多元复合函数微分法

一元复合函数求导法则二元复合函数v

(

x,

y)u

(

x,

y)

z

f

[

(

x,

y),

(

x,

y)]zu

xyyz

f

u

f

vx

u

x

v

xu

y

v

yz

f

u

f

v

－－链式法则y一、多元复合函数的微分法uxvzyu

x解z

z

ux

u

xv

x

z

v

eu

sin

v

y

eu

cos

v

1

eu

(

y

sin

v

cos

v)

exy

(

y

sin(

x

y)

cos(

x

y))例1

设z

eu

sin

v,

u

vzz

uy

u

y

v

y

eu

sin

v

x

eu

cos

v

1

eu

(

x

sin

v

cosv).

exy

(

x

sin(

x

y)

cos(

x

y))z

v其它形式复合函数1.

z

f

(u,v)

v

(

x)u

(

x)

z

f

[

(

x),

(

x)]zuxvdz

f

du

f

dvdx

u

dx

v

dx(全导数公式)2.z

f

(u)

,

u

u(

x,

y),zxyz

dz

u

z

dz

u

z

f

[u(

x,

y)]u

x

ydu

x

du

y函数到自变量有几条连线,函数对该自变量的偏导数表示式就有几项,有几个自变量就有几个偏导数表示式.新法视y

uv

,而u

x,v

x,dx一元函数求导可用上学期方法,如对数求导法或换底化为指数型.例2

y

xx

,

求

dy对数求导法dxdy

y(ln

|

y

|)

n

x)

1)y

xxln

x

(dx换底化为指数型dy

(ex

(ln

x

1)yuvxdy

y

du

y

dv

vuv

1

1

uv

ln

u

1dx

u

dx

v

dx例3

设u

f

(

x,

y,

z)

e解uxyzu

f

x

x2

2

2

2xex

y

z

2zex2

y2

z2

2

x

sin

y2

2

4

2

2

x

(1

2

x2

sin2

y)ex

y

x

sin

yu

f

f

z

2

yex2

y2

z22

2

4

2

2(

y

x4

sin

y

cos

y

)ex

y

x

sin

y

y

y

z

y2

2

22zex

y

z

x2

cos

ydx例4

设z

arctan(

xy),

y

ex

,

求

dz

.解zxydz

zdx

x

e

x例5

设u

f

(

x

y解

令s

x

y

z,

t

xyz,

则u

f

(s,

t

),ustxyz

f2

yz

f1

yzf2;

ysu

f

x

su

f1

f

'

xz

f1

xzf2;dt例6

设z

u

v

sin

t

,

u

et

,

v

cos

t,

求

dz

.解zuvtd

t

u

dt

v

e

tdz

z

du

zt

cos

t

e

t

(cos

t

sin

t

)

cos

t二、一阶全微分的形式不变性设函数z

f

(u,

v)可微,

则其全微分为dz若u

u(x,y),v

v

(x,y)也可微,

u则复合函数z

f

[u(

x,

y),

v

(

x,y)]的全微分为dz

z

dx

z

d

y

x

y

z

u

z

v

d

y

u

y

v

y

u

d

x

u

d

y

x

y

v

d

x

v

d

y

x

y

z

du

z

dv.

u

v结论：无论u,v

是自变量还是中间变量,其全微分表达形式都一样,这性质叫做一阶全微分形式不变性.求函数z

x

ln(x

2

y)的全微分。例解:由微分运算法则:d(uv)

udv

vduy2d)2ln2dyy

2ln()d

[ln(

x

2

y)

xz

y三、隐函数微分法1.

