1995年全国统一高考数学试卷(理科)

1995年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，1-10每小题4分，11-15每小题5，满分65分）1．（4分）已知I为全集，集合M，N?I，若M∩N=N，则（）A．B．C．D．2．（4分）（2007?奉贤区一模）函数y=1+的图象是（）A．B．C．D．3．（4分）函数y=4sin（3x+）+3cos（3x+）的最小正周期是（）A．6πB．2πC．D．4．（4分）正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）A．B．C．2πa2D．3πa25．（4分）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3D．k1＜k3＜k2B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k16．（4分）（2008?湖南）在（1﹣x3）（1+x）10展开式中，x5的系数是（）A．﹣297B．﹣2527．（4分）使arcsinx＞arccosx成立的x的取值范围是（）A．B．C．C．297D．207D．[﹣1，0）8．（4分）（2008?西城区二模）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（）y=±y=±y=±A．y=±3xB．C．D．xxx9．（4分）已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于（）A．B．C．D．10．（4分）（2014?市中区二模）已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④11．（5分）（2012?荆州模拟）函数y=loga（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．（2，+∞）12．（5分）等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若，则等于（）A．13．（5分）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共（）A．24个B．30个C．40个D．60个1B．C．D．14．（5分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点（2c，0），离心率为e，则它的极坐标方程是（）A．C．B．D．15．（5分）（2010?内江二模）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16．（4分）不等式的解集是_________．17．（4分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为_________．18．（4分）（2012?许昌二模）函数y=sin（x﹣）cosx的最小值_________．19．（4分）（2010?郑州二模）若直线l过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=_________．20．（4分）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有_________种（用数字作答）．三、解答题（共6小题，满分65分）21．（7分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．22．（10分）求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．23．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．（1）求证：AF⊥DB；（2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．24．（12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8）（x≥8，t≥0），Q=500（8≤x≤14）．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？25．（12分）设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和．（1）证明；（2）是否存在常数c＞0，使得成立？并证明你的结论．26．（12分）已知椭圆，直线．P是l上点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|?|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．1995年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，1-10每小题4分，11-15每小题5，满分65分）1．（4分）已知I为全集，集合M，N?I，若M∩N=N，则（）A．B．C．D．考点：集合的包含关系判断及应用．分析：根据题意，做出图示，依次分析选项可得答案．解答：解：根据题意，若M∩N=N，则N?M，做出图示如图，分析可得，必有，故选C．2．（4分）（2007?奉贤区一模）函数y=1+的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．把函数y=的图象先经过左右平移得到y=分析：的图象，再经过上下平移得到y=+1的图象．解：将函数y=的图象向右平移1个单位，得到y=的图象，再把y=解答：的图象向上平移一个单位，即得到y=+1的图象，故选A．点评：本题考查函数图象的平移规律和平移的方法，体现了数形结合的数学思想．3．（4分）函数y=4sin（3x+）+3cos（3x+）的最小正周期是（）A．6πB．2πC．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．先根据三角函数的辅角公式将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由T=分析：可得到答案．解：∵y=4sin（3x+）+3cos（3x+）=5sin（3x+解答：+φ）（其中sinφ=，cosφ=）∴T=故选C．本题主要考查三角函数最小正周期的求法，即先将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由T=点评：确定结果．4．（4分）正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）A．B．C．2πa2D．3πa2考点：专题：分球内接多面体．计算题．设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，利用正方体的表面积求出与球的析：半径的等式，然后求出球的表面积．解：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，答：依题意知解R2=a2，即R2=a2，∴S球=4πR2=4π?a2=．故选B点本题是基础题，解题的突破口是正方体的体对角线就是球的直径，正确进行正5．（4分）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．分析：由直线斜率（倾斜角的正切值）的定义和正切函数的单调性可得．解：直线l1的倾斜角是钝角，则斜率k1＜0；直线l2与l3的倾斜角都是锐角，斜率都是正数，解答：但直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角，所以k2＞k3＞0，所以k1＜k3＜k2，故选D．点评：本题考查直线斜率和图象的关系．6．（4分）（2008?湖南）在（1﹣x3）（1+x）10展开式中，x5的系数是（）A．