微分几何彭家贵课后题答案x

习题一（P13）设

向量值函数，证明：a常数当且仅当 a(t),a(0；a(t的方向不变当且仅当 a(t(t)0。2证明：a 常数 a 常数 a(t),a(t)常数a(t),a(t)a(t),a(t)02 a(t),a(t)0 a(t),a(t)0。注意到： a(t)0所以a(t的方向不变 单位向量

a(t)a(t

常向量。a(t)若单位向量e(t) 常向量，则e(t)0 e(t)e(t)0。a(t)反之，设单位向量，若e(te(t)0，则e(t/(t由e(t为单位向量 e(t),e(t

e(t),e(t

e(t)

e(t)从而，由

e(t)//e(t)e(t)0e(t)常向量。e(t)e(t)a(t)所以，a(t的方向不变 单位向量 e(t) 常向量a(t)12(t2

( 1)a(t)0e(t)ee(t)e(t)0a(t)a(t)da(t)a(t)dtd1 1( ) a(t)a(t)0a(t) dta(t)a(t)a(ta(t)0。即a(t的方向不变当且仅当 a(t)a(t)0。补充：定理r

行于固定平面

的充要条件是 r(t)(),r

。证明："

"：若r(t)

，设n是平面

的法向量，为一常向量。于是，

r(t),n

r(t),n0,r(t),n0r(t),r(t,r

r

t)0。" "：若r(t

0，则r(t(),

面。若r(t)r(t) 0则r向固定，从而平行于固定平面 。若r(tr(t)0，则r(t)r(t)

)令n(t)r(t

),n(t)r(t)r(t)r(tr(t)r(t)(t)r(t)(t)r(t)(t)r(t(t)(t)n(t)，又n(t)n(t)0 n(t)0n(t固定的方向，又n(tr(t)行于固定平面。证明性质与性质。性质（）证明：设1 (

x,x),2(

y,y),3

z,z),2v3

w

2

w，vv2v3iyjyky123z3y2z2y3,zyyy33z3z,1111y22w,w,wzz123则w1 2332,w3113,3 1z2 2,Y1 z2w3 32,2z3w1z1w3,3zw12 2.左=1 2,3

v4 X1Y1X2Y2 X3Y3(x3 32)23z3w2

(113

1 z1w3

(221)12z21)[x23w322331w1331133 1z12w21w122][223z3223w31z13w3113w3 w133 w122 1122][(x11w12222333w3)[(x1112222333w3)

2233w233 1w133113w311222w2332w3 113w31w1331w122

w22]122(1122 33)(w12w2 33)112w2 33)12z2 33)=

v2 4

v2右ijk左=v1(v2v3)x1x2x3x2x3,x3x1ijk左=v1(v2v3)x1x2x3x2x3,x3x1,x1x2w1w2ww2w w w3 3 11ww2x2w3x2[1yz2x2y233,1]3[33x2w13]xy332]x221]13113]xy3 32][22[22[222233,[3311]2[3,[x311]2,1122]3y11[22 322]2,11 223z,[11]1,33]2y[x21z,11x22]3z2]zxy,33[2x33111,3x22]2,11 2233z[11]1,,y[21],,zv2v1,2v3 右（2）证明：设v1(1,x,x),2(y,yy)3v(1,,z),4(1,2,3ijkv1v2x1x2x3x2yx3y3,x3X113y2y3ij2,kX1,x1y1Xzx,x2X,X,X1233122.v3v4z1z2z3z2z3w3,z31w1,z1w1z2Y,Y1 2,Y3w1w2w3w2w3w2

