87~11考研数真题合集

1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷ー、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当ス=时,函数y=x-2X取得极小值.⑵由曲线y=\nx与两直线y=e+lース及y=0所围成的平面图形的面积是X=1(3)与两直线<y=-l+t及牛=、ユ=?都平行且过原点的平面方程为z=2+r(4)设ム为取正向的圆周ボ+y2=9,则曲线积分£(2xy-2y)dx+(x2-4x)dy=(5)已知三维向量空间的基底为%=(l,l,0),a2=(l,0,l),a3=(0,1,1).则向量P=(2,0,0)在此基底下的坐标是.二、(本题满分8分)!ドt2求正的常数。与ん使等式lim f/ル=1成立.刀ー。bx-sinxヘマa+メ三、(本题满分7分)⑴设y、g为连续可微函数,“=f(x,xy),v=g(x+xy),求上,一.dxdx■3〇r(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B,其中A=110,求矩阵B.014四、(本题满分8分)求微分方程y"+6y"+(9+ボ)了=1的通解,其中常数a>〇.五、选择题(本题共4小题,毎小题3分,满分12分.毎小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设|加/(ダー华)=_1,则在x=a处工ー(x-a)(A)/(x)的导数存在,且f'(a)(A)/(x)的导数存在,且f'(a)ヰ0(B)/(x)取得极大值(C)〃ス)(C)〃ス)取得极小值(D)f(x)的导数不存在⑵设れx)为已知连续函数,/=f1/(な)厶,其中f>0,S>0,则/的值(B)依赖于s、t和ス(B)依赖于s、t和ス(D)依赖于s,不依赖于f(C)依赖于/、x,不依赖于s(3)设常数k>Q,则级数V(-1)"竺っ(A)发散(C)(A)发散(C)条件收敛①)散敛性与え的取值有关(4)设A为れ阶方阵,且A的行列式IA1=。ナ〇,而A・是A的伴随矩阵,则IA*I等于(A)〃 (B)—a(C)アー】 ①)グ六、(本题满分10分)求事级数〉1ーズ川的收敛域,并求其和函数.七れ2〃七、(本题满分10分)求曲面积分I=JJx(8y4-V)dydz+2(1-y2)dzdx-4yzdxdy.z7=Jv—11<vK3其中X是由曲线/(%)=イ マメーノー绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与yx=0轴正向的夹角恒大于と.2ハ、(本题满分10分)设函数/(外在闭区间［0,1］上可微,对于［0,1］上的每ー个x,函数/(x)的值都在开区间(0,1)内,且ズ’。)ヰ1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得了(外=X.九、(本题满分8分)问a,b为何值时,现线性方程组rXy+々+ス3+ム=0

