探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积课件

祖暅原理与几何体体积探究祖暅原理与几何体体积探究3柱锥球体积1情景问题4即时训练2祖暅原理目录3柱锥球体积1情景问题4即时训练2祖课堂实施柱体体积台体体积锥体体积球体体积

课堂实施柱体体积台体体积锥体体积球体体积

1情景问题Partone1情景问题Partone教学内容书桌上放着两叠一样的12本书，大小、厚度都一样，且摆成两个形状一样的柱体。问题1：这两个柱体的体积一样吗？问题2：在这种情况下，这两个柱体的体积一样吗？

为什么？教学内容书桌上放着两叠一样的12本书，大小、厚度都一样，且摆教学内容123几何画板教学内容123几何画板教学内容祖暅原理

这个问题，我国南北朝时代的数学家祖暅就已经提出了解决的方法。教学内容祖暅原理这个问题，我国南北朝时代的数学课堂实施幂指面积，势即是高，意思是如果两等高的几何体在同高处截的两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。

祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的影响，尤其是父亲的影响，他从小热爱科学，对数学具有浓厚的兴趣。祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与他儿子祖暅一起用巧妙的方法解决了柱体、锥体、球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方被称为“卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由意大利数学家卡瓦列利发现的，为了纪念祖氏父子的这一伟大发现，数学上也称这个原理为祖暅原理。缘幂势既同，则积不容易原理祖暅话说祖暅课堂实施幂指面积，势即是高，祖暅是南北朝时条件：用平行于这两个平面的任意平面截两个几何体；看两个截面的面积是否总相等．若是，则满足祖暅原理的条件两个条件缺一不可，才能得出两个几何体的体积一定相等．αβ祖暅原理

前提：两个几何体夹在两个平行平面之间，即等高；条件：用平行于这两个平面的任意平面截两个几何体；看9教学重点探究一：三个同底等高的柱体，用一平行于底面的平面去截任一柱体，

观察截面面积与底面面积的关系。1柱体体积截面面积与底面面积全等条件1：高相等条件2：截面积相等由祖暅原理体积相等V柱=sh教学重点探究一：1柱体体积截面面积与底面面积全等条件1：高相

如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShABCA’C’B’连接B’C,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥。就是三棱锥1和另两个三棱锥2、3。１232椎体体积情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用教学重点如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么11BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’１232椎体体积教学重点BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’BCA’C’B’3ABCA’1BCA’B’2BCA’B’2ABCA’1BCA’B’2ABCA’1三棱锥1、2的底△ABA’、△B’A’B的面积相等，高也相等（顶点都是C）。A1BCA’B’2BCA’B’2ABCA’1BCA’B’2ABCA’1高2椎体体积教学重点CA’C’B’3ABCA’1BCA’B’2BCA’B’2ABABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2三棱锥2、3的底△BCB’、△C’B’C的面积相等。高也相等（顶点都是A’）。高2椎体体积教学重点ABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2BCA’B’2BC教学重点探究二：等底面积等高的两个两个椎体体积有何关系？2椎体体积教学重点探究二：等底面积等高的两个两个椎体体积有何关系？2椎

如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2V1＝V2＝V3＝

V三棱柱2椎体体积教学重点如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么2椎体体积MN教学重点2椎体体积MN教学重点17教学重点探究三：半球的体积与底面积相等的旋转体体积对比3球体体积R结论：教学重点探究三：半球的体积与底面积相等的旋转体体积对比3球体教学重点3球体体积Rrlo因此S圆

==()=lloll设球的半径为R,截面半径为r,平面与截面的距离为那么r=教学重点3球体体积Rrlo因此S圆==(教学重点3球体体积Rrloo因此S圆

==()=设球的半径为R,截面半径为r,平面与截面的距离为那么r=ol教学重点3球体体积Rrloo因此S圆==(教学重点3球体体积教学重点3球体体积教学重点3球体体积oO1LPNKlBO2S圆环

