2023届高考数学专题复习：第12章 计数原理 第2节 排列与组合 课件

第12章计数原理第2节排列与组合必备知识

整体提升考点1

排列问题考点2

组合问题考点3排列、组合的综合问题排列问题分考点讲解排列问题的常见解法(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算．(2)优先法：优先安排特殊元素或特殊位置．(3)捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列．(4)插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．(5)先整体后局部：“小集团”排列问题中，先整体后局部．分考点讲解排列问题(6)定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列．(7)间接法：正难则反，等价转化的方法．(8)分排问题直排处理：分排后排列问题，可以忽略分排，看成一排问题处理．无限制条件的排列问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列问题，通常从以下三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑限制条件，计算出排列数，再减去不符合要求的排列数．例15名男同学和4名女同学站成一排．(1)如果女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？(2)任意两名女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)甲同学不站在第一位，也不站在最后一位，有多少种不同的排法？(4)若将站成一排改为两名同学站一排，剩余同学站一排，有多少种不同的排法？(5)甲同学不站在第一位，乙同学不站在最后一位，有多少种不同的排法？【解】(1)(捆绑法)女同学必须站在一起，则视4名女同学为一个整体，再和5名男同学全排，可得排法为A66A44＝17280(种)．(2)(插空法)先排5名男同学，再插入女同学即可，所以排法为A55A64＝43200(种)．(3)方法一(特殊位置优先法)：第一位和最后一位先安排除甲外的任意两个人，有A82种排法，剩余7人有A77种排法，共有A82A77＝282240(种)排法；方法二(特殊元素优先法)：先排甲，有7种排法，其余8人有A88种排法，共有7×A88＝282240(种)排法．(4)(分排问题直排处理)可以忽略分排，看成排一排问题，共有A99＝362880(种)排法．(5)(间接法)9名同学全排共有A99种排法，其中甲站在第一位时有A88种排法，乙站在最后一位时有A88种排法，甲在第一位且乙在最后一位时有A77种排法，故共有A99－2A88＋A77＝287280(种)排法．例27人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？分考点讲解组合问题1．解决组合问题的几种常见的方法正难则反、穷举法(即树状图法)、隔板法和分类讨论．2．组合问题常见的两类题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，空缺的再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防元素的重复与遗漏．若直接法分类复杂时，可逆向思维，间接求解．3．解决组合问题的基本原则(1)特殊元素优先考虑；(2)合理分类与准确分步．例3[山东青岛2021调研]在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有________种．(用数字回答)【解析】由某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，要求选出座位的左右两边都是空位，可先将其中的7个空位排成一排，则空位之间有6个空隙．再把3个座位放在其中的3个空隙中，共有C63＝20(种)不同方法．20例4[湖南长沙2021月考]2020年义乌国际马拉松赛，我校要从甲、乙、丙、丁等10人中挑选3人参加比赛，其中甲、乙、丙、丁4人中至少有1人参加且甲、乙不同时参加，丙、丁也不同时参加，则不同的报名方案种类为________．【解析】根据题意，分3种情况讨论．①甲、乙、丙、丁4人中，只从甲、乙中选出1人，需要在其他6人中选出2人，有C21C62＝30(种)报名方案；②甲、乙、丙、丁4人中，只从丙、丁中选出1人，需要在其他6人中选出2人，有C21C62＝30(种)报名方案；③甲、乙、丙、丁4人中，从甲、乙，丙、丁中各选1人，需要在其他6人中选出1人，有C21C21C61＝24(种)报名方案．综上，共有30＋30＋24＝84(种)报名方案．84分考点讲解排列、组合问题1．解排列、组合综合问题的思路(1)分析题目的条件，辨别题目的类型，如有无限制元素(或位置)，是相邻问题，还是插空问题等；(2)对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(3)把问题化成几个互相联系的步骤，每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决．2．分组分配问题解决分组分配问题的一个基本思想就是先分组后分配，分组时应注意是否均分，只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象.分考点讲解排列、组合问题常见形式处理方法非均匀不编号分组n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为A＝Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－(m1＋m2)·…·Cmmn－(m1＋m2＋…＋mm－1)均匀不编号分组n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为(其中A＝Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－(m1＋m2)·…·Cmmn－(m1＋m2＋…＋mm－1))．如果再有k组均匀分组，应再除以Akk非均匀编号分组n个不同元素分成m组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为A·Amm(其中A＝Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－(m1＋m2)·…·Cmmn－(m1＋m2＋…＋mm－1))均匀编号分组n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序．其分法种数为(其中A＝Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－(m1＋m2)·…·Cmmn－(m1＋m2＋…＋mm－1))例5[四川成都2021测试]学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有________种．【解析】若甲、乙都入选，则从其余6人中选出2人，有C62＝15(种)选法，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，则有A44－2A33＋A22＝14(种)，故共有15×14＝210(种)组队形式；若甲不入选，乙入选，则从其余6人中选出3人，有C63＝20(种)选法，女生乙不适合担任四辩手，则有C31A33＝18(种)，故共有20×18＝360(种)组队形式；若甲、乙都不入选，则从其余6人中选出4人，有C64＝15(种)选法，再全排有A44＝24(种)，故共有15×24＝360(种)组队形式．综上所述，共有210＋360＋360＝930(种)组队形式，故答案为930.930例6六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本．(2)一组一本，一组两本，一组三本．(3)一组四本，另外两组各一本．对点强化排列问题用数字1，2，3，4组成无重复数字的四位数，其中奇数的个数为(