﹣297B．﹣252C．297D．207考点：二项式定理的应用．专题：计算题．先将多项式展开，转化成两二项式系数的差，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为5，2求出二项展开式的系数．分析：解答：解：（1﹣x3）（1+x）10=（1+x）10﹣x3（1+x）10∴（1﹣x3）（1+x）10展开式的x5的系数是（1+x）10的展开式的x5的系数减去（1+x）10的x2的系数∵（1+x）10的展开式的通项为Tr+1=C10rxr令r=5，2得（1+x）10展开式的含x5的系数为C105；展开式的含x2的系数为C102C105﹣C102=252﹣45=207故选项为D本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．点评：7．（4分）使arcsinx＞arccosx成立的x的取值范围是（）A．B．C．D．[﹣1，0）考点：反三角函数的运用．专题：计算题；转化思想．注意arcsinx、arccosx的范围以及正弦函数的单调性，利用反三角函数的性质，化简不等式，反三角函数的定义域，然后求解即可．解：因为arcsinx＞arccosx所以sin（arcsinx）＞sin（arccosx）即：x＞分析：解答：，且x∈[0，1]，所以解得x∈故选B．点评：本题考查反三角函数的运用，注意函数的定义域，是基础题．8．（4分）（2008?西城区二模）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（）y=±y=±y=±xA．y=±3xB．C．D．xx考点：双曲线的简单性质．计算题．双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为专题：分析：解答：，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线．解：双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，其渐近线方程是，整理得．故选C．9．（4分）已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是sin2θ，所以把正弦和余分析：弦的平方和等于1两边平方，又根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号，得到结果．解：∵sin2θ+cos2θ=1，∴sin4θ+cos4θ+2sin2θcos2θ=1，∵∴解答：∵角是第三象限角，∴sin2θ=，故选A已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．点评：10．（4分）（2014?市中区二模）已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④考点平面与平面之间的位置关系．：专综合题．题：由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利分析：用面面垂直的判定可得③为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假命题．解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m?平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m?平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m?平面β可得α⊥β；即③为真命题；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m?平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．解答：故选C．点本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课评本上的公理，定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理：以及推论理解透彻，并会用．11．（5分）（2012?荆州模拟）函数y=loga（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．（2，+∞）考点函数单调性的性质．：专题常规题型．：分析：a＞0?2﹣ax在[0，1]上是减函数由复合函数的单调性可得a＞1，在利用对数函数的真数须大于0可解得a的取值范围．解：∵a＞0，∴2﹣ax在[0，1]上是减函数．∴y=logau应为增函数，且u=2﹣ax在[0，1]上应恒大于零．∴解答：∴1＜a＜2．故答案为：C．点本题考查了对数函数与其它函数复合在一起的一新函数的单调性，复合函数的评单调性遵循的原则是同增异减，即单调性相同复合在一起为增函数，单调性相：反，复合在一起为减函数．12．（5分）等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若，则等于（）A．1B．C．D．考点：专题：等差数列的前n项和；极限及其运算．压轴题．利用等差数列的性质求得分析：，再求极限．解：∵=解答：点评：∴故选C本题主要考查等差数列的性质的运用．13．（5分）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共（）A．24个B．30个C．40个D．60个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题．根据题意，分2步进行，首先分析个位数字，要求是偶数，则其个位数字为2分析：或4，有2种情况，进而分析百位、十位，将剩下的4个数字，任取2个，分配在百位、十位即可，由分步计数原理，计算可得答案．解：根据题意，要求是偶数，则其个位数字为2或4，有2种情况，将剩下的4个数字，任取2个，分配在百位、十位，有A42=12种情况，由分步计数原理，可得共2×12=24个，解答：故选A．本题考查排列、组合的综合运用，注意题目中要求是偶数，要优先分析个位点评：数字．14．（5分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点（2c，0），离心率为e，则它的极坐标方程是（）A．C．B．D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；压轴题．欲求椭圆的极坐标方程，根据圆锥曲线统一的极坐标方程分析：，只要求出几何量p即可，从而确定它们的极坐标方程．解：∵椭圆的极坐标方程，p即椭圆的焦点到相应准线的距离，∴解答：，∴椭圆的极坐标方程是：．故填：D．点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．15．（5分）（2010?内江二模）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；压轴题．先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．分析：解答：解：取BC的中点D，连接D1F1，F1D∴D1B∥DF1∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=在△DF1A中，cos∠DF1A=，故选A本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．点评：二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16．（4分）不等式的解集是{x|﹣2＜x＜4}．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：化简不等式，利用指数函数的性质，化为二次不等式求解即可．