全等三角形.第4讲.全等三角形及旋转问题.教师版

.PAGE-2-.第四第四讲全等三角形与旋转问题中考要求中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质,会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题知识点睛知识点睛基本知识把图形绕平面上的一个定点旋转一个角度,得到图形,这样的由图形到变换叫做旋转变换,点叫做旋转中心,叫做旋转角,叫做的象；叫做的原象,无论是什么图形,在旋转变换下,象与原象是全等形．很明显,旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上,其功能还是把分散的条件盯对集中,以便于诸条件的综合与推演．重、难点重、难点重点：重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定,全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础,也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点,特别是几种判定方法,尤其是当在直角三角形中时,HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论,要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚,哪几个是条件,决定哪个结论,如何用数学符号表示,即书写格式,都要在讲练中反复强化例题精讲例题精讲如图,有四个图案,它们绕中心旋转一定的角度后,都能和原来的图案相互重合,其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同,它是<>．A如图,同学们曾玩过万花筒,它是由三块等宽等长的玻璃片围成的,其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心<>．A．顺时针旋转60°得到B．顺时针旋转120°得到C．逆时针旋转60°得到D．逆时针旋转120°得到D已知：如图,点为线段上一点,、是等边三角形．求证：．∵、是等边三角形,∴,,∴,∴[点评]此题放在例题之前回忆,此题是旋转中的基本图形．如图,C是线段BD上一点,分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE于F,BE交AC于G,则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有<>．A．1对B．2对C．3对D．4对C[补充]已知：如图,点为线段上一点,、是等边三角形．求证：平分．过点作于,于,由,利用进而再证,可得到,故平分．[补充]如图,点为线段上一点,、是等边三角形．请你证明：⑴；⑵；⑶平分．此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．与三角形各内角相等,及平行线所形成的内错角及同位角相等；全等三角形推导出来的对应角相等…推到而得的：；,,,；,；,,；为等边三角形．⑴∵、是等边三角形,∴,,∴,∴⑵由易推得,所以,又,进而可得为等边三角形．易得．⑶过点作于,于,由,利用进而再证,可得,故平分．如图,,,三点共线,且与是等边三角形,连结,分别交,于,点．求证：．∵与都是等边三角形∴,及∵,,三点共线∴,∴在与中∴,∴∵,∴在与中∴,∴．<20XXXX市初中毕业学业考试试卷>如图,四边形、都是正方形,连接、．求证：．∵∴在和中∴∴[补充]<年全国初中数学竞赛XX区初赛>如下图,在线段同侧作两个等边三角形和<>,点与点分别是线段和的中点,则是<>A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形易得．所以可以看成是绕着点顺时针旋转而得到的．又为线段中点,为线段中点,故就是绕着点顺时针旋转而得．所以且,,故是等边三角形,选C．如图,等边三角形与等边共顶点于点．求证：．∵是等边三角形,∴,．∴,同理,．∴在与 中,∴,∴．如图,点为线段上一点,、是等边三角形,是中点,是中点,求证：是等边三角形．∵,∴,又∵、分别是、的中点,∴,∴,∴∴是等边三角形如图,是等边内的一点,且,,,问的度数是否一定,若一定,求它的度数；若不一定,说明理由．连接,将条件,这两个条件,易得<>,得,由,,<公共边>,知<>,∴．故的度数是定值．<20XXXX省中考题>如图,等腰直角三角形中,,,为中点,．求证：为定值．连结由上可知,,,,而,．∴,∴,∴．[补充]如图,正方形绕正方形中点旋转,其交点为、,求证：．正方形中,,而,∴,∴∴,∴<2004XX>如图,已知点是正方形的边上一点,点是的延长线上一点,且．求证：．证明：因为四边形是正方形,所以,．因为,所以,所以,故≌,故．[补充]如图所示,在四边形中,,,于,若四边形的面积是16,求的长．如图,过点作,延长交于点,容易证得<实际上就是把逆时针旋转,得到正方形>正方形的面积等于四边形面积为,∴．<1997年XX省初中数学竞赛题>在等腰的斜边上取两点、,使,记,,,则以、、为边长的三角形的形状是<>．A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．随、、的变化而变化如图,将绕点顺时针旋转,得,连结,则,,,∴．