《金新学案》高考数学总复习 9.7空间距离 文 大纲人教

第7课时空间距离1．点到直线、平面的距离(1)由点向直线作

，这点与垂足间的距离是点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线段．(2)从平面外一点引这个平面的

，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．(3)(B)点面距离的向量公式平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点M为平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d＝

.垂线垂线编辑ppt2．直线和平面、平面和平面的距离(1)一条直线和一个平面平行，这条直线上

到这个平面的距离叫做这条直线和平面的距离．作用：直线和平面的距离的定义将线面距转化为点面距，也给出了求直线到平面的距离的方法．(2)两个平行平面的公垂线和公垂线段：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的

，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做两个平行平面的

．任一点公垂线公垂线段编辑ppt(3)两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的

叫做两个平行平面的距离．(4)夹在两个平行平面间的平行线段

．(5)(B)线面、面面距离的向量公式平面α∥直线l，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈l，平面α与直线l间的距离d就是在向量n方向上射影的绝对值，即d＝

.平面α∥平面β，平面α的法向量为n，点M∈α，P∈β，平面α与平面β间的距离d就是在向量n方向上射影的绝对值，即d＝

.长度相等编辑ppt3．异面直线的距离(1)异面直线的公垂线和两条异面直线都

的直线叫做两条异面直线的公垂线．两条直线互相垂直，它们可能相交，也可能是异面直线，因此和两条异面直线都垂直的直线有无数条(它们彼此互相平行)，但是和两条异面直线都垂直且相交的直线却有且只有一条．(2)两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的

的长度叫做两条异面直线的距离．(B)异面直线的距离的向量公式设向量n与两条异面直线a、b都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d＝

.垂直且相交公垂线段编辑ppt1．已知平面α∥平面β，直线mα，直线nβ，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则(

)A．c≤b≤a

B．c≤a≤bC．a≤c≤bD．b≤c≤a答案：

A编辑ppt2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1.线段A1D1的中点M到AB的距离为(

)答案：C编辑ppt3．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是(

)答案：

D编辑ppt4．在边长为a正方体ABCD－A1B1C1D1中，则异面直线，AB与A1D的距离为________．答案：5．如图，已知点E是棱长为2的正方体AC1的棱长AA1的中点，则点A到平面EBD的距离等于________．答案：编辑ppt求异面直线的距离，利用定义法，一般应先找出两异面直线的公垂线段，再通过解三角形求解．

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O、M分别是BD1、AA1的中点．(1)求证：MO是异面直线AA1和BD1的公垂线；(2)求异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值；(3)若正方体的棱长为a，求异面直线AA1与BD1的距离．编辑ppt解析：(1)连结OA、OA1.O点是BD1的中点，所以O是正方体的中心，所以OA＝OA1.又M为AA1的中点，即OM是线段AA1的垂直平分线，故OM⊥AA1，连结MD1，BM，则可得MB＝MD1，同理由O点为BD1的中点知MO⊥BD1，即MO是异面直线AA1和BD1的公垂线．编辑ppt(2)由于AA1∥BB1，所以∠B1BD1就是异面直线AA1与BD1所成的角．连结B1D1，在Rt△BB1D1中编辑ppt[变式训练]

1.设PA垂直于Rt△ABC所在的平面α，∠BAC＝90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA＝2，则PA与BC的距离是________；点P到BC的距离是________．答案：编辑ppt一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质，过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离；有时直接利用已知点求距离比较困难时，可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”．编辑ppt(2009·江西卷)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的大小；(3)求点N到平面ACM的距离．编辑ppt解析：方法一：(1)证明：依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC.又因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥AM.所以AM⊥平面PCD.所以平面ABM⊥平面PCD.编辑ppt(2)由(1)知，AM⊥PD，又PA＝AD，则M是PD的中点，编辑ppt编辑ppt方法二：(1)同方法一．(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)：设平面ACM的一个法向量n＝(x，y，z)，编辑ppt编辑ppt[变式训练]

2.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝a，D、E分别为棱AB、BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角M－DE－A为30°.(1)证明：A1B1⊥C1D；(2)求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．解析：

