人教版八年级上册数学第十五章第3节《分式方程》知识点及考点

第十五章第3节分式方程一、知识点1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．二、考点考点一：解分式方程1、分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．2、例题：典例1

解分式方程：．【解析】去分母得：6-x=x-2，解得：x=4，经检验x=4是分式方程的解．【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．典例2

方程的解为_______________．【答案】【解析】方程两边同乘以，得，解得，检验：时，，所以是原分式方程的解．故填．【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．3、拓展：1．解分式方程，去分母得A．

B．C．

D．2．方程的解为A．2

B．2或4

C．4

D．无解考点二：分式方程的解1、分式方程的解（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.2、例题：典例3

若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和是A．6

B．0

C．1

D．9【答案】D【解析】分式方程去分母得：ax-1-x=3，解得：x=，由分式方程的解为整数解，得到a-1=±1，a-1=±2，a-1=±4，解得：a=2，0，3，-1，5，-3（舍去），则满足条件的所有整数a的和是9，故选D．【名师点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．典例4

若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为_______________．【答案】且【解析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母得，解得，由分式方程的解为负数，可得且，即，解得且．3、拓展：3．若关于的方程有增根，则的值为A．－

B．C．

D．4．关于的方程的解为，则A．1

B．3

C．-1

D．-3考点三：分式方程的应用1、分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．2、例题：典例5

某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为A．

B．C．

D．【答案】A【解析】由题意可知原计划每天生产个零件，则实际每天生产了个零件，实际15天共生产了个零件，因此根据题意可列分式方程为．故选A．典例6

元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是A．元

B．元C．元

D．元【答案】B【解析】设乙种商品单价为元，则甲种商品单价为元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400元，所以，解得元．故选B．3、拓展：5．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A，B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书本，则根据题意列得方程为A．

B．C．

D．6．在“双十一”购物节中，某儿童品牌玩具淘宝专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具的进价比B玩具的进价每个多3元，经调查发现：用900元购进A类玩具的数量