2018年陕西省宝鸡市高考数学一模试卷(理科)

第第10页，共8页题号-一一二三总分题号-一一二三总分得分副标题9.18202018年陕西省宝鸡市高考数学一模试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x|2x>1},B={x||x|V3}，则AAB=()A.(-3,0)B.(-3,3)C.(0,3)D.(0,+s)2.若复数“(i是虚数单位)为纯虚数,则实数a的值为()A.2B.rC.二D.-23.设｛an｝是公比为q的等比数列，则“q>1”是“｛an｝为递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量.=(1,2),=(x,-4)，且」叫+」=()A.JB.5C.4宀D.•、.■:15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.(、•'+1)nB.(“：Jl)n+2C.(j「+l)n+4D.3n+4高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知TOC\o"1-5"\h\z5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为()A.13B.17C.19D.21给出下列两个命题：命题p：若在边长为1的正方形ABCD内任取一点IMA|01的概率为|.命题4q：若函数f(x)=x+,，(xG[1，2)),则f(x)的最小值为4.则下列命题为真命题的是()A.pAqB.「pC.pA(「'q)D.(「p)A(「q)8.已知实数x,y满足.■，如果目标函数z：i的最大值为3,则m=()A.3B.'Cl［：j3D.

TOC\o"1-5"\h\z秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n,x的值分别为3，2,则输出v的值为()A.9D.35函数/\-'-..I：.-:I：'|/'l'，若且函数/"(X)的图象关于直线V--对称，则以下结论正确的是()函数f(x)的最小正周期为〔函数f(x)的图象关于点■.)对称—nllff函数f(x)在区间上是增函数由y=2cos2x的图象向右平移云个单位长度可以得到函数f(x)的图象双曲线’-=1(a>0,b>0),M、N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM、qbTOC\o"1-5"\h\zPN斜率分别为心、k2，若k]・k2=|,则双曲线离心率为()A.汽B.C.2D..若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数f(x)的图象上；②点A、B关于原点对称，则点(A,B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”.点对(A,B)与(B,A)可看作是同一个“姊妹点对”，(X2+2x(耳<0)已知函数f(x)=，则f(x)的“姊妹点对”有()A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)若aG(0,)，且cos2a^sin(a+_)，则tana=.已知f(x)为偶函数，当xVO时f(x)=ln(-x)+2x,则曲线y=f(x)在点(1,-2)处的切线方程为某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共用17名，无论是否把我算在内，下面是否都是对的，在这些医务人员中：医生不少于护士，女护士多于男医生，男医生比女医生多；至少有两名男护士•”请你推断说话的人的性别与职业是.直线ax+by+c=O与圆O：x2+y2=16相交于两点M、N,若c2=a2+b2,P为圆O上任意一点，贝则七.，■的取值范围是.三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)20.如图所示，已知椭圆C20.如图所示，已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于I,它的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线上.求椭圆C的标准方程；点P(2,「：)，Q(2,「「：)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ17.已知数列｛an｝前n项和为S“，首项为a.且■.!,Sn构成等差数列.求数列｛an｝的通项公式；数列｛bn｝满足bn=(1吧％+1)・(吨2%+3)，求证：、'十'十-'二两侧的动点，当A，B运动时，满足乙APQNBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由.18.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：古文迷非古文迷合计男生262450女生302050合计5644100(I)根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？(U)现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；(皿)现从(U)中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为g,求随机变量g的分布列与数学期望.

10设函数f(x)=(x2-2x)lnx+'订(I)讨论f(x)的单调性；(U)当aV-2时，讨论f(x)的零点个数.参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d-参考数据：P(K2>kQ)0.500.400.250.050.0250.010k00.4550.7081.3213.8415.0246.635