x2+2x3+2ム=1

-x2+(a-3)x3-2x4=Z?ュ玉+2x2+ム+ax4=-1

有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

十、填空题（本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上）（1）设在ー次实验中,事件A发生的概率为p,现进行〃次独立试验,则A至少发生一次的概率为;而事件A至多发生一次的概率为.（2）有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为.⑶已知连续随机变量X⑶已知连续随机变量X的概率密度函数为/（x）则X的数学期望为,x的方差为.十一、（本题满分6分）设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为/■"I0<x<l其它j>0j<0/■"I0<x<l其它j>0j<0求z=2x+y的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷一、（本题共3小题,每小题5分,满分15分）（1）求辕级数£生ア的收敛域.n=l（2）设f（x）=ev, =1-xH3〇）と〇,求（p{x}及其定义域.（3）设X为曲面J+ザ+ド=1的外侧,计算曲面积分/=Jjx^dydz+y3dzdx+z'dxdy.二、填空题（本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上）⑴若れ。=limf（l+丄产,则/⑺=.XT8 X⑵设/（X）连续且1/⑴由=x,则/（7）=.2—1<xK0（3）设周期为2的周期函数,它在区间（—1,1］上定义为"x）='ー,则的傅里I20<%<1叶(Fourier)级数在x=1处收敛于.(4)设4阶矩阵A=[(x,ア2，丫3，yJB二甲,丫2，丫3，丫/，其中01平,力，ア3，ア4均为4维列向量,且已知行列式IA卜4,|B|=1,则行列式|A+B|=.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)⑴设y(x)可导且r(x0)=g,则Ax—>0时,/(x)在へ处的微分力是(A)与へx等价的无穷小 (B)与Ar同阶的无穷小(C)比へx低阶的无穷小 (D)比へx高阶的无穷小⑵设y=/(x)是方程ザー2y'+4y=0的一个解且"与)>0,/'(ム)=0,则函数/(%)在点X。处(A)取得极大值 (B)取得极小值(C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少(3)设空间区域引:ゼ+ザ+7ユ4晓,ス20,@：x?+y2+z24R2,xNo,y40,zNO,则(A)jjjxJv=4jjpv (B)JJJydn=4jjjyJvQy Q, Q Q,(C)JjJzdv=4jjjzdv (D)jjjxyzJv=4^xyzdvq n, 4 q(4)设幕级数デ%(x-1)"在x=T处收敛,则此级数在x=2处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定(5)〃维向量组…,a,(3<s<n)线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数ん,ち,…,ん,使"円+k2a2+…+k、qナ0(B)d1,a,中任意两个向量均线性无关(0四,叫,…,风中存在ー个向量不能用其余向量线性表示(D)叫,a2,…,a,中存在ー个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设〃=ガ(一)+xg(2),其中函数于、g具有二阶连续导数,求ス―7+y •yx dxoxoy

五、(本题满分8分)设函数y=y(x)满足微分方程y"-3y'+2y=2er,其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=ピーx-1在该点处的切线重合,求函数y=y(x).六、(本题满分9分)设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为§(k>0为常数,/"为A质点与M之广间的距离),质点M沿直线y=5/2x-F自8(2,0)运动到。(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七、(本题满分6分)1002-101002-10,求A,A'.21 1已知AP=BP,其中B=00000-1ハ、(本题满分8分)'200''200"已知矩阵ん=001与B=0y0相似.01x00-1(1)求X与y.⑵求一个满足PAP=B的可逆阵P.九、(本题满分9分)设函数/(x)在区间レ,加上连续,且在(a,b)内有，'(x)>0,证明:在(ス田内存在唯一的虞使曲线y=/(x)与两直线y=/(J),x=a所围平面图形面积S1是曲线y=/(x)与两直线y=/C)，x=b所围平面图形面积S2的3倍.十、填空题(本题共3小题,毎小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于—,则事件A在ー次试验中出现的概率是.27(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于与”的概率为.(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知¢(4=f,——e2d”,¢(2.5)=0.9938,

则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为.十ー、(本题满分6分)设随机变量x的概率密度函数为/x(x)=ー「,求随机变量y=i一五r的概率密乃(1一ス)度函数ん(y).1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,毎小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)已知，'(3)=2,则lim"3ーム)ーナ(3)=(3)设平面曲(3)设平面曲线ム为下半圆周y=71ーデ,则曲线积分］(ゼ+y2Ms=.(4)向量场divu在点P(l,l,0)处的散度divu=.300⑸设矩300⑸设矩阵ん=140003010,则矩阵(A-2I)T=.001二、选择题(本题共5小题,毎小题3分,满分15分.毎小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当x>0时,曲线y=xsin—(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线，又无铅直渐近线(2)已知曲面z=4ー尤2-メ上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z-l=0,则点的坐标是(A)(l,-1,2) (B)(-l,l,2)(C)(1J2) (D)(-l,-l,2)(A)qy+c1y2(A)qy+c1y2+y3(B)C|X+C2y2一(C|+。2)ル

