用二次函数解决问题的四种类型课件

阶段方法技巧训练（一）专训1用二次函数解决问题的四种类型习题课阶段方法技巧训练（一）专训1用二次函数解决问题的四种类型习利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二次函数解析式实行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的．利用二次函数解决实际问题时，要注意数形1类型建立平面直角坐标系解决实际问题1．如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐

标系中的示意图，点A和A1、点B和B1分别关于y

轴对称．隧道拱部分BCB1

为一段抛物线，最高点C离

路面AA1的距离为8m，点B离路面AA1的距离为6m，

隧道宽AA1为16m.题型1拱桥(隧道)问题1类型建立平面直角坐标系解决实际问题1．如图是某地区一条公路(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数解析式．由已知得OA＝OA1＝8m，OC＝8m，AB＝6m．故C(0，8)，B(－8，6)．设抛物线BCB1对应的函数解析式为y＝ax2＋8，将B点坐标代入，得a·(－8)2＋8＝6，解得a＝－所以y＝－

x2＋8(－8≤x≤8)．解：(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数解析式．由已知得OA＝O(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4m，

装载设备的顶部离路面均为7m，问：它能否安

全通过这个隧道？并说明理由．能．若货车从隧道正中行驶，则其最右边到y轴的距离为2m．如图，设抛物线上横坐标为2的点为点D，过点D作DE⊥AA1于点E.当x＝2时，y＝－×22＋8＝即D

所以DE＝m.因为

＞7，所以该货车能安全通过这个隧道．解：(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4m，能．若货2．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成，

为了牢固，每段防护栏需要间距0.4m加设一根不锈

钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为0.5m(如图)，

则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为(

)A．50mB．100mC．160mD．200m题型2建筑物问题C2．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成，题型23.如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发

射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上的

落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)处竖直向

上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网

球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5米，

圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3

米(网球的体积和圆柱形桶的厚度

忽略不计)．题型3物体运动类问题3.如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发题型3(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？以点O为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图的直角坐标系，则有M(0，5)，B(2，0)，C(1，0)，D设抛物线的解析式为y＝ax2＋c，由抛物线过点M和点B，可得a＝－

c＝5.故抛物线的解析式为y＝－

x2＋5.解：(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？以点O为当x＝1时，y＝

；当x＝

时，y＝.故

，

两点在抛物线上．当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高为0.3×5＝1.5＝(米)．∵＜

且

＜

，∴网球不能落入桶内．当x＝1时，y＝；当x＝时，y＝(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入

桶内？设竖直摆放m个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．由题意，得≤0.3m≤，解得≤m≤.∵m为整数，∴m的值为8，9，10，11，12.∴当竖直摆放8个，9个，10个，11个或12个圆柱

形桶时，网球可以落入桶内．解：(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入设竖直摆放m个2类型建立二次函数模型解决几何最值问题4.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根

绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地

方距地面高都是2.5米，绳子自然

下垂呈抛物线状，身高1米的小明

距较近的那棵树0.5米时，头部刚

好接触到绳子，则绳子的最低点

距地面的高度为________米．题型1利用二次函数解决图形高度的最值问题0.52类型建立二次函数模型解决几何最值问题4.如图，小明的父亲在5．如图所示，正方形ABCD的边长为3a，两动点E，F分别从顶点B，C同时开始以相同速度沿边BC，CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中

始终保持△EGH≌△BCF，B，E，C，G在一条直线

上．题型2利用二次函数解决图形面积的最值问题5．如图所示，正方形ABCD的边长为3a，两动点E，题型2(1)若BE＝a，求DH的长．(1)连接FH，∵△EGH≌△BCF，

∴BC＝EG，HG＝FC，∠G＝∠BCF，∴CG＝BE，HG∥FC，

∴四边形FCGH是平行四边形，∴FH

CG，∴∠DFH＝∠DCG＝90°.

由题意可知，CF＝BE＝a.

