(新)高一数学必修一精典压轴题全国汇编

看人生峰高处，唯有磨难多正果。看人生峰高处，唯有磨难多正果。111・（本小题满分12分）已知x满足不等式2（log丄x）2+7log丄x+-<0,22求f（x）=log--log-的最大值与最小值及相应x值.TOC\o"1-5"\h\z24221.解：由2(logx)2+7logx+-<0，二-3<logx<-1,---2222二1<logx<3，22xx而f(x)=log--log-=(logx-2)(logx-1)2422223-

=(logx)2-3logx+2=(logx一一)2-，

22224313当logx=-时f(x)=--此时x=22=2辽，22min4当log当logx=3时f(x)2max9-1=2，此时x=8.44—2x+a21.(14分)已知定义域为R的函数f(x)=—-是奇函数2x+-求-值；判断并证明该函数在定义域R上的单调性；若对任意的t€R，不等式f(t2-2t)+f(212-k)<0恒成立，求实数k的取值范围;21.•解：(1)由题设，需f(0)=+-=0,「・-=1，•••f(x)=1TOC\o"1-5"\h\z2-+2x经验证，f(x)为奇函数，•••-=1(2分)(2)减函数(3分)证明：任取x,x€R,xx,Ax=x一x0，-2-22-由(1)Ay=f(x)—f(x)=1*2—42x1二2(2XI-2们)211+2x21+2x1(1+2x1)(1+2x2)xx02x12xl2x1—2x20,(1+2x1)(1+2x2)012.•.Ay0::••该M在定义域R上是减函数(3)由f(t2—2t)+f(212—k)<0得f(t2—2t)<-f(2t2—k)，f(x)是奇函数.f(t2-2t)<f(k-2t2)，由(2)，f(x)是减函数:::原问题转化为12—2tk—2t2，即3t2—2t—k0对任意t€R恒成立——(10分).•.A=4+12k0,得k<—1即为所求——(14分)3

20、(本小题满分10分)ax+b12已知定义在区间(—1,1)上的函数f(x)=为奇函数，且f()=.1+x225⑴求实数a,b的值；用定义证明：函数f(x)在区间(—1,1)上是增函数；a+b=_2=21+(丄)25解关于t的不等式f(t—1)+fa+b=_2=21+(丄)25ax+b20、解：⑴由f(x)=市为奇函数，且a-于+b12x则f(一)==—f()=一三，解得：a=1,b=0。f(x)=1+2251+x2(2)证明：在区间(-1,1)上任取&,令-1<%<x2<1,f(x1)-f(f(x1)-f(x2)二去-卷12x(1+x2)—x(1+x2)(x—x)(1—xx)T22+=121_2—221(1+x2)(1+x2)112^-2(1+x2)(1+x2)12t—1<x<x<1x一x<01212,1—xx>0,12(1+x2)>0,(1+x2)>02•••f(x1)一f(x2)<0即f(x1)<f(x2)故函数f(x)在区间(—1,1)上是增函数.⑶一f(t—1)+f(t)<0•••f(t)<—f(t—1)=f(1—t)-■函数f(x)在区间(—1,1)上是增函数•••故关于t的不等式的解集为(0,|).21.(14分)定义在R上的函数f(x)对任意实数a,beR，均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1++时,f(x)v0,⑴求f(1)求证：f(x)为减函数。当f(4)=-2时，解不等式f(x—3)+f(5)>—121，(1)由条件得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0

⑵法一：设k为一个大于1的常数，xwR+,则f(kx)=f(x)+f(k)因为k>1,所以f(k)vO，且kx>x所以kx>x,f(kx)vf(x)对xeR+恒成立，所以f(x)为R+上的单调减函数法二：设x,xe(0,+^)且x<x令x=kx,贝Uk>1121221f(x)-f(x)=f(x)-f(kx)=f(x)-f(k)-f(x)=-f(k)121212有题知，f(k)<0•••f(G-f(x2)>0即/(I>f(x2)所以f(x)在(0,+g)上为减函数法三设x,设x,x12e(0,+g)且x1<x2xxf(x)-f(x)=f(x)-f(x--2)=-f(—)

1211xx11xx缶>1f(缶)<0xx11.f(xi)-f(x2)>DM(xi)>f(x2)所以f(x)在(0,+g)上为减函数b22、(本小题满分12分)已知定义在［1,4］上的函数f(x)=x2-2bx+-(bM1),4⑴求f(x)的最小值g(b)；(II)求g⑹的最大值M。-22.解：f(x)=(x-b)2-b2+=的对称轴为直线x=b(bMl),4-(I)①当1WbW4时,g(b)=f(b)=-b2+4;31②当b>4时，g(b)=f(4)=16-才-，

