2022年秋高中数学第三章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程课后习题新人教A版选择性必修第一册

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11.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求实数λC级学科素养创新练12.已知P为抛物线x2=12y上一个动点,Q为圆(x-4)2+y2=1上一个动点,则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值是()A.4 B.3 C.2 D.1

3.3.1抛物线及其标准方程1.D抛物线y=1ax2的标准方程为x2=ay,其准线方程为y=-a4,又抛物线准线方程为y=1,得1=-a4,解得2.AC若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),又因为抛物线经过点P(4,-2),所以(-2)2=2p×4,解得p=12所以抛物线的方程可以为y2=x.若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),又因为抛物线经过点P(4,-2),所以42=-2p×(-2),解得p=4,所以抛物线的方程可以为x2=-8y.3.C如图,易知F14,0,准线l的方程为x=-14.过A作AA'⊥l,垂足为A',则|AF|=|AA'|,即54x0=x0+p2=x0+14,∴x04.C易知抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),∴抛物线的准线方程l:y=-1.又点A的坐标为(2,0),∴直线AF的斜率k=0-12-0=-12.如图,过点M作MG⊥l在Rt△MNG中,易知tan∠MNG=-k=12∴|MG||NG|=∴|MN|=|MG|∴|FM|∶|MN|=1∶5.故选C.5.44在双曲线C:x23-y2=1中,a2=3,b2∴c2=a2+b2=4,即c=2,因此焦距2c=4.∵双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,∴在抛物线y2=2px(p>0)中,p2=c,即p=46.D由题意知,直线C1D1⊥平面BB1C1C,则C1D1⊥PC1,即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离,那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离,所以点P的轨迹是抛物线.7.C如图,分别过A,B作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,由抛物线的定义知:|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°,连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过F作FF1⊥AA1于F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于K,则|KF|=|A1F1|=12|AA1|=12|AF|,即p=∴抛物线方程为y2=3x.8.C过点Q作QQ'⊥l于点Q',如图.∵FP=4FQ,∴|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点F到准线l的距离为4,∴|QF|=|QQ'|=3.9.AD抛物线化成标准方程形式x2=8y,可得其开口向上,焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2.10.3设P(x,y),可得y2=2x,圆M:(x-1)2+y2=1的圆心M(1,0),半径为1,连接PM,如图所示,|PB|=|PM(x-即|PB|为点P到y轴的距离.抛物线的焦点为F12,0,准线方程为x=-12,可得|PA|+|PB|=|PA|+|PF|-12.过点A可得A,P,K三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值|AK|=72,即有|PA|+|PB|的最小值为311.解(1)直线AB的方程是y=22x-p2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,故x1+x由抛物线定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即p=4.故抛物线的方程为y2=8x.(2)由(1),得p=4,代入4x2-5px+p2=0,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,则y1=-22,y2=42.故A(1,-22),B(4,42).设OC=(x3,y3)=(1,-22)+λ(4,42)=(1+4λ,-22+42λ),又y