(0„+。(0„+。2为一(1ーうー。2)%①)cj+c2y2+(\-ci-c2)y3(4)设函数，(x)=ズ,0Wx<1,而S(x)= sin〃万x,-8<x<+oo,其中n=1bn=2/(x)sinnnxdx,n=1,23…,则S(一)等于TOC\o"1-5"\h\z(A)-- (B)--2 4(Q- (D)—4 2(5)设A是〃阶矩阵,且A的行列式|A|=0,则A中(A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分!5分)⑴设z=/(2x-y)+g(x,xy),其中函数“。二阶可导,g(〃,v)具有连续二阶偏导数,dxdy(2)设曲线积分[孙2厶+),シ(幻の与路径无关,其中タ(灯具有连续的导数,且タ(0)=0,计算]xy1dx+y(p(x)dy的值.(3)计算三重积分JJJ(x+z)dv,其中。是由曲面z=ノ?+ザ与z=，i—x?一ザ所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数人x)=arctan上土展为x的裏级数.1-x五、(本题满分7分)设/(x)=sinx-j：(x-r)/(r)力,其中，为连续函数,求/(x).六、(本题满分7分)证明方程Inx=モー『ノT-cos2xdx在区间(0,+〇〇)内有且仅有两个不同实根.e国七、（本题满分6分）问ス为何值时,线性方程组‘苟+あ=え74る+x2+2x3=2+26X]+x2+4x3=22+3有解,并求出解的一般形式.ハ、（本题满分8分）假设2为〃阶可逆矩阵A的・个特征值,证明⑴丄为Ai的特征值.2（2）国为A的伴随矩阵A・的特征值.A,九、（本题满分9分）设半径为R的球面Z的球心在定球面デ+>2+ス2=/（。>〇）上向当マ为何值时,球面Z在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题（本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上）（1）已知随机事件A的概率P（A）=0.5,随机事件B的概率P（B）=0.6及条件概率P（BIA）=0.8,则和事件AU8的概率P（AUB）=.（2）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现己知目标被命中,则它是甲射中的概率为.（3）若随机变量す在（1,6）上服从均匀分布,则方程f+4尤+1=0有实根的概率是十ー、（本题满分6分）设随机变量x与ド独立,且x服从均值为I、标准差（均方差）为五的正态分布,而ド服从标准正态分布.试求随机变量z=2X-y+3的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷一、填空题（本题共5小题,毎小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）'x=—/+2(1)过点M(1,2-1)且与直线\y=3，-4垂直的平面方程是.<z=t-l(2)设。为非零常数,则lim(山•『=.1°°x-afl\x\<l(3)设函数/(x)=《 ,则/[/(x)]= .0|jr|>1(4)积分jdxfe-ザdy的值等于.(5)已知向量组”=(1,2,3,4),a?=(2,3,4,5),a,=(3,4,5,6),%=(4,5,6,7),则该向量组的秩是.二、选择题(本题共5小题,毎小题3分,满分15分.毎小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)⑴设f(x)是连续函数,且ド(x)=1 。カ,则尸’(x)等于(A)-e-/(1)-fは) (B)-e-V(e-x)+/(x)(C)e7/(e-)-/(x) (D)e-V(e-x)+/(x)(2)已知函数"x)具有任意阶导数,且，'(x)="(x)F,则当〃为大于2的正整数时J(x)的〃阶导数ブ">は)是(A)n![/(x)]"+, (B)«[/(x)]"+l(C)[/(x)]2" (D)n![/(x)]2"(3)设a为常数,则级数£[理婴一一セ]„=!〃ーイ〃(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与。的取值有关(4)已知ア(x)在x=0的某个邻域内连续,且/(0)=0,lim"め=2,则在点x=0处…!一cosX/(X)(A)不可导 (B)可导,且/'(0)キ0(C)取得极大值 (D)取得极小值(5)已知口、あ是非齐次线性方程组AX=)的两个不同的解,叫、%是对应其次线性方程组AX=O的基础解析ム、k2为任意常数,则方程组AX=わ的通解(--般解)必是R-B_(A)R-B_(A)ム叫+22(ル+%)+リ~-(C)ん%+ん2(卩1+02)+0;ル0 !〇(B)ム%+^2(«1-a2)+—~—(D)ム叫+ム(即—02)+。ニル三、体题共3小题海小题5分,满分15分)亠「ln(l+x),⑴求［―如.*(2-x)25 “亠 亠、亠亠…ロレ,亠d2z(2)设1=/(2x-y,ysinx),其中/(w,v)具有连续的二阶偏导数,求 .oxoy⑶求微分方程ザ+4y'+4y=e-2'的通解(一般解).四、(本题满分6分)求黒级数Z(2〃+Dx"的收敛域,并求其和函数•五、(本题满分8分)求曲面积分I=||yzdzdx+2dxdy其中S是球面x2+y2+z2=4外侧在z>0的部分.六、(本题满分7分)设不恒为常数的函数/(x)在闭区间［a,b］上连续,在开区间(a,b)内可导,且/(a)=f(b).证明在(a,b)内至少存在一点,使得/'0>0.七、(本题满分6分)设四阶矩阵“1一10O''2134~0I-I00213B=001-1,c=002100010002_且矩阵A满足关系式A(E-CB/C=E

