常微分第三章课件

第三章高阶常微分方程本章主要内容1.高阶线性微分方程解的性质与构成(n阶)齐线性(微分)方程通解的构造(特解如何构成通解的).非齐线性方程通解如何构成.2.解的求法常系数线性方程：四种求解方法.变系数齐线性方程：幂级数法(以二阶为例，可扩充).3.一般高阶方程的降阶手段——线性微分方程的一般理论

§3.1线性微分方程的一般理论讨论非齐线性方程和它对应的齐线性方程它们的初始条件是定理1定理2(叠加原理)也是(4.2)的解.定理3Wronsky行列式此定理不可逆.若这n个函数是方程(4.2)的n个解，则

注

由下面定理4知，它这时可逆.对于非齐线性方程我们首先有两个简单的性质：性质1性质2方程(4.1)的任意两个解之差必为方程(4.2)的解.定理7(非齐方程通解结构)是方程(4.1)的某一解，则方程(4.1)的通解是方程(4.1)的通解具有形式解组则(4.2)的通解是由于方程(4.1)与(4.2)关系密切，我们希望非齐线性我们有定理8

方程组非齐线性方程的常数变易法解出的积分得代入(4.16)，得非齐线性方程(4.1)的通解程的基本解组是cost,sint.解用常数变易法.令通解形式解得积分得代入上面，得通解例1解出于是代入通解形式，得原方程通解1.实变量复值指数函数的定义：可推出2.实变量复值函数极限定义：连续定义：4.2.1实变量复值函数——预备知识导数定义：5.结论实变量复值函数的极限、连续、导数定义用其实部、虚部的实定义；实变量复值函数导数的运算规则与实变量实值函数完全类似；实变量复值指数函数具有与实值指数函数相应的运算性质.定理9若齐线性方程(4.2)中所有系数是它的复值解，则定理10非齐线性微分方程和的解.4.2.2常系数线性方程的解法Ⅰ.求常系数齐线性方程通解的特征根法Ⅱ.求常系数非齐线性方程特解的比较系数法Ⅲ.Laplace变换法Ⅰ.求常系数齐线性方程通解的特征根法这时，方程为我们有理由希望它有指数函数形式的解代入方程，有的根.这个方程称为(4.19)对应的特征根.特征方程,它的根称为1特征根是单根的情形.

它们是线性无关的，从而组成方程的基本解组.这时，若根成对出现)，它们对应方程(4.19)的两个实值解2特征根有重根的情形.个线性无关的解若其它的特征根方程(4.19)还有解它们一共n个解,是线性无关的,构成了(4.19)的基本解组.也是k重复根，我们将用以下的2k个实值解来替代：即求得特征根故通解为例3解特征方程是特征根是故通解为欧拉方程可经变换化为常系数齐线性方程.例4解且有［附］Ⅱ.求常系数非齐线性方程特解的比较系数法讨论方程在实际应用中最广泛而常见的右端函数是数是m.注意，这时代数方程(4.20)仍然称为(4.32)对应的特征方程.1.式代入方程，用比较t的同次项系数来确定.解对应的特征方程是2.方程(4.32)有如下形式的特解例5解特解形式为这是最重要的一步，其余略.解特征方程为式为其余步骤略.例7例6解法一不是特征根.故特解形式为代入原方程，化简得例8通解是解法二因为右端函数应用定理10的结论，先求方程的复值特解，再取其实部，就是原方程的解.特解形式为例9质点振动(单摆的振动方程)我们分下面四种情形来讨论：1无阻尼自由振动2有阻尼自由振动3无阻尼强迫振动4有阻尼强迫振动它的特征方程为若取1无阻尼自由振动则通解可写成这时单摆的运动以正弦函数描述，是t的周期函数，称为为圆频率.特征方程是特征根是方程有不同形式的解.（1）2有阻尼自由振动这时方程的通解为这时，摆的运动是一种衰减的振动，“振幅”是绝对值随t

实根.方程的通解为这是不起振的衰减运动，图形如下：这时方程的通解为这也不起振的衰减运动，图形如上类似.或方程有特解形如方程的通解是(1)3无阻尼强迫振动它由两部分组成：第一部分是系统的无阻尼固有振动，第二部分是外力引起的强迫振动；后者在外力圆频率p愈接代入方程，比较同类项系数，得这时，方程的通解是(2)共振现象.形式代入方程，比较同类项系数求得M和N，代入上式，再写成更具物理意义的故通解为4有阻尼强迫振动这个式子说明，摆的运动由两部分叠加而成：第一部分是有阻尼的自由振动，是系统本身的固有振动，它随时间的增长而衰减；第二部分是外力引起的强迫振动，振动频率与外力的一样，振幅不随时间增长而衰减，称为“长期项”.我们可以研究外力的圆频率p取什么值时，所引起需讨论p取何值时，函数达到最小值.结论是：只要频率p称为共振频率，所产生的现象也叫共振现象.Ⅲ.Laplace变换法

1

定义定义域原函数，象函数反过来拉氏反变换.拉氏变换，可表示为例10解(见拉氏变换表).2

基本性质(1)拉氏变换线性性质：(2)原函数的微分性质：(3)拉氏反变换的线性性质：例11求方程解因此解为例12解反查表将问题化为再取拉氏变换反查拉氏表，可得再回到自变量t，得所要求的解例13解由分解式得故反查表得前一项是非齐线性方程的特解,后两项是齐线性方程的通解.这些例子表明，拉氏变换法的特点是：1。依靠拉氏变换表，把解线性微分方程的积分运算转化为代数运算；2。可一次性求出指定初始条件的特解；3。也可求解常系数线性微分方程的通解.4.2.3求变系数齐线性方程特解的幂级数法我们以二阶变系数齐线性方程定理11例14解初始条件，使解的展开式中因此可设解的级数形式为则将它们代入原方程，合并x的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到解得即这就是所要求的解.例15求解方程解这虽是一阶方程，也可沿用定理11所提供的理论依据，但有两点不符合条件：(1)写成令则程组，决定§3.3一般高阶方程的的降阶手段一般的n阶高阶方程没有一般性的求解方法，但我们如果能把它的阶数降下来，就增加了求解的可能性.下面我们介绍三种可降阶的情形：2方程不显含自变量t，呈形状3齐线性变系数方程若已知它的k个线性无关的特解，可通过一系列同类型的变换，使方程降低k阶，而仍保持齐线性性质.1这时，只要令若能得它的通解例1解积分得于是2方程不显含自变量t，呈形状阶方程例2解或积分后得所以例3第二宇宙速度的计算火箭能克服地球的引力，到外空间绕其它星球运行所需的最小发射速度,称为第二宇宙速度.它是如何计算的?解以M和m分别表示地球和火箭的质量，r表示地球的中心到火箭重心间的距离；把火箭发射近似比作物体上抛运动.由牛顿万有引力定律，有由牛顿第二定律，有两者联系起来，考虑加速度是负的，得或解得代入初始条件，定出故解为任意小，