2023学年安徽省合肥市一中、合肥六中高三第二次诊断性检测数学试卷（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件2．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠，长五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在细的一端截下一尺，重斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤3．已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则（）A． B． C． D．4．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下：小王说：“入班即静”是我写的；小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的；小李说：“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（）A．小王或小李 B．小王 C．小董 D．小李5．已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则A．1 B．2 C．3 D．46．设，则（）A． B． C． D．7．如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（）.A． B． C． D．8．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为()A． B． C． D．9．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上之间.用表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为，小张离开家的时间为，看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件的概率等于（）A． B． C． D．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．12．已知函数若对区间内的任意实数，都有，则实数的取值范围是(）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．展开式中的系数为_________.（用数字做答）14．已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________．15．已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB＝BC，则实数t的值为_________．16．已知实数，且由的最大值是_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线和圆的普通方程；（2）已知直线上一点，若直线与圆交于不同两点，求的取值范围.18．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求及的值.19．（12分）已知等差数列满足，公差，等比数列满足，，．求数列，的通项公式；若数列满足，求的前项和．20．（12分）已知是等腰直角三角形,．分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥．(Ⅰ)求证：平面平面．(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值．21．（12分）已知函数．当时，求不等式的解集；，，求a的取值范围．22．（10分）已知均为正实数，函数的最小值为.证明：（1）；（2）.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】

向量，，，则，即，或者-1，判断出即可．【题目详解】解：向量，，，则，即，或者-1，所以是或者的充分不必要条件，故选：A．【答案点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.2、B【答案解析】

依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，则，由此利用等差数列性质求出结果．【题目详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为，设首项，则，公差，.故选B【答案点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3、C【答案解析】

令，求出在的对称轴，由三角函数的对称性可得，将式子相加并整理即可求得的值.【题目详解】令，得，即对称轴为.函数周期，令，可得.则函数在上有8条对称轴.根据正弦函数的性质可知，将以上各式相加得：故选:C.【答案点睛】本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为的形式.4、D【答案解析】

根据题意，分别假设一个正确，推理出与假设不矛盾，即可得出结论.【题目详解】解：由题意知，若只有小王的说法正确，则小王对应“入班即静”，而否定小董说法后得出：小王对应“天道酬勤”，则矛盾；若只有小董的说法正确，则小董对应“天道酬勤”，否定小李的说法后得出：小李对应“细节决定成败”，所以剩下小王对应“入班即静”，但与小王的错误的说法矛盾；若小李的说法正确，则“细节决定成败”不是小李的，则否定小董的说法得出：小王对应“天道酬勤”，所以得出“细节决定成败”是小董的，剩下“入班即静”是小李的，符合题意.所以“入班即静”的书写者是：小李.故选：D.【答案点睛】本题考查推理证明的实际应用.5、D【答案解析】

先用公差表示出，结合等比数列求出.【题目详解】,因为成等比数列，所以，解得.【答案点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.6、D【答案解析】

结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出,,,即可选出答案.【题目详解】由,即,又,即,,即,所以.故选:D.【答案点睛】本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.7、C【答案解析】

易得，，又，平方计算即可得到答案.【题目详解】设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形，所以，又，故，，，所以，即，故离心率为.故选：C.【答案点睛】本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题.8、B【答案解析】

计算求半径为，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案.【题目详解】如图所示：设球半径为，则，解得.故求体积为：，圆锥的体积：，故.故选：.【答案点睛】本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9、A【答案解析】试题分析：由题意得有两个不相等的实数根，所以必有解，则，且，∴．考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.（2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.10、D【答案解析】

这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解.【题目详解】解：事件发生，需满足，即事件应位于五边形内，作图如下：故选：D【答案点睛】考查几何概型，是基础题.11、A【答案解析】