其中E为四阶单位矩阵,CT表示C的逆矩阵,C’表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.ハ、(本题满分8分)求ー个正交变换化二次型，=X；+4ぜ+4x；-4丹ち+4x/3-8x,左成标准型.九、(本题满分8分)质点P沿着以为直径的半圆周,从点ん(1,2)运动到点8(3,4)的过程中受变カF作用(见图).F的大小等于点尸与原点。之间的距离,其方向垂直于线段。尸且与y轴正7T -向的夹角小于ー.求变カF对质点P所作的功.2十、填空题(本题共3小题.每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X的概率密度函数/(x)=-^e~lvl,-oo<x<+00则X的概率分布函数尸(x)=.(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若耳表示8的对立事件,那么积事件AB的概率P(AB)=.(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布，即2*e-2P{X=k}= ，^=0,1,2,-,贝リ随机变量Z=3X-2的数学期望k!E(Z)=.十一、(本题满分6分)设二维随机变量(x,y)在区域〇:〇(尤<1,レ|<ズ内服从均匀分布,求关于x的边缘概率密度函数及随机变量Z=2X+1的方差0(Z).1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,毎小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)x=l+Jn,.d2y(1)设イ ,贝リ+=.y=cosrax(2)由方程xyz+，/+ザ+z?=狙所确定的函数z=z(x,y)在点(1,O,T)处的全微分dz=.(3)已知两条直线的方程是=と;=~;厶:—=エメ=ユ则过Z,且平行1 0 -12 1 1于12的平面方程是.(4)已知当xf0时,(1+or?)3—1与cosx-1是等价无穷小,则常数a=.5200(5)设4阶方阵A=2()10010-2,则A的逆阵A0011二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线ぎ= rl-e'x(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数/(x)满足关系式ハめ=ド"丄)力+ln2,则/(幻等于力2(A)e'ln2 (B)e2jrIn2(C)e*+ln2 (D)e2t+ln2TOC\o"1-5"\h\z(3)已知级数£(—1尸し=2,Zめい=5,则级数ナム等于”=1 n=l n=l(A)3 (B)7(C)8 (D)9(4)设。是平面xoy上以(1,1)、(一1,1)和(一1,一1)为顶点的三角形区域,。是。在第一象限的部分,则

