5.3向量的坐标运算(第1课时)公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

第五章平面向量向量的坐标运算第讲3（第一课时）1考点搜索●平面向量基本定理及坐标运算●向量平行充要条件●向量坐标运算与函数(包含三角函数)、解析几何综合题2高考猜想这一部分是向量关键内容，高考一个主要命题点.选择题、填空题重在考查数量积概念、运算律、性质，向量平行与垂直、夹角与距离等；解答题重在考查与几何、三角函数、代数等结合综合题.3一、平面向量坐标表示

在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同两个单位向量i、j作为基底，对任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj，则实数对(x，y)叫做向量a直角坐标，记作a=(x，y).其中x、y分别叫做a在x轴、y轴上坐标，a=(x，y)叫做向量a坐标表示.

相等向量其坐标相同，坐标相同向量是相等向量.4二、平面向量坐标运算

1.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a±b=①_______________;2.假如A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=②______________;3.若a=(x，y)，则λa=③_________;4.假如a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a∥b充要条件是④_____________.(x1±x2，y1±y2)(x2-x1，y2-y1)(λx,λy)x1y2-x2y1=05三、平面向量数量积坐标表示

1.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=⑤_____________;2.若a=(x，y)，则|a|2=a·a=⑥______，|a|=⑦___________;3.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=⑧____________；

4.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a⊥b⑨_______________;x1x2+y1y2x2+y2x1x2+y1y2=065.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b夹角为θ，则cosθ=⑩________________.

71.对于n个向量a1,a2,…,an,若存在n个不全为零实数k1,k2,…，kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，则称向量a1,a2,…,an是线性相关.按此要求，能使向量a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)是线性相关实数k1,k2,k3值依次为_________.(只需写出一组值即可)

解：依据线性相关定义得k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=0，则令k3=1,则k2=2，k1=-4，所以k1,k2,k3一组值为-4,2,1.-4,2,182.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m)，且a∥b，则2a+3b=()A.(-2，-4)B.(-3，-6)C.(-4，-8)D.(-5，-10)

解：由a∥b，得m=-4，所以2a+3b=(2，4)＋(-6，-12)=(-4，-8)，故选C.C93.已知平面向量a=(1，-3)，b=(4，-2)，λa+b与a垂直，则λ=()A.-1B.1C.-2D.2

解：因为λa+b=(λ+4,-3λ-2),a=(1,-3),且(λa+b)⊥a,

所以(λ+4)-3(-3λ-2)=0，即10λ+10=0,

所以λ=-1，故选A.A10题型1向量坐标1.设向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，c=(-1，-2)，若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d有向线段首尾相接能组成四边形，求向量d坐标解：依据题意，4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0，即6a+4b-4c+d=0，所以d=4c-6a-4b=4(-1，-2)-6(1，-3)-4(-2，4)=(-2，-6).11点评：坐标向量加减运算，按对应坐标进行加减运算即可，包括到已知起点和终点坐标求向量时，用终点坐标减去起点坐标即可.12点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=(4，-3)(即点P运动方向与v相同，且每秒移动距离为|v|个单位长度).设开始时点P坐标为(-10，10)，则5秒后点P坐标为()A.(-2，4)B.(-30，25)C.(5，-10)D.(10，-5)

解：设点A(-10，10)，5秒后点P运动到B点，则=5v，所以=5v，所以+5v=(-10，10)+5(4，-3)=(10，-5).故选D.D13题型2向量模2.已知向量a=(cos23°，cos67°)，b=(cos68°，cos22°)，求|a+tb|(t∈R)最小值.

解：由已知得a=(cos23°，sin23°)，b=(sin22°，cos22°)，所以|a|=|b|=1，a·b=sin22°cos23°+cos22°sin23°=sin45°=.

所以|a+tb|2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2所以当t=-时，|a+tb|min=.14点评：坐标向量a=(x，y)模是一个非负数，包括到三角函数式运算时，注意先将三角函数式化简再求解.15已知向量m=(cosθ，sinθ)和n=(-sinθ，cosθ)，θ∈［π，2π］.求|m+n|最大值.

解：m+n=(cosθ-sinθ+,cosθ+sinθ),因为θ∈［π，2π］，所以所以cos()≤1，所以|m+n|max=.16已知a、b、c是同一平面内三个向量，其中a=(1，2).(1)若|c|=，且c∥a，求c坐标;(2)若|b|=，且a+2b与2a-b垂直,求a与b夹角θ.

解：(1)设c=(x,y)，则|c|=

又c∥a，则2x=y,

所以或所以c=(2,4),或c=(-2,-4).题型3向量平行与垂直17(2)因为a+2b与2a-b垂直,所以(a+2b)(2a-b)=2|a|2+3a·b-2|b|2=0.因为|b|=，|a|=，所以a·b=-所以所以a与b夹角θ为135°.点评：两坐标向量平行(或垂直)充要条件是将向量运算转化为实数运算依据，注意平行与垂直充要条件极易弄错或混同.18设向量m=a+(t2-k)b，其中k>0，且为常数，n=-sa+tb，其中s、t是两个非零实数，若m⊥n

(1)试将s表示成关于t函数s=f(t);(2)若s=f(t)在区间［1，+∞)上是单调函数，求k取值范围.解：(1)因为m⊥n，所以m·n=0，即［a+(t2-k)b］·(-sa+tb)=0.

所以-sa2+t(t2-k)b2+［t-s(t2-k)］a·b=0.19由题设知|a|=|b|=1，a·b=0，所以-s+t(t2-k)=0，即s=t3-kt.

所以s=f(t)=t3-kt(t≠0，k＞0，且k为常数).(2)若f(t)在区间［1，+∞)上是增函数，则当t≥1时，f′(t)=3t2-k≥0恒成立，即k≤3t2恒成立.

因为3t2≥3，所以k≤3.

若f(t)在区间［1，+∞)上是减函数.

则当t≥1时，f′(t)=3t2-k≤0恒成立.

即k≥3t2恒成立，这不可能.

又k＞0，所以k取值范围是(0，3］.201.

建立平面向量坐标，基础是平面向