观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积。【题目详解】设半圆柱体体积为，半球体体积为，由题得几何体体积为，故选A。【答案点睛】本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。12、C【答案解析】分析：先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间内的任意实数，都有，得到关于a的不等式组，再解不等式组得到实数a的取值范围.详解：由题得.当a＜1时，，所以函数f（x）在单调递减，因为对区间内的任意实数，都有，所以，所以故a≥1，与a＜1矛盾，故a＜1矛盾.当1≤a<e时，函数f(x)在[0,lna]单调递增，在(lna,1]单调递减.所以因为对区间内的任意实数，都有，所以，所以即令，所以所以函数g(a)在（1，e）上单调递减，所以，所以当1≤a<e时，满足题意.当a时，函数f(x)在(0,1)单调递增,因为对区间内的任意实数，都有，所以,故1+1，所以故综上所述，a∈.故选C.点睛：本题的难点在于“对区间内的任意实数，都有”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、210【答案解析】

转化，只有中含有，即得解.【题目详解】只有中含有，其中的系数为故答案为:210【答案点睛】本题考查了二项式系数的求解，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.14、0或6【答案解析】

计算得到圆心，半径，根据得到，利用圆心到直线的距离公式解得答案.【题目详解】，即，圆心，半径.，故圆心到直线的距离为，即，故或.故答案为：或.【答案点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。15、【答案解析】

由是偶函数可得时恒有，根据该恒等式即可求得，，的值，从而得到，令，可解得，，三点的横坐标，根据可列关于的方程，解出即可．【题目详解】解：因为是偶函数，所以时恒有，即，所以，所以，解得，，；所以；由，即，解得；故，．由，即，解得．故，．因为，所以，即，解得，故答案为：．【答案点睛】本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题．16、【答案解析】

将其转化为几何意义，然后根据最值的条件求出最大值【题目详解】由化简得，又实数，图形为圆，如图:，可得，则由几何意义得，则，为求最大值则当过点或点时取最小值，可得所以的最大值是【答案点睛】本题考查了二元最值问题，将其转化为几何意义，得到圆的方程及斜率问题，对要求的二元二次表达式进行化简，然后求出最值问题，本题有一定难度。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）【答案解析】分析：（1）用代入法消参数可得直线的普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，其中参数的绝对值表示直线上对应点到的距离，因此有，，直接由韦达定理可得，注意到直线与圆相交，因此判别式＞0，这样可得满足的不等关系，由此可求得的取值范围.详解：（1）直线的参数方程为，普通方程为，将代入圆的极坐标方程中,可得圆的普通方程为，（2）解：直线的参数方程为代入圆的方程为可得：（*），且由题意，,.因为方程（*）有两个不同的实根，所以，即，又，所以.因为，所以所以.点睛：（1）参数方程化为普通方程，一般用消参数法，而消参法有两种选择：一是代入法，二是用公式；（2）极坐标方程与直角坐标方程互化一般利用公式；（3）过的直线的参数方程为（为参数）中参数具有几何意义：直线上任一点对应参数，则.18、（1）（2）；【答案解析】

（1）由代入中计算即可；（2）由余弦定理可得，所以，由，变形即可得到答案.【题目详解】（1）因为，可得：，∴，或（舍），∵，∴.（2）由余弦定理，得所以，故，又，所以，所以.【答案点睛】本题考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.19、，；.【答案解析】

由，公差，有，，成等比数列，所以，解得.进而求出数列，的通项公式；当时，由，所以，当时，由，，可得，进而求出前项和．【题目详解】解：由题意知，，公差，有1，，成等比数列，所以，解得．所以数列的通项公式．数列的公比，其通项公式．当时，由，所以．当时，由，，两式相减得，所以．故所以的前项和，．又时，，也符合上式，故.【答案点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的概念，通项公式，前项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，方程思想，分类讨论思想，应用意识，属于中档题．20、(Ⅰ)见解析.(Ⅱ).【答案解析】

(I)证明平面得出平面，根据面面垂直的判定定理得到结论；(II)当平面时，棱锥体积最大，建立空间坐标系，计算两平面的法向量，计算法向量的夹角得出答案．【题目详解】(I)证明：分别为的中点，，又平面平面，又平面平面平面(II)，为定值当平面时，三棱锥的