ff(xy4-cosxsiny)dxdy等于D(B)2JJxydxdy鼻(D)0(A)2jjcosx(B)2JJxydxdy鼻(D)0(C)4|j(xy+cosxsiny)dxdy认(5)设れ阶方阵A、B、C满足关系式ABC二E,其中E是〃阶单位阵,则必有(A)ACB=E(C)BAC(A)ACB=E(C)BAC=E三、(本题共3小题,每小题5分,满分!5分)⑴求lim(cos77)2.x->0+⑵设方是曲面2ギ+3ザ+/=6在点处的指向外侧的法向量,求函数“=在ス+8)’,在点p处沿方向n的方向导数.(3)JjjU(3)JjjU2+y2+z)小,其中。是由曲线＜Qy一“绕ス轴旋转一周而成的曲面与平面x=0=4所围城的立体.四、(本题满分6分)过点。(〇,〇)和A(乃,〇)的曲线族y=asinx(a>0)中,求一条曲线ム,使沿该曲线。从到4的积分j(1+ザ)ム+(2x+y)dy的值最小.五、(本题满分8分)将函数/(x)=2+|x|(-14x41)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数『くハ=1〃的和.六、(本题满分7分)设函数/(x)在［0,1I上连续,(0,1)内可导,且3£/(x)Jx=/(0),证明在(〇」)内存在ー3点、c,使/'(c)=0.七、(本题满分8分)

已知«1=(l,0,2,3),a2=(l,l,3,5),a3=(l,-l,a+2,l),a4=(1,2,4,a+8) 及0=(1,33,5).(l)aヽb为何值时,卩不能表示成叫,€(2,(X3,%的线性组合?(2)a、b为何值时,p有%,a2,a,,¢(4的唯一的线性表示式?写出该表示式.ハ、(本题满分6分)设A是〃阶正定阵,E是〃阶单位阵,证明A+E的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点尸(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)⑴若随机变量X服从均值为2、方差为〇"さ的正态分布,且口2<X<4}=0.3,则P{X<0}=.(2)随机地向半圆〇<y<J2zx-ス2(。为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概TT率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与X轴的夹角小于エ的概率为4十一、(本题满分6分)设二维随机变量(x,y)的密度函数为/(x,y)=/(x,y)=«2e-u+2y)x>0,y>00其它求随机变量Z=X+2Y的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷ー、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分!5分.把答案填在题中横线上)⑴设函数y=y(x)由方程e"，+cos(町)=0确定,则生=.dx

(2)函数w=ln(尤ユ+ブ+z?)在点M(l,2,-2)处的梯度gradu(3)设“x)=J"1 一"く”"。,则其以2だ为周期的傅里叶级数在点X=万处收敛|l+xゝーしゝーし于.(4)微分方程yf+ytanx=cosx的通解为y=.qムq仇…。ムaha^b,・・・。也,一, …，(5)设ん=~ ~ ~ ,其中a产〇,，，0,(i=1,2,•••,k).则矩阵A的秩岫。也•••a也r(A)=.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)ピ—1丄(1)当X-1时,函数 ei的极限x-1(A)等于2 (B)等于0(C)为8 (D)不存在但不为8⑵级数之(一1)"(1一cos与(常数。>0)n=l 〃(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与a有关(3)在曲线x=t,y=-t2,z=t3的所有切线中,与平面お+2y+z=4平行的切线(A)只有1条 (B)只有2条(C)至少有3条 (D)不存在⑷设ハ均=3ギ+ピ风则使づ")(〇)存在的最髙阶数〃为(A)o(C)2(B)l(D)3j°(B)l(D)3(A)[-212](B)0-111(5)要使る=0,ら=1都是线性方程组AX(A)[-212](B)0-111(C)021(C)021-1(D)4-2-201 1三、（本题共3小题,每小题5分,满分!5分）亠”ev-sinx-l⑴求hm——j=^.ー。1一Fr⑵设Z=ハビ5皿弘デ+ザ）,其中/具有二阶连续偏导数,求な・.oxoy^f(x-2)dx.（3）设ル）=メ0,求e，え＞〇^f(x-2)dx.四、（本题满分6分）求微分方程y〃+2y'-3y=ど3X的通解.五、（本题满分8分）计算曲面积分jj（x3+az2）dydz+（y3+ax2）dzdx+（z3+ay2）dxdy,其中2为上半球面Z=&2-/-y2的上侧.六、（本题满分7分）设/"（X）＜0,/（0）=0,证明对任何ホ＞0,ち＞0,有，（王+ム）＜•/"は1）+/（ム）・七、（本题满分8分）在变カF=yzi+zxj+xyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面比2 2 2—"+'+・=1上第一卦限的点MC,〃,く）,问当ぐ、り、ぐ取何值时,カド所做的功W最ah'c大?并求出W的最大值.ハ、（本题满分7分）设向量组«!.02,«3线性相关,向量组a2,«3,a4线性无关,问:（1）必能否由&2，（13线性表出?证明你的结论.⑵&4能否由四,a,ハ线性表出?证明你的结论.九、(本题满分7分)设3阶矩阵A的特征值为ん=1，4=2,4=3,对应的特征向量依次为⑴将B用自あ2G线性表出.(2)求A邯(れ为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)⑴已知P(A)=P(B)=尸(。)=丄,P(AB)=O,尸(AC)=尸(BC)=丄,则事件A、Bヽ4 6C全不发生的概率为.(2)设随机变量X服从参数为I的指数分布,则数学期望E[X+e<X}=.十ー、(本题满分6分)设随机变量x与y独立,x服从正态分布n(/z,ザ),y服从トガ,加上的均匀分布,试求z=x+y的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数中表示,其中①(x)=—==e2力).J2だb1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数F(x)=「(2一二=)流(x>0)的单调减少区间为.(2)由曲线ドザ+2ザ二口绕ド轴旋转一周得到的旋转面在点&石,&)处的指向外z=0侧的单位法向量为.⑶设函数f(X)=7TX+X2(-^<X<7T)的傅里叶级数展开式为