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教学重点3球体体积oO1LPNKlBO2Rrlo根据祖暅原典例探究“牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．如图，正方形是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为（）A．B．C．D．典例探究“牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程典例探究典例探究典例探究典例探究典例探究典例探究谢谢您的聆听谢谢您的聆听祖暅原理与几何体体积探究祖暅原理与几何体体积探究3柱锥球体积1情景问题4即时训练2祖暅原理目录3柱锥球体积1情景问题4即时训练2祖课堂实施柱体体积台体体积锥体体积球体体积

课堂实施柱体体积台体体积锥体体积球体体积

1情景问题Partone1情景问题Partone教学内容书桌上放着两叠一样的12本书，大小、厚度都一样，且摆成两个形状一样的柱体。问题1：这两个柱体的体积一样吗？问题2：在这种情况下，这两个柱体的体积一样吗？

为什么？教学内容书桌上放着两叠一样的12本书，大小、厚度都一样，且摆教学内容123几何画板教学内容123几何画板教学内容祖暅原理

这个问题，我国南北朝时代的数学家祖暅就已经提出了解决的方法。教学内容祖暅原理这个问题，我国南北朝时代的数学课堂实施幂指面积，势即是高，意思是如果两等高的几何体在同高处截的两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。

祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的影响，尤其是父亲的影响，他从小热爱科学，对数学具有浓厚的兴趣。祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与他儿子祖暅一起用巧妙的方法解决了柱体、锥体、球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方被称为“卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由意大利数学家卡瓦列利发现的，为了纪念祖氏父子的这一伟大发现，数学上也称这个原理为祖暅原理。缘幂势既同，则积不容易原理祖暅话说祖暅课堂实施幂指面积，势即是高，祖暅是南北朝时条件：用平行于这两个平面的任意平面截两个几何体；看两个截面的面积是否总相等．若是，则满足祖暅原理的条件两个条件缺一不可，才能得出两个几何体的体积一定相等．αβ祖暅原理

前提：两个几何体夹在两个平行平面之间，即等高；条件：用平行于这两个平面的任意平面截两个几何体；看37教学重点探究一：三个同底等高的柱体，用一平行于底面的平面去截任一柱体，

观察截面面积与底面面积的关系。1柱体体积截面面积与底面面积全等条件1：高相等条件2：截面积相等由祖暅原理体积相等V柱=sh教学重点探究一：1柱体体积截面面积与底面面积全等条件1：高相

如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShABCA’C’B’连接B’C,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥。就是三棱锥1和另两个三棱锥2、3。１232椎体体积情景问题祖暅原理柱锥球体积即时应用教学重点如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么39BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’１232椎体体积教学重点BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’BCA’C’B’3ABCA’1BCA’B’2BCA’B’2ABCA’1BCA’B’2ABCA’1三棱锥1、2的底△ABA’、△B’A’B的面积相等，高也相等（顶点都是C）。A1BCA’B’2BCA’B’2ABCA’1BCA’B’2ABCA’1高2椎体体积教学重点CA’C’B’3ABCA’1BCA’B’2BCA’B’2ABABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2BCA’B’2三棱锥2、3的底△BCB’、△C’B’C的面积相等。高也相等（顶点都是A’）。高2椎体体积教学重点ABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2BCA’B’2BC教学重点探究二：等底面积等高的两个两个椎体体积有何关系？2椎体体积教学重点探究二：等底面积等高的两个两个椎体体积有何关系？2椎

如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝ShABCA’1CA’C’B’3BCA’B’2V1＝V2＝V3＝

V三棱柱2椎体体积教学重点如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么2椎体体积MN教学重点2椎体体积MN教学重点45教学重点探究三：半球的体积与底面积相等的旋转体体积对比3球体体积R结论：教学重点探究三：半球的体积与底面积相等的旋转体体积对比3球体教学重点3球体体积Rrlo因此S圆

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