,2

(1

3z),，则i j

xxxxv v x x x x

, x

,X,X1 2 1 2

2 3 3 1 1

1 2 3y2

y3 y1 y2X1 23 32,

3113,

12 213,2 31v

z3X31x332

2z(

x113

3

2 21)(2323 123)123123123)同理，i j

zzzzv1 z2

, ,z3 3 1 1 z

Y

,Y3x2

x2 x3 x1x1 x2Y1 23 z32,23113,3z1x2z212v

,

,3

v1 1y2Y21(233x2

2y(

z113

3(2 z21)(2323 123)123123123)3,vi j k

y2

y,y2 3

y,yy1 1 y

Z1,2

,z2

z3 z1z1 z2Z1 2

32,

3z1 13,3

12 21v1,

,

1,2

v3 x1Z12 x31(2332

2

3

2 21)(2323 123)123123123)3,v所以，1,2,

。性质f i j k,f,f)xy zxfy,f,f)xy zxfyfzfxyzzf,yzfxxzf,xfyyfxf2,zyf2zxf2xz,f2xyf2yx(0,0,0)0.QPQPRzyzxzQ2P22RQ2xzyzyxzx4设O;1,2,

zy是正交标架， 是1,2,3的一个置换，证明：（1）O;e(1),是正交标架；与O;e

,e,e2）O;1,2

(1)

(2)

定向相同当且仅当 是一个偶置换。证明：当i j时， (i)(j)

(i)

0,；,；所以，

e,e当ij时，(i)(j) (i) (j) 1，

O;

e,e(2)(3)(2)

是正交标架。A)当 (12) (1)2, (2)1,(3) 301010010e2,,3e1,3e100,det1001;001001(1)

(2)

(3)B)当 (13)(1)2)2,(3) 100001001e3,,e1,3e010,det0101;100101(1)

(2)

(3)yyfz2fyzijkRQ证明：（,F,,PRQP,,xPyQzyzzxxyRRyQxPy2R2xP0.C)当 (23) (2)3,(3)2,(1)11001100100e1,,2e1,2,e001,det0011;010010(1) (2) (3)当

，此时，(1)(12)(12)

O;e(1),e(2)

,e(3) O;1,2,3；当

(123)

(12)(13) (1)2,(2)3,(3)1,00001001e2,,e1,e,3100,det1001;010010(1) (2) (3)F)当

(13)(12) (1)3,(3)2,(2)1,01010001e3,1,e1,e,3001,det1001.100010(1) (2) (3)所以，O;e,与O;e,e

定向相同当且仅当 是一个偶置换。x解：rx解：rx,r(x)(1,2ax)l(x)0xr(t)dt01dt令2|a,14a22sec，则14a2t2dt=2asec3d1I2|a|I@d(secsec)dtandsecsecdtansec1dsecdtansec I secdI[tansecln|sectan|]C12|a|t2124ln2|a|12C2习题二（P28）求下列曲线的弧长与曲率：yax2所以，1 4a2tdtI1 3 1 12|a|I

22ln2|a|t

2t2 %2a= sec2a

2|a

4|a

14at

14a Cl(x)

x xr(t)0 0

1422dt 12|a|x124|a|

ln2|a|142x2设曲线r(t) (x(t)，yt)的曲率为x(t)y(xt)(t)y(t)(t)

(x

.3(y2证明：r(t) (x(t),yt)(x(t),y(t)r(t)(x(t),y(t))dtt(s)dr

r(t) (x(t),ydt)ds dsdt dsn(s)(y(t),x(t))dst&(s)

d2rd

dtr(t)

dtr(t)

d2tr(t)ds2 ds ds ds ds2t&(s)

(s)n(s)dt2

d2t dtr(t)

r(t)

(s)(y(t),x(t))dsx(t)dt

ds2t2 dtx(t)2

dtds(s)y(t)ds ds22 dt dty(t)dt

y(t) 2

x(t)ds ds2 ds2x(t)dt

x(td2ty(t)dt

y(td2t(s)(s)dsds2dsds2y(t)dtx(t)dtdsds(y2)(x)dt2(y2)(xds2ds由ds|r(t2)(ydtdtx(t)yy(t(s) 即3(y(x2x(t)yy(t(t) 。3(y(x23.设曲线C在极坐标下的表示为rf()，证明曲线C的曲率表达式为f2(df)2d2f(df)()d2.f2()df232x(t2dt x(t)y2(tdt)dsdsx(t)y(t(t)y(t)d证明：x rcos f,yrsin f()sinr()(f()cos,f)r()(f()cos f()sin,f()sin f()cos)r()(f()cos f()sin,)sin f()cos )(f()cos2f()sin f()cos,f2f()cosf()sin)所以，x f()cos f()sin；y f()sin f()cos；xf()cos2f()sinf()cos；因此，yf()sin2f()cosf()sin。xyxy f()cosf()sin

ff

f()sinf(

2f()cos2f(

f()sinf()cos2f2()2f()f()f()(y

(x

2

2f()sin2

2f()sin f()cosf() f(

dff2()

2 f

d2)fddx()y()x()y()dd2() .2 23 2 3(x)(y)2 ()df 2d求下列曲线的曲率与挠率：a（4）()(,2)( 0)rt at a tt 2a a

2a

22a 6a2解：r(t2

, ),r(t)

,),r(t2 3

, )；4t t t t t tijkr(t)r(t)a2a2,2a2,2a2t t20 2a 2at2

t4 t2r(t)r(t)2a44a42a4r(t)r(t)2a44a42a42a212t2t8t6t4t4t4r(t)

2a2 a2 a2 t212a t122a2 2a2,

2a2 22a 6a) 22a3r,,r

(t4,t

t2),(0,,

。所以，r(t

2a22t4 t

2a22t

；r()

a 31

a3 31

2at21t2 t6(t)

r,r,r 3 2 222a 2a t2 1r(t(t) t6 t42

2t 。2a122证明：的正则曲线r(t曲率与挠率分别为(t)

rr(t)

(t)3 ，(t)r,rrdr证明： dr

r(t) r r()&() (ds dt

ts rsrtdsd22& r(ttd22ds ds23&& r(t)dt3

d2t dds ds根据弗雷内特标架运动方程t 0 0 tnd 0 n，得：ndsb 0 0 b& 1&t(s) (s)n(s)n(s) (st(s) b(s)tdt

1n(s) t(s

&t(s)21 r(t) r(t)dt2

r

2t(s) ds ds ds21 dt(s)ds

r(t)

r(t)1 1(s)

3r(t)r(t)(s)

3dtr(t)r(t

r(t

(r

r(t)r(t)ds dsdt

3r(t)& && & &t(s)

(s)n(s)t(s)

(s)n(s)由&&n(s=

(s)t(s)(s)b(s)&t(s)(s)n(s)

(s)t(s)(s)b(s)&s)n(s)

2(s)t(s)(s)b(s)t(s),b(s)(s)(s)& dt

dtd2t

d3t

1 dt3因为 r

3r(t)

r(t)232

r(t)r(t)t(s),b(s)1 dt6=(s)ds

dsr,r,r

dsds ds (s)ds所以， (s)

1 dt

r,r,r

r,r,rdt62

r,r,r。2(s)ds (s)ds r r证明：曲线3 3 sr(s)

(1

(1), (1s1),3 3 2,以s为弧长参数，并求出它的曲率，挠率与 Frenet标架。1 1证明：r

(1,

(1s)2 ,

(1s1)2 2 2(1s)(1s)所以，r(s)

1(1s1)

为弧长参数。4 4 2& (1

1 1(1s)22t

4 ,

,0(1s1)(1s) (1 s)1 1116 16 8(1 )& 1 12 2n(s)t(s)(s) 2(1s)(1s),2(1s)(1s),0i j k1 1b(s)

t(s)n(

(1

(1s)2 12 2 2112(1s)(1s)22(1s)(1s)201 1 122(1s)(1s)2,2(1s)(1s)2,4(1s2)2& 1由

13s 及, ,01s 1 s21 1 12b(s) 2(1&(s)n(s),b(s)

2(1

得, ,0

1 1 113s

1

,

s)(1s)2,2(1s)(1

,4(1s2)21s 1s213s 1 13s 12(1s)(1s)21 s 1

2(1s)(1s)22(1所以，

1)2

2(1

1s2)2

1222(1)22） (s) 1 ,28(1s)

