2008年高考数学试题

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学含答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件如果事件互斥，那么球的表面积公式相互独立，那么其中表示球的半径球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径一、选择题1．设集合A．，（）B．C．D．【答案】B【解析】，，【高考考点】集合的运算，整数集的符号识别。【评注】历年来高考数学第一个小题一般都是集合问题，都超简单。其实集合问题是可以出难题的，但高考中的集合问题比较简单。需要注意的是：很多复习书都把集合作为高考数学复习的起点，我认为这是不妥当的，高中的集合问题涉及到的集合知识并不多（就是一种表达方式），其难度主要体现在知识的综合性上，学生应当先学习其他知识，再在集合中综合。建议把“数学的基本运算”作为高考数学复习的起点，学生花1个月的时间温习、强化初等数学的基本运算是必要的，重要的，也是值得的。数学的基本运算具体包括的内容可以参考本人编写的《高考数学复习专用教材》2．设且，若复数是实数，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因是实数且，所以【高考考点】复数的基本概念、基本运算，立方和公式（基本运算）【评注】很多学生没有学习过立方和公式，不会用立方和公式一步到位地展开，有人按进行展开，也有人按进行展开，还有人用二项式定理进行展开，这都是可行的思路。但是，学生就此产生浮躁、急躁情绪。这才第二题，就要如此大动干戈？！建议：（一）数学复习一定要塌实，该硬的硬，例如：对数指数运算是否过关，是否能熟练运用杨辉三角进行二项式展开，这都是基本的硬工夫。复习时，要把练就硬功夫放在第一位。技巧也要学，但那是第二位的东西。（二）数学复习不要老盯着高考，高考指定要考的当然要学习，高考没有指明要考的，也要适当学习。这就是老师的任务啦。作为学生要听话。（三）要注意提高心理素质。要能憋得住。要有韧性。从这个角度讲，本题有考察学生心理素质的意图。3．函数的图像关于（）B．直线D．直线A．轴对称对称C．坐标原点对称对称【答案】C【解析】是奇函数，所以图象关于原点对称【高考考点】函数奇偶性的性质、对称【评注】对常见函数的图象、奇偶性、单调性等主要性质一定要了如指掌，做到脱口而出。本题可以取点进行排除。取（1，0）点，而（0，1）点无意义，有（-1，0）点，于是排除B、D，再取，有点排除A，确定C是正确的。这样的方法也能体现出学生的基本能力，有些学生取点进行验证都出错，都心慌，说明平时的学习是何等的被动、漂浮啊。对称问题也是初等数学中的基本问题，本人编写的《高考数学复习专用教材》列有专讲。对称也是高考数学热点、重点之一。此题并没有什么新奇之处。和第二题相比，本题要简单点。本卷在题目难度的安排上已经有点不按规则出牌了。但我觉得和外国的高考试题相比，中国的高考试题更具体，抽象感和理论感明显逊色。这道题目也暴露出我国学生抽象思维能力不足的弱点，这道题还不算太抽象呢！4．若，则（）C．<<D．<<A．<<【答案】CB．<<【解析】取，<<也可以如下解：当然从比较费时间。【高考考点】对数的基本基本运算、比较实数的大小。【评注】这类问题用特值法是非常容易搞定的，但也有人缺乏数字感觉，不能取到内合适的数，也有人取成导致错误，这就是基础不牢固的表现。取值时候，应该多试，注意验证，确定取对后再运算。否则“后”功尽弃。5．设变量满足约束条件：，则的最小值（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图作出可行域，知可行域的顶点是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，于是【高考考点】简单的线性规划。大家要注意，各地高考试题中已经出现比较复杂灵活的线性规划问题，要注意学习和领会，估计今后的线性规划问题不会老停留在初级阶段。【评注】这是个简单题，但也离不开运算6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【高考考点】排列组合应用，概率基本知识，分类讨论思想。往年高考题中的排列组合比这难。【评注】本题可以使用正难则反的方法去做。7．的展开式中的系数是（）A．B．C．3D．4【答案】B【解析】【易错提醒】容易漏掉项或该项的负号【评注】本人的方法是写出杨辉三角分别硬展，再取舍，也很简单。如果想到再判断出的系数是也非常简单啊。和8．若动直线与函数的图像分别交于两点，则的最大值为（）A．1【答案】B【解析】在同一坐标系中作出B．C．D．2及在的图象，由图象知，当，即时，得，，∴【高考考点】三角函数的图象，两点间的距离【评注】本例就是求在上的最大值，只不过在表达上绕了个弯。