)A．8B．12C．16D．24【解析】根据题意，要求组成四位奇数，其个位必须为1或3，有2种情况，将剩下的3个数字全排列，安排在千、百、十位，有A33＝6种情况，则有2×6＝12(个)奇数．B对点强化排列问题[河北唐县第一中学2022届月考]7个人站成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有(

)A．400种

B．720种C．960种

D．1200种【解析】根据题意，可知甲、乙要求相邻的排法有A66×A22＝1440种，而甲、乙相邻且丙、丁也相邻的排法有A55×A22×A22＝480种，故甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开的排法有1440－480＝960种．故选C.C对点强化组合问题[江苏南通2022届质量监测]某亲子栏目中，节目组给6位小朋友布置一项搜寻空投食物的任务．已知①食物投掷点有远、近两处；②由于小朋友甲年纪尚小，所以要么不参与该项任务，要么参与搜寻近处投掷点的食物，但不参与时另需一位小朋友在大本营陪同；③所有参与搜寻任务的小朋友被均匀分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有(

)A．10种

B．40种C．70种

D．80种B【解析】若甲不参与任务，则需要先从剩下的5位小朋友中任意选出1位陪同，有C51种选择，再从剩下的4位小朋友中选出2位搜寻远处，有C42种选择，最后剩下的2位小朋友搜寻近处，因此搜寻方案共有C51C42＝30(种)；若甲参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小朋友中选出2位搜寻近处，有C52种选择，剩下的3位小朋友去搜寻远处，因此搜寻方案共有C52＝10(种)．综上，搜寻方案共有30＋10＝40(种)．故选B.对点强化组合问题为抗击此次疫情，我市某医院从3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士中选派5人组成一个抗击疫情医疗小组，则呼吸内科与急诊重症科医生都至少有一人的选派方法种数是________．611【解析】根据题意，有3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士共12人，从中选出5人，有C125＝792(种)选法，其中没有呼吸内科医生的选法有C95＝126(种)，没有急诊重症科医生的选法有C85＝56(种)，呼吸内科医生和急诊重症科医生都没有，即只有护士的选法有1种．则满足题意的选法有792－126－56＋1＝611(种)．对点强化排列、组合的综合问题将4名学生分配到5间宿舍中的任意2间住宿，每间宿舍住2人，则不同的分配方法有(

)A．240种

B．120种

C．90种

D．60种D对点强化排列、组合的综合问题2020年5月22日，国务院总理李克强在发布的2020年国务院政府工作报告中提出，2020年要优先稳就业保民生，坚决打赢脱贫攻坚战，努力实现全面建成小康社会目标任务．为响应党中央号召，某单位决定再加派五名工作人员甲、乙、丙、丁、戊去所负责的A，B，C，D四个村小组帮助指导贫困户脱贫，每个村小组至少派一人，为工作方便，甲不去A村小组，乙去B村小组，则不同的安排方法有(

)A．24种

B．42种C．120种

D．240种B【解析】根据题意，分两种情况讨论：①甲、乙安排在一起，则甲、乙都去B村小组，剩下3人去其他三个村小组，有A33＝6(种)安排方法；②甲、乙不在同一组，有C52－1＝9(种)分组方法，乙所在的组去B村小组，甲所在的组有2种安排方法，剩下的2组去剩下的其他两个村小组，有2种安排方法，则此时有9×2×2＝36(种)安排方