可用叠加/积分得Ml/(3EI)类结果——关键是先写M(x)、两次积分并用固定端w=θ=0定常数。17.3刚度条件、静不定梁与提高刚度（【单选】【填空】）●刚度条件：wmax≤[w]（常限[w]=l/250～l/1000）、θmax≤[θ]。●静不定梁：约束反力多于平衡方程，需补变形协调条件（多余约束处挠度/转角为已知值）；弹簧支座时弹簧压缩量=梁在该点挠度，且弹簧反力F=k·Δ（2025.10第20题：简支梁中点加弹簧k、自由端受P，联立变形协调与胡克关系反解弹簧反力，结果含√(1+2kEI/P)型）。●提高梁刚度措施（【单选】）：增大EI、减小跨度、增加支座（改静定为连续）、使载荷尽量靠近支座、分散载荷；刚度与材料E、截面I、跨度l高次相关，缩短跨度最有效。十八、第17章应力状态理论与强度理论（综合32的理论核心）18.1应力状态基本概念（【单选】【填空】）●用单元体描述一点应力；主平面上切应力为零，其上正应力称主应力；三个主应力按代数值排序σ₁≥σ₂≥σ₃（拉为正、压为负）。●单向应力状态：仅一个主应力非零（如轴向拉压）；二向（平面）应力状态：两个主应力非零；三向：三个都非零。18.2二向应力状态解析法（【计算】必背）●已知σx、σy、τxy，斜截面方位角α：●σα=(σx+σy)/2+(σx−σy)/2·cos2α−τxy·sin2α●τα=(σx−σy)/2·sin2α+τxy·cos2α●主应力：σmax,min=(σx+σy)/2±√[((σx−σy)/2)²+τxy²]；主方向tan2α₀=−2τxy/(σx−σy)。●最大切应力τmax=(σ₁−σ₃)/2（由最大、最小主应力决定，【填空·高频】）。●【填空·2024.10第24题】单元体σx=20、σy=40、τ=50MPa：先算σmax,min=30±√(10²+50²)=30±√2600=30±50.99，得σ₁≈80.99、σ₂=0、σ₃≈−20.99，故τmax=(σ₁−σ₃)/2≈50.99MPa。●应力圆（莫尔圆，【单选】）：圆心横坐标(σx+σy)/2，半径=√[((σx−σy)/2)²+τ²]；圆上一点对应一个截面，转2α对应实际转α。18.3广义胡克定律与四个强度理论（【填空】【综合】必背）●广义胡克定律（平面）：εx=(σx−νσy)/E，εy=(σy−νσx)/E。●四个强度理论及相当应力（【填空·综合32】）：强度理论相当应力主要适用第一·最大拉应力σr1=σ₁脆性材料(铸铁)第二·最大伸长应变σr2=σ₁−ν(σ₂+σ₃)脆性(少用)第三·最大切应力σr3=σ₁−σ₃塑性材料(碳钢轴，最常用)第四·形状改变比能σr4=√[½((σ1−σ2)²+(σ2−σ3)²+(σ3−σ1)²)]塑性材料(更精确)●平面应力状态（σx=σ，σy=0，τxy=τ）下两个常用简化式（【综合·必背】）：●第三强度理论：σr3=√(σ²+4τ²)；●第四强度理论：σr4=√(σ²+3τ²)。十九、第18章组合变形杆件的强度（综合题32固定大题）19.1分析方法（【综合】总思路）●四步：①外力向杆件轴线（截面形心）简化、分解为若干基本变形；②分别计算各基本变形下危险截面内力；③计算危险点处各应力分量；④按强度理论叠加、建立强度条件。19.2三类组合（【综合】必考，32题几乎固定为弯扭）●（1）拉（压）与弯曲组合：轴力N产生均匀正应力N/A，弯矩M产生线性正应力M/Wz，叠加σmax=N/A+Mmax/Wz（拉侧相加），压侧N/A−M/Wz。●（2）圆轴拉（压）与扭转组合：σ=N/A，τ=T/Wt，用第三理论σr3=√(σ²+4τ²)。●（3）圆轴弯曲与扭转组合（重中之重）：危险截面弯矩M、扭矩T；σ=M/Wz、τ=T/Wt；圆截面Wt=2Wz，故σr3=√(σ²+4τ²)=√(M²+T²)/Wz。【综合·必背公式】●拉弯扭三组合：σ=N/A+M/Wz，τ=T/Wt，仍用σr3=√(σ²+4τ²)。●【综合·2024.10第32题】电机主轴：由功率P=9kW、转速n=715r/min求T=9550P/n；皮带轮直径D=250、紧边拉力为松边2倍，由(T₁−T₂)·D/2=T及T