戈=Ic&stt在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为,1(a为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，小，J.求C的普通方程和l的倾斜角；设点P(0，2)，l和C交于A，B两点，求IPAI+IPBI.19.已知四棱锥S-ABCD19.已知四棱锥S-ABCD的底面为平行四边形，且SD丄面ABCD，AB=2AD=2SD，zDCB=60°，M，N分别为SB，SC中点，过MN作平面MNPQ分别与线段CD，AB相交于点P，Q.(I)在图中作出平面MNPQ，使面MNPQH面SAD(不要求证明)；(U)若；...=■■是否存在实数儿使二面角M-PQ-B的平面角大小为60°?若存在，求出的入值，若不存在，请说明理由.23.设函数f(x)=I2x-1I解关于x的不等式f(2x)寸(x+1)若实数a,b满足a+b=2，求f(a2)+f(b2)的最小值.答案和解析【答案】C【答案】A【解析】【分析】【答案】D答案和解析【答案】C【答案】A【解析】【分析】【答案】D【解析】性质，利用特殊值法是解决本题的关键.【答案】A【解析】【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图，7.【答案】C【解析】解:满足条件的正方形ABCD，如下图示:其中满足动点M到定点A的距离|MA|<1的平面区域如图中阴影所示：则正方形的面积S正方形=1阴影部分的面积为，，故动点P到定点A的距离|MA|<1的概率P=：.故命题P为真命题.对于函数fX)=x+',x€［1,2),则f()=1_扌=上+叮：_刃V0,则fX)在涸［1,2)上调递减，fX)盘2)=4，故命题q为假命题.所以:p/q为假命题；①假命题;pA(~q)是真命(p)A(~q)是假命S;则该几何体的表面积S=-I〔<T•〔W=(「，+1)兀+4故选:C.由三视图还原原几何体，该几何体为两个共顶点的半圆锥，圆锥底面半径为1,高为2.求出一个圆锥的表面积与两个三角形的面积作和得答案.本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.6.【答案】C【解析】故选:C.根据系统抽样的定义即可得到结论.本题主要考查系统抽样的应用，根据系充抽样的定义得到样本组距为14是解决本题的关由目标函数鼻厂匸的最大值为由目标函数鼻厂匸的最大值为3,可知直线沪］.的最小截距为-3,由图可知，当直戋z=;.i过可行域的边界点m-1,1)时，zmax=3,・・3二jm-1)-1,解得m=¥.故选:B.本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，确定f(x)的解析式是由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组解决本题的关键.属于中档题.求得最优解的坐标，代入目标函数列式求得m值.11.【答案】B【解析】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.【答案】B【解析】【答案】D【解析】解：由题意，设M(X］，y1)，P(x2,y2)，则N(-xp

