数学课件-第三章1-2定积分性质

2012年12月航空航天大学理学院数学系2一、基本内容对定积分的补充规定:（1）当a

b时，f

(

x)dx

0；ba（2）当a

b

时，f

(

x)dx

abbaf

(

x

)dx

.说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月航空航天大学理学院数学系3b[

f

(

x)

g(

x)]dx

abaf

(

x)dx

bag(

x)dx

.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1

线性性质babakf

(

x)dx

kf

(x)dx

(k

为常数).PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月航空航天大学理学院数学系4则af

(

x)dx

0.

(a

b)如果在区间[a,b]上f

(x)

0，b证f

(

x)

0,

f

(i

)

0,(i

1,2,

,n)xi

0,ni

1

f

(i

)xi

0,ii

max{x1

,

x2

,,

xnf

(

x)dx

0.

0

i1}

lim

n

f

(

)xba性质2

单调性质PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月航空航天大学理学院数学系5则f

(

x)dx

bag(

x)dx

.

(a

b)ba如果在区间[a,b]上f

(x)

g(x)，推论：PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月航空航天大学理学院数学系6证Mdx,f

(

x)dx

baa(

x)

b

M

,bamdx

则

m(b

a)m

f

(

x)dx

M

(b

a).ff

(

x)dx

M

(b

a).m(b

a)ba（此性质可用于估计积分值的大致范围）a推论：

设M

及m

分别是函数f

(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，bPDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月航空航天大学理学院数学系7例

1

比较积分值x20e dx

和20xdx

的大小.x

[2,

0]02(e

x)dx

0,xx解 令

f

(

x)

e

x

x,f

(

x)

0,

0202e

dx

xdx,于是xe

dx

20xdx.20PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月航空航天大学理学院数学系8例

2 估计积分0

3

sin3

x1dx

的值.解,13

sin3

xf

(

x)

x

[0,

],0

sin3

x

1,

1

,1

14 3

sin3

x

3343

1dx

0

dx,13

sin

x0

1dx

01

dx

.4

0

3

sin3

x

3PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月航空航天大学理学院数学系9例

3

估计积分x24

sin

xdx的值.解xsin

xf

(

x)

,f

(

x)

x

cos

x

sin

x

cos

x(

x

tan

x)

0,4

2[

,

]x

4

2x2

x2f

(x)在[

,]上单调下降,故x

为极大点，x

为极小点,4

2PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月航空航天大学理学院数学系10M

f

(

)4

2

2

,2

m

f

()

2

,

,2

4

4b

a

2

2

,

4

44dx

x

sin

x

2

2

.2224dx

x1

sin

x2PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月航空航天大学理学院数学系11性质3

绝对值不等式babaf

(

x)dx

f

(

x)dx.(a

b)证

f

(

x)

f

(

x)

f

(

x),f

(

x)dx,f

(

x)dx

baabbaf

(

x)dx

即f

(

x)dx

bf

(

x)dx.ba

a说明：|

f

(x)|在区间[a,b]上的可积性是显然的.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月航空航天大学理学院数学系12baf

(

x)dx

f

(

x)dx

bccaf

(

x)dx

.补充：不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.（定积分对于积分区间具有可加性）假设a

c

b性质4

区间可加性PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月航空航天大学理学院数学系13如果函数

f

(

x)在闭区间[a,

b]上连续，

g(x)

在[a,

b]上可积且不变号，则在积分区间[a,

b]上至少存在一个点

，使定积分中值定理g(x)dxb

baaf

(x)g(x)dx

f

(

)PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月航空航天大学理学院数学系14使如果函数f

(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,

b]上至少存在一个点

，baf

(

x)dx

f

(

)(b

a).

(a

b)积分均值公式定积分均值公式PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月航空航天大学理学院数学系15在区间[a,b]上至少存在一个点

，使得以区间[a,b]为底边，以曲线y

f

(x)为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f

(

)的一个矩形的面积。积分均值公式的几何解释：xoabyf

(

)PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月航空航天大学理学院数学系16x例

4 设

f

(

x)可导，且

lim

f

(

x)

1，xx

23tt

sin求limxf

(t

)dt

.解 由积分中值定理知有

[

x,

x

2],使xx

23t3t

sinf

(t

)dt

sinf

()(

x

2

x),3tt

sinx2xlimxf

(

)3

f

(t

)dt

2

lim

sin

2

lim

3

f

(

)

6.PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月航空航天大学理学院数学系17１．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）２．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．二、小结PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月航空航天大学理学院数学系18思考题定积分性质中，若f

(x),g(x)在[a,b]上都可积，则f

(x)

g(x)或f

(x)g(x)在[a,b]上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月航空航天大学理学院数学系19思考题解答0，x为无理数例

f

(

x)

1,x为有理数1，x为无理数g(

x)

0,由f

(x)

g(x)或f

(x)g(x)在[a,b]上可积，不能断言f

(x),g(x)在[a,b]上都可积。x为有理数显然f

(x)

g(x)和f

(x)g(x)在[0,1]上可积，但f

(x),g(x)在[0,1]上都不可积。PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月20定积分的可加性为b练习题一、填空题：1、如果积分区间

a

,b

被点c

分成a

,c与c

,b，则af

(

x)dx

；M

与m

，则2、如果f

(x)在a

,b上的最大值与最小值分别为abf

(x)dx

有如下估计式：规定；bf(x)dx

与abaf

(x)dx

的关3、当a

b

时，系是

；4、积分中值公式baf

(x)dx

f

(

)(b

a),(a

b)的几何意义是；航空航天大学理学院数学系PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月航空航天大学理学院数学系215、下列两积分的大小关系是：02（1）

x dx

1

103x

dx21212（2）

ln

xdx

(ln

x)

dxx1010（3）

e dx

(

x

1)dxbaba二、证明：

kf

(

x)dx

kf

(x)dx

（

k

是常数）.3332三、估计下列积分四、证明不等式：xarc

cot

xdx

的值

.x

1dx

2

.1PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion

2012年12月航空航天大学理学院数学系22六、用定积分定义和性质求极限:1、lim(2nn1

1n

1

n

2

...

1

);02.、lim4nnsin

xdx

.七、设f

(x)及g(x)在

a

,b

上连续，证明：1、若在a

,

b

上

f

(

x)

0,

且f

(x)dx

0

，则在baa

,

b上

f

(

x)

0

；2、若在a

,

b上，

f

(

x)

0

,

且

f

(