在Rt△DFH中，DF＝3a－a＝2a，FH＝a，∴DH＝解：∥＝(1)若BE＝a，求DH的长．(1)连接FH，∵△EGH≌△(2)当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积

取得最小值？并求该三角形面积的最小值．(2)设BE＝x，△DHE的面积为y.依题意，

得y＝S△CDE＋S梯形CDHG－S△EGH

＝×3a×(3a－x)＋(3a＋x)x－×3a×x，∴y＝

x2－

ax＋

a2，即y＝

∴当x＝

a，即E是BC的中点时，y取得最小值，

即△DHE的面积取得最小值，最小值是

a2.解：(2)当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积(2)设B3类型建立二次函数模型解决动点探究问题6．如图所示，直线y＝

x－2与x轴、y轴分别交于点A，C，抛物线过点A，C和点B(1，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出

点D的坐标，并求出最大距

离．3类型建立二次函数模型解决动点探究问题6．如图所示，直线y＝(1)在y＝

x－2中，

令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4，

∴A(4，0)，C(0，－2)．

设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

∵点A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)在抛物线上，解：∴抛物线的解析式为y＝－

x2＋

x－2.

(1)在y＝x－2中，解：∴抛物线的解析式为y＝－(2)设点D的坐标为(x，y)，

则y＝－

x2＋

x－2(1＜x＜4)．

在Rt△AOC中，OA＝4，OC＝2，

由勾股定理得AC＝2

如图所示，连接CD，AD.

过点D作DF⊥y轴于点F，过点A作AG⊥FD交FD

的延长线于点G，

则FG＝AO＝4，FD＝x，DG＝4－x，

OF＝AG＝y，FC＝y＋2.(2)设点D的坐标为(x，y)，∴S△ACD＝S梯形AGFC－S△CDF－S△ADG

＝(AG＋FC)·FG－

FC·FD－

DG·AG

＝(y＋y＋2)×4－(y＋2)·x－(4－x)·y

＝2y－x＋4.将y＝－

x2＋

x－2代入，得S△ACD＝2y－x＋4＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，y＝1，此时S△ACD最大，且最大值为4.∴D(2，1)．∴S△ACD＝S梯形AGFC－S△CDF－S△ADG∵S△ACD＝

AC·DE，AC＝∴当△ACD的面积最大时，高DE最大，

则DE的最大值为∴当D与直线AC的距离DE最大时，点D的坐标为(2，1)，最大距离为∵S△ACD＝AC·DE，AC＝4类型建立二次函数模型作决策问题7．如图，有长为24m的围栏，一面利用墙(墙的最

大可用长度为10m)，围成中间隔有一道栅栏的

长方形鸡舍．设鸡舍的一边AB为xm，面积为

Sm2.题型1几何问题中的决策4类型建立二次函数模型作决策问题7．如图，有长为24m的围(1)求S与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)．(1)因为AB＝xm，所以BC＝(24－3x)m，

此时S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.解：(1)求S与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)．(1)因(2)如果围成面积为45m2的鸡舍，AB的长是多少米？(2)由已知得－3x2＋24x＝45，

整理可得x2－8x＋15＝0.

解得x1＝5，x2＝3.∵0＜24－3x≤10，得≤x＜8，∴x2＝3不符合题意，故AB＝5

m.解：(2)如果围成面积为45m2的鸡舍，AB的长是多少米？(2(3)能围成面积比45m2更大的鸡舍吗？如果能，请

求出最大面积；如果不能，请说明理由．(3)能．S＝－3x2＋24x＝－3(x2－8x)＝－3(x－4)2＋48.∵≤x＜8，∴当x＝

时，S最大值＝46∴能围成面积比45m2更大的鸡舍．

围法是：BC的长是10m，AB的长是4m，

这时鸡舍的面积最大，为46m2.解：(3)能围成面积比45m2更大的鸡舍吗？如果能，请(3)能8．某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并