一元隐函数的导数设y

f

(

x)是由方程

F

(

x,

y)

0

确定的隐函数，F

(x,y)具有连续的偏导数Fx,Fyy且有

F

0则y

f

(

x)的导数存在且为dy

FxFydxFxy步骤

1)

写出F;

2)

求Fx

'

,

Fy

';

3)

代入公式.2例1

已知由方程x

y

e

x

y

0可确定隐函数y

f

(

x),求dy

.dx解

法一令

F

(

x,

y)

x

y

e

x2

y

,

则2

2y2

x

y

x

y

1

x

e

,xF

1

2

xye

,

F因此yF

F

xdxdy.1

x2e

x2

y1

2

xye

x2

y

法二对方程两边关于x求导数,得1

y

e

x

2

y

(2xy

x2

y)

0解得.1

2

xye

x

2

y21

x2e

xyy

设F

(

x,

y)

y

x

x

y

,F

'

y

x

ln

y

y

x

y

1

,xF

'

x

y

x

1

x

y

ln

x,y

dy

Fx

'ydx F

'

.x

ln

yy

yx

y

1解法2小结由方程F(x,y)

0所确定的隐函数y

f

(x)的导数主要有两种求法法1

利用方程F

(

x,

y)

0构造二元函数F

(

x,

y),

利用多元函数偏导数求导数，即利用下面的公式求导d

y

Fx

'd

x Fy

'对等式F(x,y)

0两边关于x利用复合函数求导dx例2

设y

f

(

x)是由方程y

x

x

y所确定的隐函数,

求

dy2.

二元隐函数设具有连续的且有

Fz

0则z

f

(

x,

y)的偏导数存在且为z

Fx

'

,

z

Fy

'

x Fz

'

y Fz

'1)写出F;2)求Fx

',Fy

',Fz

';3)代入公式.步骤例3

设z

f

(

x,

y)是由方程x2

y2

z2确定的隐函数,求zx

',zy

'.解

法

设F(

x,

y,

z)

x2

y2

z2

4z

4z

0Fx

'

2x

,

z

Fx

'

x Fz

'x

xz

2 2

zFy

'

Fz

'

2z

4

z

Fy

'

y Fz

'.2

zy法2：对等式两边关于x求偏导数，得2

0,xxx

2

z解得

z

z

对等式两边关于y求偏导数，得2

y

2z.zy

4zy

0

,yyy

2

z解得

z

z

例4

求2

xz

2

xyz

ln

xyz

0确定的隐函数z

f

(

x,

y)的全微分.解

设F

(

x,

y,

z)

2xz

2xyz

ln

x

ln

y

ln

zxzzF

'

2x

2

xy

1x

yyF

'

2z

2

yz

1

,

F

'

2

xz

1Fz

'z2

x

2

xy

1Fz

'

dz

Fx

'

dx

Fy

'

dy

2z

2

yz

1x

dx

dyz2

x

2

xy

1y

2

xz

1

2

xyz

2

2

xz2

z

2

xyz

2

z2

x

2

z

2

x

2

yz

x

dx

2

xyz

2

xy2

z

y

dyx

y法2：对等式F

(x,y,z)

0两边关于x(y)求偏导数，解出z

(z

)小结由方程F

(

x,

y,

z)

0所确定的隐函数

z

f

(

x,

y)的导数主要有两种求法：法1：利用方程F

(x,y,z)

0构造三元函数F

(x,y,z),利用多元函数偏导数求导数，即利用下面的公式求导z

Fx

'

,

z

Fy

'

x Fz

'

y Fz

'(2)xyz

ez所确定函数z

z(x,y)的偏导数z

,zx

y(3)x

y

z

e(x

y

z

)所确定函数z

z(x,y)的全微分dzdx(1)e

xy

3

xy2，求dy

;求下列方程所确定隐函数的导数或全微分xydy

3

y2

ye

xydx

xe

6xy答案：（1）

(2)

z

ezx

xy

y

e(3)dz

dx

dy思考题x

z

yF

(x,y,z)

0,证明z

y

x

1.证x

z

yz

y

x

1

(错!记号不可约分！)x

z

yFy

'Fz

'

Fx

'z

y

x

Fx

'

Fz

'