2017-2018学年北京市西城区高二第二学期期末数学(理科)试题

22北京市西城区2017-2018学年度第二学期期末试卷2018.7高二数学（理科）2018.7试卷满分：150分考试时间：120分钟本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大題共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的•1.复数(1+1)(A)1-31(B)3-31(C)—122(D)—1222.若函数f(x)=sinx'则隔）+广（扣（)(A)-^2(B)迈(C)1(D)03.设函数f（x）=ax3+bx2+cx+l的导函数为广（x），若广（X）为奇函数，则有（）(A)GH0,c=0(B)b=0(C)a=0.chO(D)ci=c=O4.射击中每次击中目标得1分，未击中目标得0分-已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7,假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（）(A)2.1(B)2(C)0.9(D)0.635.已知一个二次函数/a）的图象如图所示，那么（1I(A)1(B)-2厂1\(C)-3(D)2-y06.有5名男医生和3名女医生.现要从中选3名医生组成地震医疗小组，要求医疗小组中男医生和女医生都要有，那么不同的组队种数有（）（A）45种（B）60种（C）90种（D）120种7.己知函数=）ev,若肌w（0,+oo）,xo为/（x）的一个极人值点，则实数a的取值范围是（）(A)(—00,0)(B)(4,2)(C)Y，0)U(4，S（D）前三个答案都不对&某个产品有若干零部件构成，加工时需要经过7道工序，分别记为A,B,C,D,E,F,G.其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工：有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系.若加工工序Y必须要在工序X完成后才能开工，则称X为Y的紧前工序-现将各工序的加工次序及所需时间（单位：小时）列表如下：工序ABCDEFG加工时间3422215紧前工序无C无CA,BDA,B现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是（）（假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断•）（A）11个小时（B）10个小时（C）9个小时（D）8个小时第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分•把答案填在题中横线上.函数f（x）=4^的图彖在x=4处的切线的斜率为.7在（x--）4的展开式中，常数项是.（用数字作答）x已知某随机变量纟的分布列如下（qeR）：§1-1P13q那么§的数学期望£（^）=，g的方差D（g）=.若4名演讲比赛获奖学生和3名指导教师站在一排照相，则其中任意2名教师不相邻的站法有种.（用数字作答）13•设函数=其中°>0・若对于任意xeR,广（兀）20,则实数d的取值范围是_・1+a.L某电影院共有“（“W3000）个座位-某天，这家电影院上、卞午各演一场电影.看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人，1010人，2019人（同一所学校的学生既可看上午场，又可看下午场，但每人只能看一场）.已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、卞午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么n的可能取值有个-三、解答题：本大题共6小题，共80分•解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15・（本小题满分13分）在数列仇｝中,a血=———,其中〃=1,2,3，….2勺+1（I）计算冬，a3,岛的值;（II）猜想数列｛色｝的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16.（本小题满分13分）在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是°,甲、乙两人都回答错误的概率是丄，乙、丙两人都回答正确的概率是2•设每4124人回答问题正确与否是相互独立的•（I）求乙答对这道题的概率：（H）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.17・（本小题满分13分）设函数/3）=*疋+^+加在区间（-1,1）±单调递增，在区间（1,3）上单调递减.（I）若“=一2,求b的值；（II）求函数/（X）在区间[1,4]±的最小值（用b表示）•（本小题满分13分）甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下:甲队88,91,92,96乙队89,93,9d(92乙队记录中有一个数字模糊（即表中阴影部分），无法确认，假设这个数字具有随机性，并用加表示.（I）在4次比赛中，求乙队平均得分超过甲队平均得分的概率；（II）当也=5时，分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次，记这2个比赛得分之差的绝对值为丸，求随机变量X的分布列：（III）如果乙队得分数据的方差不小于甲队得分数据的方差，写出加的取值集合.（结论不要求证明）（本小题满分14分）设函数f（x）=（x-2）ev-a（x-l）2,其中aeR.（口）当aWO时，求函数/（x）的极值；（□）当録>0时，证明：函数/（X）不可能存在两个零点.（本小题满分14分）已知函数f（x）=xlnx+2・（I）求曲线y=/（x）在点（1,/（1））处的切线方程；（II）若函数）u/（x）+or在区间（e,u）上为单调函数，求实数。的取值范围;2（III）设函数g（x）=x--f其中X>0.证明：g（x）的图象在/（X）图象的下方.X

北京市西城区2017—2018学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2018.72018.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.6.A7.B8.A1.C2.B3.D4.A5.C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分.9i10.2411.-1,843912.144013.(0,1]14.12注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.（本小题满分13分）TOC\o"1-5"\h\z（I）解：由题意，得0>=丄,a.=—9a.=—.3分■357（1【）解：由勺，a—a3,①猜想％=—-—・5分2n-1以下用数学归纳法证明：对任何的5=—^."2〃-1证明：①当川=1时，由已知，得左边a=l,右边——-——=1,2x1-1所以”=1时等式成立.②假设当n=k（ke^）时，ak=^—成立，12仗+1)_112仗+1)_1%_2—1_1

k_2x丄+「亦1

2—1TOC\o"1-5"\h\z所以当n=k+l时，等式也成立.12分根据①和②，可知对于任何“卞，歼启成立.I?分（本小题满分13分）（【）解：记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件£B,C,1分设乙答对这道题的概率尸（B）=x,由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此2,B,C是相互独立事件.