b—b2+-(lWbW4)TOC\o"1-5"\h\z综上所述，班刃的最小值g⑹={3-。16—--b(b〉4)I4b11(II)①当1WbW4时，g(3)=—b2+=-(b-石)2+48643・••当b=1时，M=g(1)=—-；31313②当b>4时，g⑹=16-b是减函数，・g⑹V16-X4=-15V-：,4443综上所述，g(b)的最大值“=二。422、(12分)设函数f(x)=log(x—3a)(a〉0,且a丰1)，当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的a点时，点Q(x—2a,—y)是函数y=g(x)图象上的点.写出函数y=g(x)的解析式；若当xe［a+2,a+3］时，恒有If(x)—g(x)I1，试确定a的取值范围；(3)把y=g(x)的图象向左平移a个单位得到y=h(x)的图象，函数F(x)=2ai-h(x)—a2-2h(x)+a-h(x)，(a〉0,且a主1))在［—,4］的最大值为—，求a的值.22、解：(1)设点Q的坐标为(x',y')，则x'=x—2a,y'=—y，即x=x'+2a,y=—y'。・・•点P(x,y)在函数y=log(x—3a)图象上a—y'=log(x'+2a一3a)，即卩y'=log丄・：g(x)=log-—aax'—aax—a(2)由题xe［a+2,a+3］，贝Ux—3a=(a+2)—3a=—2a+2〉0，1=1〉0.x—a(a+2)—a又a〉0，且a丰1，•:0<a<1If(x)—g(x)I=Ilog(x—3a)—log-—I=Ilog(x2—4ax+3a2)Iaax—aaIf(x)—g(x)1—1log(x2—4ax+3a2)1a0<a<1・：2〉2a，则r(x)=x2—4ax+3a2在［a+2,a+3］上为增函数，・：函数u(x)=log(x2—4ax+3a2)在［a+2,a+3］上为减函数,a从而［u(x)］=u(a+2)=log(4—4a)。［u(x)］=u(a+3)=log(9—6a)maxamina又0<a<1,又0<a<1,则9-耳5712loga(4—4a)a

(3)由(1)知g(x)=log」，而把y=g(x)的图象向左平移a个单位得到y=h(x)的图ax—ah(x)=log—=—logxTOC\o"1-5"\h\zaxaF(x)=2a1—h(x)—a2—2h(x)+a—h(x)=2a1+logax—a2+2logax+alogax=2ax—a2x2+x，2a2即F(x)=—a2x2+(2a+1)x，又a>0,且a主1，F(x)的对称轴为x=学¥，又在2a2①令2a+1<1na2—4a—2>0na<2—-匚6(舍去)或a>2+"6；此时F(x)在［1,4］上递减,2a244・•・F(x)的最大值=5n-16a2+4(2a+1)=4na2—8a+16=0na=4电(2+用切，此时无解;②令2^+1>4n8a2—2a—1<0n——<a<—，又a>0,且a主1，•:0<a<—；此时F(x)在2a24224，又°<a<2,［4,4］上递增,・・・F(x)的最大值为F⑷=5n—16a2+8a+4=5n4，又°<a<2,・：无解；③令12a+l42a③令12a+l42a2a2-4a-208a2—2a—102-亦a2+V6a—4或^2令(x)却勺最a>0,且a主1大值为F欝=第n—a晋+呼=42a2=号严=4n宀4a—1=0，解得：a=2±叮5，又2a2+<6且a主1，•:a=2+卞5；2综上，a的值为2^<5.D.(-8寸)(0,4)u()10、已知定义在R上的偶函数f(x)在［0,+8)上单调递增，且f⑵=0，则不等式f(logD.(-8寸)(0,4)u()4(|,4)B.Y，4)(4,+8)C.(0寸)(4,+8)、丨Uu11、设ae(0,1)，则aa,log_a,a2之间的大小关系是212A.aA.aa>a2>log_a2B.a2>log_a>aa2log_a>aa>a12D.log_a>a2>aa212、函数f(x)=ax2+bx+c(a丰0)，对任意的非常实数a,b,c,m,n,p，关于x的方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0的解集不可能是()A．{1,2}B．{1,4}C．{1,2,3,4}D．{1,4,16,64}二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13、已知全集U={123,4,5,6},集合A={1,3,4,6},则集合/的所有子集共有个.14、已矢口f(x)=3x2-4x+5,g(x)=f(x-2)，贝Ug(3)=.15、函数f(x)=log,x2-x-2)的单调递增区间为.1216、定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)=2009x+logx，则方程f(x)=0的2009实根个数为.DCBCBDCBDCCD二、填空题：(5x4=20分)13、4；14、4；15、(―口―1)；16、321、(12分)设函数f(x)=lg1+2寸4xa(aeR).当a=-2时，求f(x)的定义域；如果xe(-8,-1)时，f(x)有意义，试确定a的取值范围;如果0<a<1，求证：当x丰0时，有2f(x)<f(2x).21、解：(1)当a=-2时，函数f(x)有意义，则1+2x-2x4x>0n1+2x-2x4x>0，令t=2x,不等式化为：2t2-1-1<0n-2<t<1，转化为-2<2x<1nx<0，•:此时函数f(x)的定义域为(-8,0)(2)义域为(-8,0)(2)当x<-1时f(x)有意>0n1+2x+4xa>0na>-宁3xe(一8,-1)上单调递增，・：y<-6，则有a(3)当2f(x)-f(2x)=2log1+2x+4xa-lg1+22x+鼻2xa=-(++2)-6；0<a<1,x丰0l(1+2x+4xa)2-g3(1+22x+42xa)设2x=t，・・•x丰0，•:t丰1且0<a<1，贝(1+2x+4xa)2-3(1+22x+42xa)=t4(a2-3a)+2at3+t2(2a-2)+2(t-1)<14(a2—3a2)+2at3+12(2a—2)+2(t—1)=-(at—1)212—(at2—1)2—(t—1)2<0・・・2f(x)<f(2x)

