2008年深圳市高三年级第一次调研考试(理科数学)

2008年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）2008.3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求的．1.设全集A．，集合，集合，则（）B．C．D．2.复数，，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视（）A．B．C．D．4.设A．是定义在上的奇函数，且当B．C．时，，则（）D．5.已知等差数列的公差（），它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是A．B．C．D．6.函数A．的零点所在的大致区间是（）B．C．D．7.为调查深圳市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上．有10000名中学生参加了此项活动，下图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是（）A．3800B．6200C．D．8.如图，已知、，从点射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．其中13～15小题是选做题，考生只能选做两题，若三题全答，则只计算前两题得分．9.在中，、分别为角、的对边，若，，，则边的长等于．10.某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是．（用数字作答）11.在中，两直角边分别为、，设为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥中的三条侧棱．、、两两垂直，且长度分别为、、，设棱锥底面上的高为，则12.已知定义在区间上的函数的图像如图所示，对于满足的任意、，给出下列结论：1；23；．其中正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）13.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是，它与方程（）所表示的图形的交点的极坐标是．14.（不等式选讲选做题）已知点是边长为的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为、、，则、、所满足的关系式为，的最小值是．15.（几何证明选讲选做题）如图，是的切线，切点为，直线与交于、两点，的平分线分别交直线、于、两点，已知，，则，．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）已知向量，，函数．（Ⅰ）求的最大值及相应的的值；（Ⅱ）若，求的值．17.（本小题满分12分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．（Ⅰ）求小球落入袋中的概率；（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球个数，试求．的概率和的数学期望18.（本小题满分14分）如图所示的几何体中，平面，∥，，，是的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值．19.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点、，是平面内一动点，直线、的斜率之积为．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作直线与轨迹交于、两点，线段的中点为、，求直线的图像都的斜率的取值范围．20.（本小题满分14分）已知，（），直线与函数的图像的切点的横坐标为1．（Ⅰ）求直线的方程及的值；相切，且与函数（Ⅱ）若（Ⅲ）当（其中是的导函数），求函数的最大值；时，求证：．21.（本小题满分14分）如图，（、、…、（）是曲线：）在轴的正半轴上，且）上的个点，点（是正三角形（是坐标原点）．（Ⅰ）写出、、；（Ⅱ）求出点（Ⅲ）设（）的横坐标关于的表达式；，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．2008年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求的．题号答案12345678DAACBBCA二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．其中13～15小题是选做题，考生只能选做两题，若三题全答，则只计算前两题得分．9．10．11．12．②③14．13．，，15．，三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.解：（Ⅰ）因为，，所以．因此，当（Ⅱ）由，即，即（）时，取得最大值；及得，两边平方得．因此，．17.解：（Ⅰ）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故，从而；（Ⅱ）显然，随机变量，故，．18.解：建立如图所示的空间直角坐标系，并设（Ⅰ）所以，则，，，从而得；（Ⅱ）设是平面的法向量，则由得，及，可以取．显然，为平面的法向量．设二面角的平面角为，则此二面角的余弦值．19.解：（Ⅰ）依题意，有（），化简得，则有（），这就是动点的轨迹的方程；（Ⅱ）依题意，可设、、，两式相减，得（，由此得点的轨迹方程为）．设直线：（其中），则，故由，即，解之得的取值范围是．20.解：（Ⅰ）依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率，所以直线的方程为又因为直线与．的图像相切，所以由，得（不合题意，舍去）；（Ⅱ）因为（），所以．当时，在；当时，．因此，因此，当上单调递增，在取得最大值上单调递减．时，；（Ⅲ）当时，．由（Ⅱ）知：当时，，即．因此，有．21.解：（Ⅰ），，，；（Ⅱ）依题意，得，，由此及得即．由（Ⅰ）可猜想：（）．下面用数学归纳法予以证明：（1）当时，命题显然成立；时命题成立，即有（2/