初等数论练习题二(含答案)

-.z.《初等数论》期末练习一一、单项选择题1、如果，，则().ABCD2、如果，，则15（）.A整除B不整除C等于D不一定3、在整数中正素数的个数（）.A有1个B有限多C无限多D不一定4、如果,是任意整数,则ABCD5、如果(),则不定方程有解.ABCD6、整数5874192能被()整除.A3B3与9C9D3或97、如果，，则30（）.A整除B不整除C等于D不一定8、大于10且小于30的素数有（）.A4个B5个C6个D7个9、模5的最小非负完全剩余系是().A-2,-1,0,1,2B-5,-4,-3,-2,-1C1,2,3,4,5D0,1,2,3,410、整数637693能被()整除.A3B5C7D9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式有解的充分必要条件是().3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为().4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者().5、的公倍数是它们最小公倍数的().6、如果是两个正整数,则存在()整数,使,.7、设是素数,则不定方程有（）.8、如果同余式有解,则解的个数().9、在176与545之间有()是13的倍数.10、如果,则=().11、如果,则=().三、计算题1、求[136,221,391]="2、求解不定方程.3、解同余式.4、求,其中563是素数.（8分）5、求[24871,3468]="6、求解不定方程.7、解同余式.8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数,数是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.4、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案一、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式有解的充分必要条件是().3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为().4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者(与互素).5、的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果是两个正整数,则存在(唯一)整数,使,.7、设是素数,则不定方程有（唯一解）.8、如果同余式有解,则解的个数().9、在176与545之间有(28)是13的倍数.10、如果,则=().11、如果,则=(1).三、计算题求[136,221,391]="（8分）解[136,221,391]=[[136,221],391]=[]=[1768,391]==104391=40664.2、求解不定方程.（8分）解：因为（9，21）=3，，所以有解；化简得；考虑，有，所以原方程的特解为，因此，所求的解是。3、解同余式.（8分）解因为(12,45)=3¦5,所以同余式有解,而且解的个数为3.又同余式等价于,即.我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),即定理4.1中的.因此同余式的3个解为,,.4、求,其中563是素数.（8分）解把看成Jacobi符号,我们有,即429是563的平方剩余.5、求[24871,3468]="（8分）解：因为（24871,3468）=17,所以[24871,3468]==50736846、求解不定方程.（8分）解：因为,所以有解;考虑,;所以是特解,即原方程的解是7、解同余式.（8分）解因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程.我们再解不定方程,得到一解(-8,3).于是定理4.1中的.因此同余式的3个解为,,.8、求17的平方剩余与平方非剩余.(8分)解因为,所以平方剩余与平方非剩余各有8个.又因为,,,,,,,,所以,1,2,4,8,9,13,15,16是素数17的8个平方剩余.其它的8个数3,5,6,7,10,11,12,14是素数17的平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数,数是整数.(10分)证明因为==,而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,并且(2,3)=1,所以从和有,即是整数.-----（1分）2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.（11分）证明因为,所以只需证明.而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,所以这只需将n=0,±1,±2代入分别得值1，7，1，19，7.对于模5,的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,所以所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.（11分）证明:设是正数,并且,如果,则因为对于模4,只与0,1,2,-1等同余,所以只能与0,1同余,所以,而这与的假设不符,即定理的结论成立.4、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数.（11分）证明:设是一正整数,并将写成10进位数的形式: