苏科版九年级数学上册第1章《一元二次方程》优生能力达标测评【含答案】

苏科版九年级数学上册第1章《一元二次方程》优生能力达标测评一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）1．若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．±2．一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值以及另一个根为（）A．1，﹣1 B．1，1 C．﹣1，﹣1 D．﹣1，13．把方程x2﹣8x+3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值是（）A．23 B．17 C．15 D．94．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≤ B．m＞ C．m≤且m≠1 D．m＜且m≠15．受新冠疫情影响，我国2020年国内生产总值（GDP）比2019年增长了2.3%，是全球唯一保持经济正增长的国家，预计今年2021年比2020年增长6%，若这两年年平均增长率为x，则x满足的关系是（）A．2.3%+6%＝x B．（1+2.3%）（1+6%）＝2（1+x） C．2.3%+6%＝2x D．（1+2.3%）（1+6%）＝（1+x）26．将代数式3x2+6x+2配方成a（x+k）2+h形式为（）A． B．3（x+1）2+1 C．3（x+1）2﹣1 D．7．若x＝0是一元二次方程x2+x+b2﹣4＝0的一个根，则b的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．48．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（）A．8 B．32 C．8或32 D．16或409．已知a是方程x2+x﹣2021＝0的一个根，则的值为（）A．2020 B．2021 C． D．10．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）11．长方形ABCD面积为12，周长为14，则对角线AC的长为．12．商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此，若销售单价为元时，商场每天盈利达1500元．13．一个等腰三角形的底边长为10，腰长是一元二次方程x2﹣11x+30＝0的一个根，则这个三角形的周长是．14．若方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝．15．为了践行“绿水青山就是金山银山”，蜀山区计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是．16．已知代数式x2+2x+5可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+4，进而可知x2+2x+5的最小值是4．依此方法，代数式y2﹣6y+10的最小值是．17．若a是方程2x2+x﹣2＝0的根，则代数式2021﹣a2﹣a的值是．18．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣b+c＝0，则方程必有一根为．19．一个直角三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两根，则这个直角三角形的第三边长为．20．已知α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，则代数式（α﹣2021）（β﹣2021）＝．三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）21．用适当的方法解下列方程：（1）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）；（2）2x2+x＝3．22．已知关于x的方程x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0．（1）求证：无论k取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．23．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．24．2020年上半年受到新冠状肺炎疫情的影响，汽车销售行业处于不景气状态，2020年下半年合肥某汽车销售公司推行了一种新型低能耗汽车，于2020年10月份销售该型号汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．（1）求11月份和12月份的平均增长率；（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2021年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利＝销售利润+返利）25．列方程（组）解应用题端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？26．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子：①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2，∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．因此，代数式x2+4x+2有最小值﹣2；②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．因此，代数式﹣x2+2x+3有最大值4；阅读上述材料并完成下列问题：（1）代数式x2﹣4x+1的最小值为；（2）求代数式﹣a2﹣b2﹣6a+4b﹣10的最大值；（3）如图，在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，设长方形垂直于围墙的一边长度为x米，则花圃的最大面积是多少？

答案一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）1．解：把x＝0代入方程得：a2﹣4＝0，（a﹣2）（a+2）＝0，可得a﹣2＝0或a+2＝0，解得：a＝2或a＝﹣2，当a＝2时，a﹣2＝0，此时方程不是一元二次方程，舍去；则a的值为﹣2．故选：A．2．解：设方程的另一个根为t，根据题意得2+t＝﹣p，2t＝﹣2，解得t＝﹣1，p＝﹣1．故选：C．3．解：方程整理得：x2﹣8x＝﹣3，配方得：x2﹣8x+16＝13，即（x﹣4）2＝13，∴m＝﹣4，n＝13，则m+n＝9．故选：D．4．解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝12﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤且m≠1．故选：C．5．解：设2019年国内生产总值为1，则2021年国内生产总值为1×（1+2.3%）（1+6%），依题意得：1×（1+x）2＝1×（1+2.3%）（1+6%），即（1+2.3%）（1+6%）＝（1+x）2．故选：D．6．解：3x2+6x+2＝3（x2+2x+1﹣1）+2＝3（x+1）2﹣3+2＝3（x+1）2﹣1，故选：C．7．解：把x＝0代入x2+x+b2﹣4＝0得b2﹣4＝0，解得b＝±2，∵b﹣1≥0，∴b≥1，∴b＝2．故选：A．8．解：由题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，∴m≥0，∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m＝2，∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1（舍去），∴x1+x2＝﹣4，（x12+2）（x22+2）＝（x1x2）2+2（x1+x2）2﹣4x1x2+4，原式＝22+2×（﹣4）2﹣4×2+4＝32；故选：B．9．解：∵a是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的一个根，∴a2+a﹣2021＝0，∴a2+a＝2021，∴＝﹣＝＝，故选：D．10．解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．故选：A．二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）11．解：设长方形的一边长为x，则相邻的一边长为（﹣x）＝（7﹣x），依题意得：x（7﹣x）＝12，整理得：x2﹣7x+12＝0，∴x2﹣7x＝﹣12，∴对角线AC的长＝＝＝＝5．故5．12．解：设销售单价为x元，则每天可销售70﹣（x﹣130）＝（200﹣x）件，依题意得：（x﹣120）（200﹣x）＝1500，整理得：x2﹣320x+25500＝0，解得：x1＝150，x2＝170．故150或170．13．解：解方程x2﹣11x+30＝0得：x＝5或6，当腰为5时，三角形的三边为5，5，10，5+5＝10，此时不符合三角形三边关系定理，不合题意；当腰为6时，三角形的三边为6，6，10，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为6+6+10＝22，故22．14．解：∵方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣6，∴|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣5）2﹣4×（﹣6）＝49，∴|x1﹣x2|＝7，故7．15．解：设这两年平均每年绿地面积的增长率为x，依题意，得：（1+x）2＝1+44%，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：这两年平均每年绿地面积的增长率是20%，故20%．16．解：y2﹣6y+10＝y2﹣6y+32+1＝（y﹣3）2+1≥1，则代数式y2﹣6y+10的最小值是1．故1．17．解：∵a是方程2x2+x﹣2＝0的根，∴2a2+a＝2，∴2021﹣a2﹣a＝2021﹣（2a2+a）＝2021﹣×2＝2020．故2020．18．解：当把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得出9a﹣3b+c＝0，即3a﹣b+c＝0，即方程一定有一个根为x＝﹣3，故答案是：﹣3．19．解：∵直角三角形的两边长恰好是方程x2﹣8x+15＝0的两个根，∴直角三角形的两边是3，5，当是原方程的两边的是两条直角边时，根据勾股定理得其斜边为＝；当是原方程的两边的是一条直角边和斜边时，斜边一定是5，根据勾股定理得其另一条直角边为＝4．故答案为或4．20．解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，∴α+β＝2021，αβ＝2020，∴（α﹣2021）（β﹣2021）＝αβ﹣2021（α+β）+20212＝2020﹣2021×2021+20212＝2020．故2020．三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）21．解：（1）∵3x（x﹣1）＝2（x﹣1），∴3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，则（x﹣1）（3x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或3x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝；（2）∵2x2+x＝3，∴2x2+x﹣3＝0，则（x﹣1）（2x+3）＝0，∴x﹣1＝0或2x+3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1.5．22．（1）证明：∵Δ＝（﹣8）2﹣4（﹣k2+4k+12）＝4（k﹣2）2≥0，∴无论k取何值，这个方程总有两个实数根；（2）解：x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0，（x+k﹣6）（x﹣k﹣2）＝0，解得：x1＝﹣k+6，x2＝k+2，当AB＝AC时，﹣k+6＝k+2，则k＝2；当AB＝BC时，﹣k+6＝5，则k＝1；当AC＝BC时，则k+2＝5，解得k＝3，综合上述，k的值为2或1或3．23．解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，∴k＜1．（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．∵x12+x22＝16，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，解得：k1＝5，k2＝﹣1．又∵k＜1，∴k＝﹣1．24．解：（1）设11月份和12月份的平均增长率为x，依题意得：20（1+x）²＝45，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．答：11月份和12月份的平均增长率为50%．（2）依题意得：11﹣10+0.03a≥2.6，解得：a≥53．又∵a为整数，∴a/