(1)证明：如图，连结CD.∵AC＝BC，D为AB的中点，∴AB⊥CD，又C1C⊥平面ABC，∴AB⊥C1D，又A1B1∥AB，∴A1B1⊥C1D.编辑ppt(2)过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF.∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，又AF∥CE，CE⊥AC，∴AF⊥DE，∵MA⊥平面ABC，∴MF⊥DE，∴∠MFA为二面角M－DE－A的平面角，∠MFA＝30°，编辑ppt编辑ppt此两类题目实质是相同的，都是转化成点到平面的距离来求解，求距离的一般步骤是：“一作”：即先作出表示距离的线段；“二证”：即证明所作的线段符合题目的要求，为所求线段；“三计算”：即将所求线段放置在三角形中，通过正、余弦定理解三角形求取或利用等积法求取．编辑ppt

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝AC＝BC＝2，D、E、F分别是AB、AA1、CC1的中点，P是CD上的点．(1)求证：直线PE∥平面A1BF；(2)求直线PE与平面A1BF的距离．解析：(1)证明：如图，连结DE、CE，编辑ppt(2)由(1)可知，直线PE与平面A1BF的距离等于两平行平面EDC与A1BF的距离，即点A1到平面EDC的距离，亦点A到平面EDC的距离，设点A到平面EDC的距离为h，又CD⊥AB，面A1ABB1⊥面ABC，且平面A1ABB1∩面ABC＝AB.∴CD⊥面A1ABB1，∴CD⊥ED，即△CED为直角三角形．由VA－EDC＝VE－CAD，编辑ppt[变式训练]

3.如图所示，在三棱锥ABC－A1B1C1中，AB＝，BC＝CA＝AA1＝1，A1点在底面ABC上的射影为O点．(1)O点与B点能否重合？试证明你的结论．(2)若O在AC上，求BB1与侧面AC1的距离．解析：(1)不能．∵若点O与点B重合，则△A1BA为直角三角形，并且A1A为斜边，而由已知AB＝，AA1＝1，即AA1<AB，这是不可能的．编辑ppt(2)∵A1O⊥平面ABC，BC平面ABC，∴A1O⊥BC.又∵AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC，而A1O与AC是平面ACC1A1内两相交直线，∴BC⊥平面ACC1A1.又∵BB1∥平面ACC1A1，∴BB1与侧面ACC1A1的距离即为BC＝1.编辑ppt1．点到平面的距离是有关距离问题的重点，它主要由两种方法求得：(1)用定义，直接作出这段距离，经论证再计算．(2)转化为锥体的高，用三棱锥体积公式求点到平面的距离．2．用向量方法求点到面的距离一般用下列方法：(1)找出点在平面内的射影的坐标，转化为两点间的距离；(2)找出平面的一个单位法向量，通过向量在单位法向量上的射影的长度来求．编辑ppt3．求距离的一般步骤：“一作”：即先作出表示距离的线段(要符合作图规则，避免随意性)；“二证”：即证明所作的线段符合题目的要求，为所求线段(证明要符合逻辑且推理正确)；“三计算”：即将所求线段放置在三角形中，通过正、余弦定理解三角形求取或利用等积法求取．4．求解距离问题要注意运用化归与转化思想：面面距离→线面距离→点面距离→点点距离．编辑ppt通过对近三年高考试题的统计分析，有以下的命题规律：1．考查热点：点面距．2．考查形式：选择、填空、解答题均可出现，常在解答题中的第二问出现，难度中等．3．考查角度：一是对点面距、线面距、面面距的考查，其中点面距是核心．二是对异面直线距离的考查，此考点日益淡化，只要求给出公垂线的情况，因此不必过深的研究．4．命题趋势：通过对空间距离的计算，加强转化思想的考查．编辑ppt(12分)(2010·重庆卷)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．(1)求直线AD与平面PBC的距离；(2)若AD＝，求二面角A－EC－D的平面角的余弦值．编辑ppt规范解答：方法一：(1)如图，在矩形ABCD中，AD∥BC，从而AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离.1分因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，由PA＝AB知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB.3分又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE.4分从而AE⊥平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离.5分编辑ppt(2)过点D作DF⊥CE，交CE于F，过点F作FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角.7分由(1)知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，编辑ppt编辑ppt方法二：