考查学生的数学转化能力和数学语言理解能力。本题不难，但有味道。文科试题也有本题，就是直接表达的。【备考提示】函数图像问题是一个常考常新的问题。9．设A．，则双曲线的离心率的取值范围是（）B．C．D．【答案】B【解析】，因为是减函数，所以当时，所以，即【高考考点】解析几何与函数的交汇点【评注】本题可以使用特值法进行判断，也可以使用带入法进行排除。两者最好能结合起来。再由知道，问题转化成定区间上二次函数的最值问题，就容易解决了。不是很难吧。代入法是这样的：假设正确的。，合题设。可以排除A、C、D确定B是10．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】连接AC、BD交于O，连接OE，因OE∥SD.所以∠AEO为所求。设侧棱长与底面边长都等于2，则在⊿AEO中，OE＝1,AO＝，AE=，于是【评注】本题是比较简单的，属于立体几何中的常规题目，平常练习中这类题目很常见。处理手段也很平常。11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）A．3B．2C．D．【答案】A【解析】，，设底边为由题意，到所成的角等于到所成的角于是有再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A。【高考考点】两直线成角的概念及公式【备考提示】本题是由教材的一个例题改编而成。（人教版P49例7）。做题时应该画一个草图，可以断定C、D是错误的，这样代A、B验证即可。方法二：由于有的同学对直线的到角公式不太熟悉（不能确定谁减去谁），因此想使用夹角公式，也是可以的。从题意可以知道：与是等腰三角形腰所在，求的是底边作在直线的斜率，因此腰和底边所成的角度就是腰和底边所成的夹角的大小。从而有：结合观察出来的将k=3代入验算，正确，选A。不用担心漏值。12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1B．C．D．2【答案】C【解析】设两圆的圆心分别为对角线,而、，球心为，公共弦为AB，其中点为E，则为矩形，于是，∴立体几何中的球体问题主要障碍就在图象，我们采取特殊的位置的方法解决问题。取水平截面为大圆，另一圆为竖直面，再平面化如下图：B=2，B=1BA，∴【高考考点】球的有关概念，两平面垂直的性质【评注】在解析几何和立体几何中，第10题、第11题、第12题均没有给图，含有考查学生作图能力的意图。【本人对选择题目的总看法】题目本身不是太难，但除了第1题、第3题外，都需要进行一定量的运算，可见，本年题目把考查运算能力放在了一个十分突出的位置。有考生反映：光选择题目就做了40多分钟。其实这可能还算比较快的了，有的考生在选择题上用时超过1个小时。第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设向量【答案】2，若向量与向量共线，则．【解析】＝则向量与向量共线【评注】刚刚从荆棘丛中挣扎出来的考生，怎么也不相信第13题会如此简单，很多人进行了验算。考生的心理又一次受到冲击。14．设曲线【答案】2在点处的切线与直线垂直，则．【解析】，∴切线的斜率，所以由得【评注】又是这么简单，没有任何悬念。15．已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于．【答案】【解析】设A（，）B（，）由，，（）；∴由抛物线的定义知这是用圆锥曲线定义做的。也可以使用下面的方法：作垂直x轴于，作垂直x轴于，于是相似，于是应该求出直线AB和抛物线的焦点（消去x）抛物线【高考考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用，一元二次方程求根，简单的平面几何知识（看考生做哪条解题路线）【评注】本题也不难。以往填空题目使考生望而生畏，成为丢分的重灾区，可是2008年的高考数学填空题目，也太简单了点吧。到目前为止，15道题目除第8题的表达稍微有点新意之外，都是老面孔。有人认为（见《西海都市报》有关报道）本运算量大，本人不敢苟同。16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①；．充要条件②（写出你认为正确的两个充要条件）【答案】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．【评注】很多考生对直棱柱、正棱柱、正棱锥之类的概念不是很清楚，面对本题毫无头绪。也有的考生表达能力欠缺，知道条件，但就是表达不出来，或表达不到位。建议大家读读数学书，去欣赏欣赏数学中的语言美，不要一提数学，就是算。本题考查了学生类比能力。这类题目已经在上海卷中出现好几年了。