销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信

息如表：题型2实际问题中的决策其中a为常数，且3≤a≤5.8．某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并题型2实际(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、

y2万元，直接写出y1，y2与x的函数关系式；(1)y1＝(6－a)x－20，(0＜x≤200)

y2＝(20－10)x－40－0.05x2

＝－0.05x2＋10x－40.(0＜x≤80)解：(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、(1)y1(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；(2)对于y1＝(6－a)x－20，∵3≤a≤5，∴6－a＞0，∴x＝200时，y1最大值＝(1180－200a)万元．

对于y2＝－0.05(x－100)2＋460，∵0＜x≤80，∴x＝80时，y2最大值＝440万元．解：(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；(2)对于y1＝(6(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种

产品？请说明理由．(3)①1180－200a＝440，解得a＝3.7；②1180－200a＞440，解得a＜3.7；③1180－200a＜440，解得a＞3.7.∵3≤a≤5，∴当a＝3.7时，产销甲、乙两种产品的年利润相同；当3≤a＜3.7时，产销甲产品年利润比较高；当3.7＜a≤5时，产销乙产品年利润比较高．解：(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种(3)①11阶段方法技巧训练（一）专训1用二次函数解决问题的四种类型习题课阶段方法技巧训练（一）专训1用二次函数解决问题的四种类型习利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二次函数解析式实行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的．利用二次函数解决实际问题时，要注意数形1类型建立平面直角坐标系解决实际问题1．如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐

标系中的示意图，点A和A1、点B和B1分别关于y

轴对称．隧道拱部分BCB1

为一段抛物线，最高点C离

路面AA1的距离为8m，点B离路面AA1的距离为6m，

隧道宽AA1为16m.题型1拱桥(隧道)问题1类型建立平面直角坐标系解决实际问题1．如图是某地区一条公路(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数解析式．由已知得OA＝OA1＝8m，OC＝8m，AB＝6m．故C(0，8)，B(－8，6)．设抛物线BCB1对应的函数解析式为y＝ax2＋8，将B点坐标代入，得a·(－8)2＋8＝6，解得a＝－所以y＝－

x2＋8(－8≤x≤8)．解：(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数解析式．由已知得OA＝O(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4m，

装载设备的顶部离路面均为7m，问：它能否安

全通过这个隧道？并说明理由．能．若货车从隧道正中行驶，则其最右边到y轴的距离为2m．如图，设抛物线上横坐标为2的点为点D，过点D作DE⊥AA1于点E.当x＝2时，y＝－×22＋8＝即D

所以DE＝m.因为

＞7，所以该货车能安全通过这个隧道．解：(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4m，能．若货2．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成，

为了牢固，每段防护栏需要间距0.4m加设一根不锈

钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为0.5m(如图)，

则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为(

)A．50mB．100mC．160mD．200m题型2建筑物问题C2．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成，题型23.如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发

射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上的

落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)处竖直向

上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网

球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5米，

圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3

米(网球的体积和圆柱形桶的厚度

忽略不计)．题型3物体运动类问题3.如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发题型3(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？以点O为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图的直角坐标系，则有M(0，5)，B(2，0)，C(1，0)，D设抛物线的解析式为y＝ax2＋c，由抛物线过点M和点B，可得a＝－

c＝5.故抛物线的解析式为y＝－

x2＋5.解：(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？以点O为当x＝1时，y＝

；当x＝

时，y＝.故

，

两点在抛物线上．当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高为0.3×5＝1.5＝(米)．∵＜

且

＜

，∴网球不能落入桶内．当x＝1时，y＝；当x＝时，y＝(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入

桶内？设竖直摆放m个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．由题意，得≤0.3m≤，解得≤m≤.∵m为整数，∴m的值为8，9，10，11，12.∴当竖直摆放8个，9个，10个，11个或12个圆柱

形桶时，网球可以落入桶内．解：(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入设竖直摆放m个2类型建立二次函数模型解决几何最值问题4.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根

绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地

方距地面高都是2.5米，绳子自然

下垂呈抛物线状，身高1米的小明

距较近的那棵树0.5米时，头部刚

好接触到绳子，则绳子的最低点

距地面的高度为________米．题型1利用二次函数解决图形高度的最值问题0.52类型建立二次函数模型解决几何最值问题4.如图，小明的父亲在5．如图所示，正方形ABCD的边长为3a，两动点E，F分别从顶点B，C同时开始以相同速度沿边BC，CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中