11s1)；(s) 22(1s2，(1

1)3）所求Frenet1

r(s);t(s),n((s)1t

(1(1s)2 , ,2 2 2

(1s 1)，11n(s)2(1s)(1,2(1s)(1,0(1)，111112(1s)(12s),2(1s2,4(1)2(1s1)10.设T(X)rTor

XTP是E3 中的一个合同变换， detT 1。r

中的正则曲线。求曲线% 与曲线的弧长参数、曲率、挠率之间的关系。% t td(Tor

td d(rT

t r()Td

r()d S(t)解：（1）S(t)0

r%()d 0

P)0 d 0 0可见，r%Tr除相差一个常数外，有相同的弧长参数。（2）

%r(t)

%r(t)

r(t)T )T(t) %3 3r(t) r(t)Tsgn(detT)r(t) r(t)(t)r(t)(t)3 3r(t) r(t)% r可见，

rTor与曲线 有相同的曲率。（3）

r%,r%,r% rT,rT,rT rT,rT22(t)22(t)r(t)Tr(t)Tr(trT,sgn(detTr(tr(t2sgn(detT)rT,(r)T2

r(t)r(t)2rT,sgn(detT)(rr)T2sgn(detT)r(t)r(t2)sgn(detT)r,(rr)2r(t)r(t) r(t))sgn(detT)r,

rr r

r

(t)2 2r(t)) r(t)r(t)rTor可见，% 与曲线r的曲率相差一个符号。13.（）求曲率 (s) a （s是弧长参数）的平面曲线 r(s。a s22解：设所求平面曲线 r(s)x(s),y()为s是弧长参数，所以|r(s)

2 2x(s) y(s) 1可设x(s)cos,x(s)sin，由曲率的定义，知sd (s) ads a2

d a2ds2s a s 2

a2 dsarctana2s x(

cos(arctan),x()a asx(s) cos(arctan)ds 1 dssa 1(arctan)a1 ds a 1 dsaln(sa2 1 s2 a2 s2a2s sy(s)

sin(arctan)ds 1dsa a1 11 sds 12 2 1

sds2sec(arctan ) tan(arctan )a as ds a2 a2 s2所以，所求平面曲线r(s)aln(sa2 s2),s2。证明：曲线

t,2sint,tr(t)(t

3sint,2cossint) () (2cos )2 2是合同的。证明：1）对曲线%%% %r r(t参数变换t2，则r (2cosu,2sin%1

2u)1C是圆柱螺线(a 2,b因此，只要证明曲线C

2)1rt，挠率14

%4 ，%4。41，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合。2）下面计算曲线C的曲率 与挠率。由r(t3cost,2sint,3cost) |r(t)2，进而r(t)( 3sint,2cost,sint)r(t)r(t)(23cost2,4sint32cost) 2(1 3cost,2sint,3cost)|r(t)r(t)|421。4v v v v 1r(t)

(3cost,2sint,(t),

,r(t) 8 。4证明：定理定理设(s)0是连续可微函数，则（）存在平面2的曲线r(s，它以s为弧长参数，）上述曲线在相差一个刚体运动的意义下是唯一（为此考虑下面的一阶微分方程组

(为曲率；drds(1.1)de1dsde2ds

e1(s)(s)1(s)给定初值00,0，其中e0,0是2中的一个与自然标架定向相同的正交标架，以及2 1 2s0 (ab则由微分方程组理论得，(1.

唯一一组解 r(s;e

s满足初始条件：r(s)1

(s)2

|(sss ;,0。1 20若r(所求曲线，则e1必是它的Frenet标架。因此，我们首先证明1(s)2

(s) s(a,b)均是与自然定向相同的正交标架。将微分方程组(1.2)de

2ae(s),i1,2iiijjdsj1其中a0ij22(s)(s)0。aa是一个反对称矩阵，即ijgji0i,令(1.3)对(1.3求导，并利用gs)：ei(s),j)i,j1,2.d(1.4)ddsddsei(s),js)de(s),idsdsek(s)js)2ei(s),ajk(s)k12a2ikek(jes)ajkeikk12ak12ikek(jes)ajke(s),kk12k1aik(s)(s)i,j1,2.k1表明ij(s)i,,2是微分方程组(1.5)(1.5)df(s)2ijaikkjf(fjk(s)i,j1,2.dsk1的解。1,ij;定义 i则ij 0,ij.ddsij 0,i,j

2 a )a a1k