由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，TOC\o"1-5"\h\zWP（AB）=P（A）P（B）=（1-1）X（1-x）=-L4分解得x=Z，3所以，乙对这道题的概率为P（B）=|.6分（1【）解：设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件皿，丙答对这道题的概率P（C）=_y,7分由（I），并根据相互独立事件同时发生的概率公式，得P（BC）=P（3）P（C）=|xy=£,9分解得y=|•10分596甲、乙、丙三人都回答错误的概率为59612分因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立爭件,所以,591所以,591所求爭件概率为P（M）=1-話=孟13分（本小题满分13分）TOC\o"1-5"\h\z（【）解：求导，得f\x）=x2+2ax+b.1分因为函数/⑴在区间（-1,1）±单调递増，在区间（1,3）上单调递减，所以广（l）=l+2d+b=0.3分又因为a=—2,所以b=3,验证知其符合题意.4分（1【）解：由（I）,得l+2“+b=0，即2a=-b-l.所以fW=--^Y~x2+bx,f\x)=x2~(b+l)x+b=(x-b)(x-1).5分当bWl时，得当xe(l,-Hx))时，f\x)=(x-b)(x-l)>0,此时，函数/(工)在(l,+oo)上单调递增.这与题意不符.7分当b>l时,随着X的变化，广（X）与/（兀）的变化情况如下表:.V1（1上）b(As广(X)+0—0+/(■V)7极大值极小值/所以函数/（x）在（-004），（人+8）上单调递增，在（1上）上单调递减.由题意，得b$3・9分40所以当心4时，函数/⑴在［1,4］上的最小值为门4）=y-4/7；11分当3Wbv4,函数f（x）&［1,4］上的最小值为f（b）=--l^+-b2,6240一17A综上，当"三4时，/⑴在［1,4］上的最小值为葺兰；当3Wbv4,/⑴在［1,4］上的最TOC\o"1-5"\h\z小值为-丄夕+丄，.13分62--Z?3+-/?2,3Wb<4,（或写成：函数/（X）在［1,4］上的最小值为血）={：2）.4b,b$4・3（本小题满分13分）（【）解：设“乙队平均得分超过甲队平均得分”为爭件A,1分依题意"匸0丄2,…,9,共有10种可能.2分由乙队平均得分超过甲队平均得分，得；［89+93+（90+m）+92］>Z（88+91+92+96）,解得〃2>3♦所以当加=4,5,6,…,9时，乙队平均得分超过甲队平均得分，共6种可能.……4分所以乙队平均得分超过甲队平均得分的概率P（A）=A=|.5分（1【）解：当加=5时,记甲队的4次比赛得分88,91,92,96分别为人,九,£,人，乙队的4次比赛得分89,93,95,92分别为场，冬,坊,鸟,则分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次，所有可能的得分结果有4x4=16种，它们是：（A，坊）,（44）,（44）,（D（舛,巧）,（44）,（舛,坊）,（D（人,场）,（人4）,（人4）,（人4）,（A^bj,（A49B2）f（人4）,（A4）,6分则这2个比赛得分之差的绝对值为X的所有取值为0,1,2,3,4,5,7.7分因此p（x=0）=丄‘P（X=1）=-=-'P（X=2）=—=-，P（x=3）=—，p（x=4）=—‘16164168161622121F(X=5)花，^=7)=-=--所以随机变量X的分布列为:1010分X0123457P11133111648161616813分解：加w{7,&9}13分(本小题满分14分)(【)解：求导，f\x)=(x-l)e1-2a(x-1)=(x-l)(e'-2a),2分因为oWO，所以ev-2a>0,所以当xg(to,1)时，/V)<0,函数/(x)为减函数：当xe(l,+oo)时，广(羽>0,函数/(x)为增函数.故当x=l时，/(x)存在极小值/(l)=-e；/(x)不存在极大值-5分(匚)证明：解方程f\x)=(%-l)(e'-2«)=0,得兀=1,x2=1ii267.当In2a>1*即a>-时，2随着％的变化，广(x)与的变化情况如下表：X(fl)1(l,ln2a)ln2a(In2磅+00)+0——0+/(-V)z极大值极小值z7分所以函数/(X)在(yo,1),(1112^+00)上单调递增，在(1,1112«)±单调递减-又因为/(l)=-e<0,所以函数/W至多在区间(lii2^+oo)存在一个零点；9分当In2^=1,即a=-时,2因为广(X)=(X-I)(ev-2a)^0(当且仅当x=1时等号成立)，所以/W在R上单调递增，所以函数/W至多存在一个零点；11分当ln2av1,即a<—时，2随着X的变化，广(X)与/(X)的变化情况如下表:X(-oc,ln2a)1112a(ln2a,l)1(*)+0——0+z极大值极小值z12分所以函数/W在(Yc,ln2a),a+oo)上单调递增，在(ln2a,l)上单调递减.又因为a>0,所以当xWl时，/(a)=(a-2)er-a(x-l)2<0,所以函数/(x)至多在区间(1，心)存在一个零点.TOC\o"1-5"\h\z综上，当0>0时函数/(x)不可能存在两个零点.14分(本小题满分14分)(【)解：求导，得/(X)=liix+l,1分又因为/(1)=2,/'(1)=1,所以曲线y=f(x)在点(1,/(1))处的切线方程为x-y+l=0.3分(II)解:设函数F(x)=f(x)+ax=xlnx+cue+2,求导，得F\x)=lnx+a+l»因为函数尸⑴=+处在区间(e,+s)上为单调函数，所以在区间Ge)上，F(x)$0恒成立，或者F©)W0恒成立，4分又因为e,且F(eSH)=\a\+l+a+l>Q,所以在区间(e,Q)上，只能是/r