解：不等式，化为解答：所以有指数函数的性质可知：x2﹣8＜2x解得：x|﹣2＜x＜4故答案为：x|﹣2＜x＜4点评：本题考查指数函数的性质，二次不等式的解法，是基础题．17．（4分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为．考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：分计算题；综合题．设出球的半径，求出圆台上底面半径，圆台的高，求出圆台体积，球的体积即析：可．解：设球的半径为2，由题意可得圆台上底面半径为1，圆台的高为，所以圆台的体积是：球的体积：解答：圆台的体积与球体积之比为：故答案为：点本题考查球的体积和表面积，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，逻辑评：思维能力，是基础题．18．（4分）（2012?许昌二模）函数y=sin（x﹣）cosx的最小值．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分先根据两角和与差的公式和二倍角公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到析：答案．解解：y=sin（x﹣答：）cosx=（sinx﹣cosx）cosx=sinxcosx﹣cos2x=（cos2x+1）=﹣∴y=sin（x﹣）cosx的最小值为：故答案为：﹣．点本题主要考查两角和与差的公式和二倍角公式的应用和正弦函数的最值．考查19．（4分）（2010?郑州二模）若直线l过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．先把抛物线方程整理成标准方程，可得焦点坐标．进而可得l被抛物线截得的线段长，进而求得a．分析：解答：解：抛物线方程整理得x2=y，焦点（0，）l被抛物线截得的线段长即为通径长，故=4，a=；故答案为．20．（4分）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有144种（用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有2个小球，分析：从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．解：四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，解答：从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列故共有C42A43=144种不同的放法．故答案为144．本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列．点评：三、解答题（共6小题，满分65分）21．（7分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：由复数的三角形式和辐角主值可直接求解．解答：本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力．解：设Z1，Z3对应的复数分别为z1，z3，依题设得====22．（10分）求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．先根据二倍角公式降幂，再由积化和差公式、和和差化积化简即可得到答案．分析：解：原式==解答：==点评：本小题主要考查三角恒等式和运算能力．属基础题．23．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．（1）求证：AF⊥DB；（2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．考点：平面与圆柱面的截线；直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题．（1）欲证AF⊥DB，先证AF⊥平面DEB，根据线面垂直的判定定理可知只需分析：证EB⊥AF，AF⊥DE，且EB∩DE=E，即可证得线面垂直；（2）点E作EH⊥AB，H是垂足，连接DH，易证∠EDH是DE与平面ABCD所成的角，在三角形EDH中求出此角即可．解答：（1）证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE．∵EB?平面ABE，∴DA⊥EB．∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE．∵AF?平面DAE，∴EB⊥AF．又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB．∵DB?平面DEB，∴AF⊥DB．（2）解：过点E作EH⊥AB，H是垂足，连接DH．根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线．且EH?平面ABE，所以EH⊥平面ABCD．又DH?平面ABCD，所以DH是ED在平面ABCD上的射影，从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角．设圆柱的底面半径为R，则DA=AB=2R，于是V圆柱=2πR3，．由V圆柱：VD﹣ABE=3π，得EH=R，可知H是圆柱底面的圆心，AH=R，DH=∴∠EDH=arcctg=arcctg（/5），24．（12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t﹣8）（x≥8，t≥0），Q=500（8≤x≤14）．当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；压轴题．本题综合考查函数、方程、不等式的解法等基础知识和方法．p=Q得到方程，当根的判别式≥0时，方程有解，求出解可得函数．然后△≥0，原题t≥0，分析：8≤x≤14以及二次根式自变量取值范围得t的另一范围，联立得两个不等式组，求出解集可得自变量取值范围．第二小题，价格不高于10元，得x≤10，求出t的取值范围．解：（1）依题设有1000（x+t﹣8）=500，化简得5x2+（8t﹣80）x+（4t2﹣64t+280）=0．当判别式△=800﹣16t2≥0时，可得x=8﹣±．由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式组：①解答：②解不等式组①，得0≤t≤，不等式组②无解．故所求的函数关系式为函数的定义域为[0，]．（2）为使x≤10，应有8≤10化简得t2+4t﹣5≥0．解得t≥1或t≤﹣5，由t≥0知t≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．点评：25．（12分）设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和．（1）证明；（2）是否存在常数c＞0，使得成立？并证明你的结论．考点：等比数列的前n项和；对数的运算性质；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题．（1）设{an}的公比为q，当q=1时根据Sn?Sn+2﹣Sn+12求得结果小于0，不符合；当q≠1时利用等比数列求和公式求得Sn?Sn+2﹣Sn+12＜0，进而推断Sn?Sn+2，＜Sn+12．根据对数函数的单调性求得lg（Sn?Sn+2）＜lgSn+12，原式得证．（2）要使．成立，则有分析：进而分两种情况讨论当q=1时根据（Sn﹣c）（Sn+2﹣c）=（Sn+1﹣c）2求得﹣a12＜0不符合题意；当q≠1时求得（Sn﹣c）（Sn+2﹣c）﹣（Sn+1﹣c）2=﹣a1qn[a1﹣c（1﹣q）]，进而推知a1﹣c（1﹣q）=0，判断出0＜q＜1，但此时不符合题意，最后综合可得结论．解答：（1）证明