—+^(a„cosnx+bnsinnx),则其中系数ム的值为 .2n=l(4)设数量场m=In^x2+y2+z2,则div(gradw)=.(5)设〃阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为〃-1,则线性方程组AX=0的通解为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)⑴设y(x)=£sin(r-)dt,g(x)=x3+x,则当xf0时,/(x)是g(x)的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小 (D)低价无穷小(2)双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为(A)2geos20dOcos20d0(D)—f(cos2のセ。へ、れ一士,上,x—1cos20d0(D)—f(cos2のセ。へ、れ一士,上,x—1y—5z+8(3)设有直线ム:一!ーJ--2 1与ノ2：へ・ へ则ム与，2的夹角为2y+z=312(B)y(D)1(B)y(D)1呜(4)设曲线积分("(。ービ］sinydx-/(x)cosydy与路径无关,其中/(x)具有一阶连续导数,且，(0)=0,则，(X)等于e-e(A)—--2e-e(A)—--2e+e。1-X-1.e+e(D)l——e+e。1-X-1.e+e(D)l———2-X(5)已知Q=,P为三阶非零矩阵,且满足PQ=0,则(A"=(A"=6时P的秩必为1(B”=6时P的秩必为2(C"w6时P的秩必为1 (D/w6时P的秩必为2三、体题共3小题,每小题5分,满分15分)2 1(1)求lim(sin—+cos—)一刀・ x x(2)求j/ハ=dx.(3)求微分方程ドブ+り=ザ,满足初始条件yk】=1的特解.四、(本题满分6分)计算2xzdydz+yzdzdx-z2dxdy,其中X是由曲面z=y/x2+y2与z=y)2-x2-y2所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数オーD"面ー〃+】)的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分!0分)(1)设在[0,+8)上函数八为)有连续导数,且f'M>k>0,f(0)<0,证明y(%)在(0,+8)内有且仅有一个零点.(2)设ー>a>e,证明a”>ba.七、(本题满分8分)已知二次型y(X],x2,x3)=2x；+3x；+3x；+2ax2》3(。>0)通过正交变换化成标准形/=娟+2父+5す,求参数a及所用的正交变换矩阵.ハ、(本题满分6分)设A是〃xm矩阵,B是〃?x〃矩阵,其中n<m,\是〃阶单位矩阵,若AB=I,证明B的列向量组线性无关.九、(本题满分6分)设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(-1,0)与A同时出发,其速度大小为2n,方向始终指向ん试建立物体8的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)•批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽ー个,抽出后不再放回,则第/