3/3-1/1i/2+yi求一齐解：函数込"J-■-!-■'I2'77•9=Tk•kPMkPN-..'.•-一.’••喳_咗=1fl一媚=1«■-忙f严•••两式相减可得二=迟空一叭(1-#k•k—以PMkPN，•••肓1•••b—a，又••函数f(x)的图象关于直线|二对称,.•.c=；=..a，7TjTTT•-12A2可得®=12k-10，•••3=2.故选:B.•••f(x)的解析式为:f(x)=2sin(2x-_.).最小正周期T==「，.•.A不对.设出点M，点N，点P的坐标，求出斜率，将点M，N的坐标代入方程，两式相减，再结合kpM・kPN-［，即可求得结论.本题考查双曲线的方程，考查双曲线的几何性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用，属于X=q时，可得y主0,不对.-JTjT"7T_-_"ITBtT令-二2x-一；二，可得乜|二，函数y=2cos2x的图象向右平移三个单位，可得2cos2(x-三)=2cos(2x-&)=2sin(2x-」+)TT=2sin(2x-_.)..D项正确.中档题.故选:D.根据函数八,求出9,函数f(x)的图象关于直线—三对称，可得®的值，求出了f(x)12.【答案】C【解析】解:根据题意可知，“友好点对”满足两点:都在函数图象上，且关于坐标原点对称.可作出函数y-x2+2x(x<0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y—「(xN0)交点个数即可.如图所示：的解析式，依次对各选择判断即可.9当x—1时，0<-<1观察图象可得:它们有2个交点.故选:C.根据题意可知，只需作出函数y=x2+2x(x<0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数沪三(x>0)交点个数即可.本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对的正确理解，合理地利用图象法解决.13.【答案】【解析】解：■「"•’，且…》'I…，£!>4.•.cos2a-sin2a=一’'sin(a+)，(cosa+cosa)(cosa-sina)=——•—(sina+cosa),5.•.cosa-sina='—两边平方，得sin2a-2sinacosa+cos2a=二，.•.sinacosa==r，L(i•—整理得3tan2a-10tana+3=0,解得tana=.一或tana=3,cosa>sina,.•.tana<l，.•.tana=故答案为：.一.f(x)」-2,故f(1)=-1，工故切线方程是:y+2=-(x-1),即x+y+1=0;故答案为:x+y+1=0.求出f(x)的解析式，求出函数的导数，计算f(1)的值，求出切线方程即可.本题考查了函数的奇偶性问题，考查切线方程问题，是一道基础题.15.【答案】女医生【解析】解:设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，则有：a+b>c+dc>a，a>bd>2得出：c>a>b>d>2,假设:d=2，仅有:a=5,b=4,c=6,d=2时符合条件，又因为使abcd中一个数减一人符合条件，只有b-1符合，即女医生.假设:d>2则没有能满足条件的情况.综上，这位说话的人是女医生.故答案为：女医生.设男医生人数为a,女医生人数为b,女护士人数为c,男护士人数为d,根据已知构造不等式组，推理可得结论.本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题.基础题.根据三角函数的恒等变换，利用同角的三角函数关系，即可得出tana的值.•••O点到直线•••O点到直线MN的距离OA====1,本题考查了三角函数的恒等变换以及同角的三角函数关系，是基础题.14-【答案】x+y+1=0【解析】解:x<0时，f(x)=ln(-x)+2x，f(x)是偶函数,故f(x)=lnx-2x，(x>0)，16.【答案】[-6,10]【解析】解:取MN的中点A,连接OA,则OA丄MN,•.•c2=a2+b2,X2+y2=16的半径r=4,门JI・・RtAON中，设ZON=O，得cosO=「=i,O'1\4I了cosJMON二cos20=2cos2什1=：T二-：,由此可得，"—=hlh■■■.IcosdMON=4x4x--）=—14,卜则=（「一：-屮）（八—」：）=宀门；+』：2—』：（==—14+16—2」,■：I」［=2—2|」；：||」［|cosZ°P=2—8cosZOP,当「,■：,「・.同向时，取得最小直且为2-8=-6当」:■反向时，取得最大值且为2+8=10.则.；、:，.的取值范围是［-6.1Q］故答案为:［—6.10.取MN的中点A,连接OA,则OAJMN.由点到直戋的距离公式算出OA=1，从而在RtAON中，得到coszAON二-，得cosJMON=-三，最后根据向量数量只的公式即可算出I.■-.■-I.■的值，运用向量的加减运算和向量数量只的定义，可得:'/■■-=2-8cos/AOP，考gw.同向和反向，可得最值即可得到所求范围本题考查向量的加减运算和向量的数量积的定义，着重考查了直线与圆的位置关系和向量数量积的运算公式等知识点，注意运用转化思想，属于中愎.17.【答案】解：（1）・・\「、成等差数列，・.：=、.「，当n=l时，宀「-\+，解得a1=',、1J当n〉时〉=_：：；,■，Sn—1=2an—1—，两式相减，得：an=Sn_Sn—1=2an-2an—1，••数列｛an｝是首项为;，公比为2的等比数列，1JT—1・==2n-2n■证明：（2）叮（l會2n+1）X（l會2n+3）=；“,"「上（2n—1）（2n+1）,••=靳-丄x乔+\~2（亦］），1111瓦+「+£+…十阮TOC\o"1-5"\h\z='［（1」）+（-•）+•••+（.I-L11=2（Hr.q：）＜芒（n®*）,JLLL1・,+++•..—一.【解析】18.【答案】解：（I）由列联表得.„"«0.64940.708所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关.・・・（3分）（II）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为二、［=3人，“非古文迷”有二、.-：=2人.即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人・・・（6分）（III）因为F为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以F的所有取值为1，2,3.G理3Gci3谓1p（FT=&=仙P（^=2=言=1，P（^=3=孑|丘.・・・（9分）所以随机变量F的分布列为123P331■105■10=gg19八于疋EF=1X+2x+3X=：-^（12分）【解析】19.【答案】解：（1）如图，Q是AB的中点（若NP.PQ未作成虚线，扣两分）・・・（4分）（II）在平行四边形ABCD中，设AB=2AD=4,RCB=60°所以由余弦定理求得—■，-■，有AB2=AD2+BD2,所以ADJBD，・・・.（5分以D为原点，直线DA为x轴，直线DB为y轴，直线DS为z轴建立空间直角坐标系，且，