∴,∴又易得,∴在中,有,故应选<B>[巩固]如图,正方形的边长为,点在线段上运动,平分交边于点．⑴求证：．⑵设<>,与的面积和是否存在最大值？若存在,求出此时的值及．若不存在,请说明理由．⑴证明：如图,延长至点,使得,连结．因为是正方形,所以在和中,,,．∴,∴,．又∵是的平分线．∴,∴．即．∵,∴,∴,∴．即．∴,得证．⑵．∵,∴由⑴知,,所以．在中,,∴,∴．由上式可知,当达到最大值时,最大．而,所以,当时,最大值为．、分别是正方形的边、上的点,且,,为垂足,求证：．延长至,使,连结,易证,,．再证,全等三角形的对应高相等<利用三角形全等可证得>,则有．<通州区2009一模第25题>请阅读下列材料：已知：如图1在中,,,点、分别为线段上两动点,若．探究线段、、三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点顺时针旋转,得到,连结,使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴猜想、、三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明；⑵当动点在线段上,动点运动在线段延长线上时,如图2,其它条件不变,⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．⑴证明：根据绕点顺时针旋转得到∴∴,,,在中∵∴∴即∴又∵∴∴即∴∴∴⑵关系式仍然成立证明：将沿直线对折,得,连∴∴,,又∵,∴∵∴又∵∴∴,∴∴在中即[补充]<1>如图,在四边形ABCD中,AB＝AD,∠B＝∠D＝,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD．求证：EF＝BEFD;<2>如图,在四边形ABCD中,AB＝AD,∠B+∠D＝,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD,<1>中的结论是否仍然成立？不用证明．证明：延长EB到G,使BG=DF,联结AG．∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝,AB＝AD,∴．∴AG＝AF,．∴．∴∠GAE=∠EAF．又AE＝AE,∴．∴EG＝EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE＋FD<2><1>中的结论仍然成立．<北京市数学竞赛试题,天津市数学竞赛试题>如图所示,是边长为的正三角形,是顶角为的等腰三角形,以为顶点作一个的,点、分别在、上,求的周长．如图所示,延长到使．在与中,因为,,,所以,故．因为,,所以．又因为,所以．在与中,,,,所以,则,所以的周长为．在等边的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,D为外一点,且,,,探究：当点M,N分别爱直线AB,AC上移动时,BM,NC,MN之间的数量关系及的周长与等边的周长L的关系．⑴如图①,当点M,N在边AB,AC上,且DM=DN时,BM,NC,MN之间的数量关系式__________；此时=__________⑵如图②,当点M,N在边AB,AC上,且时,猜想<1>问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③,当点M,N分别在边AB,CA的延长线上时,若AN=x,则Q=_________<用x,L表示>BM+NC=MN;<2>猜想：仍然成立证明：如图,延长AC至E,使CE=BM,连接DE由是等边三角形,,,在与中的周长==而等边的周长<3>平面上三个正三角形,,两两共只有一个顶点,求证：与平分．连接与∵,∴,∴在与中∴∴在与中∴∴∴为平行四边形,∴,互相平分．已知：如图,、、都是等边三角形,且、、共线,．求证：也是等边三角形．连结,∵,,,所以,并且与的夹角为,延长交于,则．又因为,．所以．所以,．<1997年XX省竞赛题>如图,在△外面作正方形与,为△的高,其反向延长线交于,求证：<1>;<2>证明△≌△;<2>作,,先证△≌△,△≌△,再证△≌△[补充]以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG,求证：CE=BG,且CE⊥BG．易证,故,又,,故．<北京市初二数学竞赛试题>如图所示,在五边形中,,,求此五边形的面积．我们马上就会想到连接、,因为其中有两个直角三角形,但又发现直接求各三角形的面积并不容易,至此思路中断．我们回到已知条件中去,注意到,这一条件应当如何利用？联想到在证明线段相等时我们常用的"截长补短法",那么可否把拼接到的一端且使呢<如图所示>？据此,连接,则发现≌,且,,,是底、高各为的三角形,其面积为,而与全等,从而可知此五边形的面积为．<希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题>在五边形中,已知,,,连接．求证：平分．连接．由于,．我们以为中心,将逆时针旋转到的位置．因,所以点与点重合,而,所以、、在一条直线上,点旋转后落在点的位置,且,．所以．在与中,因为,,,故≌,因此,即平分．家庭作业家庭作业如图,已知和都是等边三角形,、、在一条直线上,试说明与相等的理由．∵,,∴∴又∵∴<XX省黄冈市20XX初中毕业生升学考试>已知：如图,点是正方形的边上任意一点,过点作交的