22．(本题满分14分)已知幕函数f(X)二x(2-k)(1+k)(kGz)满足f⑵<f⑶。求整数k的值，并写出相应的函数f(X)的解析式；对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在正数m,使函数g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x,在区间【0,1］上的最大值为5。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。22.解：(1)f(2)Vf(3)，,2-k)(1+k)>0n-1vkv2,kGZ,.・.k=0或k=1；当k=0时，f(x)=x2，当k=1时，f(x)=x2；:•:k=0或k=1时，Jf(x)=x2.(2)g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x=-mx2+(2m-1)x+1,m>0，g(x)开口方向向下，对称轴x==1-<12m2m••又g(0)=1,g(x)在区间［0，l］上的最大值为5,••1-—>1-—>0

2mg[1-2m丿1m>—25土2耳6m=—v'622.(本题满分14分)已知函数f(x)二ax-1(a>0且a主1)若函数y=f(x)的图象经过P(3,4)点，求a的值；当a变化时，比较f(lg£)与f(-2.1)大小，并写出比较过程;若f(lga)=100，求a的值.22.解：(I)函数y=f(x)的图象经过P(3,4)a3-i=4，即a2=4.又a>0，所以a=2.1(II)当a>1时，f(匹而)>f(-2.1);1当0<a<1时，f(lg而)<f(-2.1)1因为，f(晅而)=f(一2)=a-3，f(-2.1)=a-3-1

当a>1时，y=ax在(—a,+^)上为增函数，—3>—3.1，.:a—3>a—3.1.1即f(lg而)>f(—2.1).当0<a<1时，y=ax在(—a,+a)上为减函数，—3>—3.1，.a—3<a—3.1.1即f(lg而)<f(—2.1).(Ill)由f(lga)=100知，aiga-1=100.所以，lga®-1=2(或lga—1=log100).a(lga—1)-lga=2..lg2a—lga—2=0，.lga=—1或lga=2，1所以，a=10或a=10°.说明：第(II)问中只有正确结论，无比较过程扣2分20.(本题16分)已知函数f(x)=log(9x+1)+kx(kgR)是偶函数.9⑴求k的值；⑵若函数y=f(x)的图象与直线y=1x+b没有交点，求b的取值范围；()2⑶设h(x)=log9\-3x—3a丿，若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.20.⑴因为y=f(x)为偶函数，所以VxgR,f(—x)=f(—x)，即log(9-x+1)—kx=log(9x+1)+kx对于VxgR恒成立.99于是2kx=log(9-x+1)一log(9x+1)=log9x+1一log(9x+1)=-x恒成立，TOC\o"1-5"\h\z9999x9而x不恒为零，所以k=-1.4分由题意知方程log(9x+1)—1x=1x+b即方程log(9x+1)—x=b无解.9229令g(x)=log(9x+1)—x，则函数y=g(x)的图象与直线y=b无交点.9因为g(x)=log=log(1+右］99x9I9x丿任取x、x_gR,且x<x，则0<9专<9x2,从而丄>丄.1212129x19x2于是log(1++］〉log(1+占］，即g(x)>g(x)，919xt丿919x2丿12所以g(x)在(-a,+8)上是单调减函数.因为1+丄〉1，所以g(x)=log〔1+丄］〉0.9x9I9x丿所以b的取值范围是(—8,0］.6分由题意知方程3x+丄=a-3x—4a有且只有一个实数根.3x3令3x=t>0，则关于t的方程(a—1)t2—3at-1=0(记为(*))有且只有一个正根.若a=1,则t=—扌，不合，舍去；若a丰1，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟.由△=0na=3或一3；但a=3nt=-2，不合，舍去；而a=—3nt=1；方程(*)的两根异号o(a-1)-(—1)<0oa>1.综上所述，实数a的取值范围是{—3}(1,+8).6分U10.若函数f(x)=—x2+2x,贝y对任意实数x,x，下列不等式总成立的是(C)12/r