又■.•.=；,,,设Q(x,y,z),则,7二；⑴即："…(7分)设平面的法向量为.二—「■*_0由皿"得；七1应I)),..®分)71MQ易知面ABCD的法向量为..=11''1P■*I要使二面角M-PQ-B为60°,则有-:，解得:一=..-一=：・・・.(11分)由图可知，要使二面角M-PQ-B为60°,则=.(12分)【解析】Q是AB的中点画图即可.(H)证明AD丄BD,以D为原点，直线DA为x轴，直线DB为y轴，直线DS为z轴建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，面ABCD的法向量，利用二面角M-PQ-B为60°,求出九即可.本题考查平面与平面平行的判断，二面角的平面角的求法与应用，考查计算能力以及转化思想.20.【答案】解：(1)设椭圆C的标准方程为’+=1(a>b>0),□.£>•••椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线y=-2上,•••-b=-2，解得b=2.^又=-,a2=b2+c2,•a=4,c=21；:,可得椭圆C的标准方程为：+|=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),•ZAPQ=ZBPQ，则PA,PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为-k,直线PA的方程为：y-=k(x-2)化为（1+4k2）x2+8k（「-2k）x+4（「-2k）2-16=0,••X]+2=同理可得:&k（2k+X2+2=同理可得:&k（2k+X2+2=•••x1+x2='，x1-x2=-,-，yL-yi灿土丄4■心）-怙.勺k===AB■■••••直线AB的斜率为定值［：.【解析】(1)设椭圆C的标准方程为■+'=1(a>b>0)，由椭圆的一个顶点在抛物线的准线上得出b，根据离心率得出a;⑵设A(X］，y］)，B(x2,y2)，由乙APQnBPQ知PA，PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，与椭圆的方程联立消元，利用根与系数的关系、斜率公式即可得出结论.本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题.21.【答案】解：(/)f(x)=2(x-1)(1nx+a)(x>0).当a=0时，f(x)=2(x-1)1nx,当0VxV1时，f(x)>0,当x>1时，f(x)>0,当x=1时，f(x)=0.•f(x)在(0,+s)递增当a>0时，令f(x)=0,得|一1.厂-c■，此时e-aV1.易知f(x)在(0,e-a)递增,(e-a,1)递减,(1,+m)递增当aV0时，e-a>1.易知f(x)在(0,1)递增，(1,e-a)递减，(e-a,+w)递增(U)当aV-2时，由(I)知f(x)在(0,1)上递增，(1,e-a)上递减，(e-a,+«)上递增，且丨，=订］I【丨|二=_H,将x=e-a代入f(x),得f(x)=f(e-a)=，.:二：，iI:;+2(1-a)x+a=-「'L11IIiI_va<-2,•f(e-a)V0,下面证明当xG(0,1)时存在x0,使f(x0)V0.TOC\o"1-5"\h\z、，,r一“,I］l-tL-vl-k-首先，由不等式1nxVx-1,•,•,•l.i：."考虑到x2-2x=x(x-2)V0,f(x)=(x2-2x)1nx+7jJILI订i,.=l；■d.+2(1-a)l23x+a=3再令-II■=",可解出一个根为=1L|,TaV-2,•川：||丨，川II,就

取■■■->—II■.I'.则有f(x0)VO.由零点存在定理及函数f&)在(0,1)上的单调性，可知f&)在(0,1)上有唯一的一个零点.由f(1)>0,f(e-a)V0,及f(x)的单调性，可知f(x)在(1,e-a)上有唯一零点.下面证明在xG(e-a,+(»)上，存在x1,使f(x1)>0,就取，则|匚,•••二丄1=二I「\丨7丨二I「•■•_+：!-''|-:■L-•一<■，由不等式ex>x+1,则e-a+a>(-a+1)+a>0,即f(x1)>0.根据零点存在定理及函数单调性知f(x)在(e-a,+w)有一个零点.综上可知，f(x)当aV-2时，共有3个零点.【解析】⑴求出导函数f(x)=2(x-1)(1nx+a)(x>0).通过①当a=0时，②当a>0时，③当a<0时，判断导函数的符号，然后判断函数的单调性.(U)当a<-2时，由⑴知f(x)在(0,1)上递增，(1,e-a)上递减，(e-a,+Q上递增，当xG(0,1)时存在/r