建议大家有时间的话看看上海卷，尤其是志怀高远的学生，要仔细研究上海卷。三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在中，，．（Ⅰ）求（Ⅱ）设的值；的面积，求的长．解：（Ⅰ）由，得．，由，得所以．5分（Ⅱ）由得，由（Ⅰ）知，故又，8分，．故，所以．10分方法二：A这种解法，充分利用了已知条件，有点代数技巧的味道。BC18．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10000人中出险的人数为，则．（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则发生当且仅当，2分又故，．5分说明：（1）本题数据多，而且两个数据一样，文字又较长，给一些学生造成阅读困难。更要命的是如果不理解“保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元”的真实含义就是“投保的10000人中至少有一人出险”将无法解答此题。理解后，如何计算至少有一人出险的概率又是一个难题。10000人啊，怎么办，“正难则反”，求一个人也不出险概率，则用1减去一个人也不出险概率就是至少有一人出险的概率。（2）数据让一些考生没看明白。这只能说，某些考生的数学素养也太不够了。（Ⅱ）该险种总收入为支出元，支出是赔偿金总额与成本的和．，盈利，盈利的期望为，9分由知，，．（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．12分说明：都说本题第（Ⅱ）难，我怎么不觉得，是很多考生没有真正弄懂概率中的基本概念和基本运算吧！19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：（Ⅱ）求二面角解法一：平面；的大小．依题设知，．（Ⅰ）连结交于点，则．3分．由三垂线定理知，在平面由于故内，连结交于点，，，，与互余．于是．与平面内两条相交直线都垂直，所以平面．6分说明：（1）“结交于点”，什么？大家看矩形就明白了，和在同一个平面内，这种地方看似平常，其实很能体现基础。（2）很好证明，连接，利用正方形对角线性质和正四棱柱定义就可以了。关键是如何证明。我给大家提供一条思路：如果，结合就会有，将长方形取出，结合数据证明（可以从证得）当然也可以将平移到E处,计算在证明。（3）由于初中教学内容的修改，很多高中生应用“平行线等分线段成比例”和相似三角形的判定法则来证明问题的能力不高。可以有两个方案，要么回头学习“平行线等分线段成比例”和相似三角形的判定法则，但代价大。要么寻找替代手段。我认为三角函数是个比较好的替代手段。（4）也有些同学几何运算能力欠佳，不会运用三角函数、面积法、比例法求解几何量。建议使用传统方法解决立体几何问题的学生一定要把经典问题（如本题及其他的高考试题）多做几遍，弄懂每一个细节，全面掌握几何运算技术（不是简单那的技巧问题）。（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，故是二面角的平面角．8分，，．，．又，．．所以二面角的大小为．12分解法二：以为坐标原点，射线建立如图所示直角坐标系依题设，为轴的正半轴，．．，．3分（Ⅰ）因为，，故，．又，所以平面．6分（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则，．故令，．，则，，．9分等于二面角的平面角，．所以二面角的大小为．12分【评注】相对而言：向量法就简单多了，为了12分是值得花时间学习向量法的，同时学习向量法，也能提高运算能力。20．（本小题满分12分）设数列的前项和为．已知，，．（Ⅰ）设（Ⅱ）若，求数列的通项公式；，，求的取值范围．，即解：（Ⅰ）依题意，由此得，．4分因此，所求通项公式为，．①6分说明：第（Ⅰ）问考的是数列的通项公式，而且消去，再凑出就已经暗示了解题方法：应该运用即可。请仔细研究本题为什么没有进行讨论，细节在何处，有什么启发？（Ⅱ）由①知，，于是，当时，，，当又时，．．综上，所求的的取值范围是．12分说明：（1）如果不进行“”，则解答存在纰漏：（2）可以有两种转化方案，方案一：作差方案一：代入，，按指数合并同类项，同样可以得到：。得到后，还有重要的一个步骤：才能得到（3）本题是简单的恒成立问题，其主要难度在于运算和化简方向的把握。21．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求四边形面积的最大值．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，．2分如图，设，其中，且故满足方程，．①由知，得；由在所以上知，得．，化简得解得，或．6分【评注】（1）原题无图，大家要大胆按常规情况确定椭圆的标准方程，不