自动控制原理总结之判断系统稳定性方法

判断系稳定性的方法一、稳定性判据（时域）1、赫尔维茨判据系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正;将系统特征方程各项系数排列成如下行列式；当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即an1an1an1anan1an0an3an2an3an2an1an5an4an3则方程无正根，系统稳定。赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。例；若已知系统的特征方程为s例；若已知系统的特征方程为s4 8s3〔Ss216s试判断系统是否稳定。解：系统特征方程的各项系数均为正数。根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。由△得各阶子行列式；810根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。由△得各阶子行列式；81001618810516188161188161181280TOC\o"1-5"\h\z8 16 01 18 5 1728 00 8 168690 0各阶子行列式都大于零，故系统稳定2、 劳思判据劳思判据充要条件:A、 系统特征方程的各项系数均大于零，即a>0;B、 劳思计算表第一列各项符号皆相同。满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。劳思计算表的求法：A列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行，即:nsanan2an4an6n1s珀1an3an5an7n2sb1b2b3b4n3sGC2C3C42sU1U21sV10swB、计算劳思表CiC3bACiC3bA7anib4bianian2anan3anianian4anan5anianian6anan7anibib2系数bi的计算要一直进行到其余的bi值都等于零为止。用同样的前两行系数交叉相乘，再除以前一行第一个元素的方法，可以计算c,d,e等各行的系数。C2didicib2 b©Ci劳思判据的两种特殊情况A、 劳思计算表第一列出现零的情况因为不能用零作为除数，故第一列出现零时，计算表不能继续排下去。为解决该问题，其办法是用一个小的正数£代替0进行计算，再令£—0求极限来判别第一列系数的符号。B、 劳思计算表中出现某一行各项全为零的情况此时，劳思表将在全为零的一行处中断，其解决办法是将不为零的最后一行的各项组成一个“辅助方程式”，将该方程式对s求导数，用求得的各项系数代替原来为零的各项，然后按劳

思计算表的写法继续写完以后各项，对称根可由辅助方程求得。例1：已知系统特征方程为s5 2s4 3s3 6s2 2s1 0判别系统是否稳定，若不稳定，求不稳定根的数目角军：根据特征方程可知，其各项系数均为正。列写劳思计算表并计算得:当£时,3当£时,3，2故第一列有两次变号，系统特征方程有两个正根，系统不稳定例2:已知控制系统的特征方程为s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s16 0试判定系统的稳定性。解:根据系统的特征方程可知，其各项系数均为正。6s1820165s(21216)5s168列与劳思计算表并计算得：s4(21216)4s1683s00因s3行各项全为零，故以s4行的各项作系数，列写辅助方程如下:

Ass4 6s2 8将A(s)对s求导，得:d

dsAs4d

dsAs4s3 12s再将上式的系数代替s3行的各项系数，继续写出以下劳思计算表:s1820165s1684s1683s(412)3s132s3811s30s8从劳思表的第一列可以看出,各项均无符号变化，故特征方程无正根。但是因s3行出现全为零的情况，故必有共轭虚根存在共轭虚根可通过辅助方程求得s4 6s2 8 0其共轭虚根为s1，岳；%42j，这四个根同时也是原方程的根，他们位于虚轴上，因此该控制系统处于临界状态，系统不稳定。二、根轨迹法(复域)系统稳定的充要条件：所有的闭环极点都在S平面的左半平面。例：已知系统的开环传递函数为；；厂,二nJ—匕，试应用根轨迹法分析系统的稳定性。解：MS)= =冠R(K*=2k)做根轨迹：有三条根轨迹(n=3m=0n-m=3)实轴上〔0,-1〕(-2,-8)为根轨迹段

渐近线的夹角与坐标:±60°,180°Loa=(2k+1)托±60°,180°Loa=n-m=-1分离点坐标d:解得d1=d2=(舍去)因为d2不在根轨迹上与虚轴的交点坐标:D(S)二十3S?+更+K令S=jw代入到式中得：Sjw)二(jw)3+3(jw)2+2(jw)+K故肌二0川2二土1「114，的二土1”414,K*二6,K二3根轨迹图如下所示:三、频率特性1、奈氏判据(奈奎斯特判据)Z=P-2N系统稳定时Z=0由开环传递函数在S平面的极点个数P,奈氏曲线绕

(-1,j0)的圈数N,得到闭环传递函数在S平面的极点的个数ZP通过G(S)可知N:顺时针为负，逆时针为正当VM0时，需要做增补线W:Of0+从幅相曲线w二o+位置开始沿逆时针方向画vX90°的圆弧增补线(理论半径为)计算圈数时要包括所画圆弧的增补线在内。例：某单位负反馈系统的开环传递函数为G(S)二吊匕试用奈氏判据判别闭环稳定性。解：W刁幅值趋于0,相角趋于-270°。N=-1,P=0,Z=P-2N=2故闭环系统不稳定。2、2、对数频率判定系统稳定性在截止频率之前，在对数幅频曲线L(W)>0.对应的频率范围对应的相角是否穿越-180°在V0/r