始终保持△EGH≌△BCF，B，E，C，G在一条直线

上．题型2利用二次函数解决图形面积的最值问题5．如图所示，正方形ABCD的边长为3a，两动点E，题型2(1)若BE＝a，求DH的长．(1)连接FH，∵△EGH≌△BCF，

∴BC＝EG，HG＝FC，∠G＝∠BCF，∴CG＝BE，HG∥FC，

∴四边形FCGH是平行四边形，∴FH

CG，∴∠DFH＝∠DCG＝90°.

由题意可知，CF＝BE＝a.

在Rt△DFH中，DF＝3a－a＝2a，FH＝a，∴DH＝解：∥＝(1)若BE＝a，求DH的长．(1)连接FH，∵△EGH≌△(2)当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积

取得最小值？并求该三角形面积的最小值．(2)设BE＝x，△DHE的面积为y.依题意，

得y＝S△CDE＋S梯形CDHG－S△EGH

＝×3a×(3a－x)＋(3a＋x)x－×3a×x，∴y＝

x2－

ax＋

a2，即y＝

∴当x＝

a，即E是BC的中点时，y取得最小值，

即△DHE的面积取得最小值，最小值是

a2.解：(2)当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积(2)设B3类型建立二次函数模型解决动点探究问题6．如图所示，直线y＝

x－2与x轴、y轴分别交于点A，C，抛物线过点A，C和点B(1，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出

点D的坐标，并求出最大距

离．3类型建立二次函数模型解决动点探究问题6．如图所示，直线y＝(1)在y＝

x－2中，

令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4，

∴A(4，0)，C(0，－2)．

设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

∵点A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)在抛物线上，解：∴抛物线的解析式为y＝－

x2＋

x－2.

(1)在y＝x－2中，解：∴抛物线的解析式为y＝－(2)设点D的坐标为(x，y)，

则y＝－

x2＋

x－2(1＜x＜4)．

在Rt△AOC中，OA＝4，OC＝2，

由勾股定理得AC＝2

如图所示，连接CD，AD.

过点D作DF⊥y轴于点F，过点A作AG⊥FD交FD

的延长线于点G，

则FG＝AO＝4，FD＝x，DG＝4－x，

OF＝AG＝y，FC＝y＋2.(2)设点D的坐标为(x，y)，∴S△ACD＝S梯形AGFC－S△CDF－S△ADG

＝(AG＋FC)·FG－

FC·FD－

DG·AG

＝(y＋y＋2)×4－(y＋2)·x－(4－x)·y

＝2y－x＋4.将y＝－

x2＋

x－2代入，得S△ACD＝2y－x＋4＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，y＝1，此时S△ACD最大，且最大值为4.∴D(2，1)．∴S△ACD＝S梯形AGFC－S△CDF－S△ADG∵S△ACD＝

AC·DE，AC＝∴当△ACD的面积最大时，高DE最大，

则DE的最大值为∴当D与直线AC的距离DE最大时，点D的坐标为(2，1)，最大距离为∵S△ACD＝AC·DE，AC＝4类型建立二次函数模型作决策问题7．如图，有长为24m的围栏，一面利用墙(墙的最

大可用长度为10m)，围成中间隔有一道栅栏的

长方形鸡舍．设鸡舍的一边AB为xm，面积为

Sm2.题型1几何问题中的决策4类型建立二次函数模型作决策问题7．如图，有长为24m的围(1)求S与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)．(1)因为AB＝xm，所以BC＝(24－3x)m，

此时S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.解：(1)求S与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)．(1)因(2)如果围成面积为45m2的鸡舍，AB的长是多少米？(2)由已知得－3x2＋24x＝45，

整理可得x2－8x＋15＝0.

解得x1＝5，x2＝3.∵0＜24－3x≤10，得