概率论与数理统计 - 第二章 随机变量及其分布

沈阳大学教案课程名称：工程数学——概率论与数理统计编写时间：2006年9月20日第次第PAGE1页授课章节第二章随机变量及其分布目的要求理解离散型和连续型的随机变量。重点难点理解不同形式随机变量的分布。§1随机变量在第一章里，我们主要研究了随机事件及其概率，大家可能会注意到在随机现象中，有很大一部分与实数之间存在着直接的联系。例如，在产品检验问题中，我们关心的是抽样中出现的废品数；在车间供电问题中，我们关心的是某时期正在工作的车床数；在电话问题中关心的是某一段时间内的话务量等。对于这类随机现象，其试验结果显然可以用数值来描述，并且随着试验的结果不同而取不同的数值。还有些初看起来与数值无关的随机现象，但也能人为地建立与数值的联系。比如，在投硬币问题中，每次实验出现的结果为正面或反面，与数值没有联系，但我们可以通过指定数“1”代表正面，“0”代表反面，为了计算n次投掷中出现的正面就只须计算其中“1”出现的次数了，从而使这一随机试验的结果与数值发生联系。这就说明了，不管随机试验的结果是否具有数量的性质，我们都可以建立一个样本空间和实数空间的对应关系，使之与数值发生联系。为了全面的研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念。定义：设随机试验E的样本空间为，是定义在S上的单值实函数，称为随机变量。定义表明随机变量是样本点e的函数，定义的方法，有时是直接的，当样本点e本身就是数量时，有，如掷色子观察出现的点数，有、、…、；有时是人为的，当样本点e本身不是数量时，可人为规定，如抛硬币观察出现正反面情况，规定。为方便起见，通常简记为X。建立了随机变量概念，我们要研究它的取值规律，即分布律。如掷色子观察出现点数的模型，定义，它的分布律是：X123456P1/61/61/61/61/61/6有了这个分布律，一切有关出现点数的随机事件，其概率都可借助这张表计算出来，如A=“掷出偶数点”，则。随随机变量的取值方法不同，描述它分布律的方式也不一样。为此，我们将随机变量分为两种类型：离散型和连续型，进而给出描述它们分布律的方法。§2离散型随机变量及其分布律离散型随机变量X是指它只能取到有限个或可列个值。记X可取x1、x2、…、xk、…，以及取到各个值的概率：（k=1、2、……），或列表如下Xx1x2…xk…Pp1p2…pk…称此表或为离散型随机变量X的分布律。作为分布律pk，需满足以下两个条件：1°非负性，k=1、2、……；2°归一性。例1设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯都以1/2的概率允许或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时它已通过信号灯的盏数（每盏信号灯工作彼此独立），求X的分布律。解：以p（0<p<1）表示汽车在每盏信号灯前禁止通过（红灯）的概率，依题意知，X可取0、1、2、3、4，采用如下方法计算它取到每个值概率，令Ai=“汽车在第i个信号灯前停车”，则，i=1、2、3、4，这样，，，，。或列表：X01234Pp(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4显然，它满足非负性，至于归一性是因为当，则X的分布律是X01234P1/21/41/81/161/16一般地说，交通岗上信号灯的转换彼此间是独立的，也就是一辆汽车在这个岗口等到绿灯通过后，到达下个岗口遇到什么信号与上个信号无关。而沈阳青年大街上的几个信号灯的信号转换彼此受到约束，这使得汽车在这个街的入口岗口等到绿灯通过后，并按正常的速度行驶，则在其余各个岗口均遇到绿灯。这就是青年大街的绿灯工程。例2将一枚硬币抛三次，以X表示出现正面的次数，求X的分布律。解：H—“正面”，F—“反面”，则样本空间是，依题意知，X可取0、1、2、3，相应的概率列表如下：X0123P1/83/83/81/8例3掷一枚色子，以X表示出现的点数，求X的分布律。解：样本空间是，所以X123456P1/61/61/61/61/61/6下面介绍三种重要的离散型随机变量。（一）（0--1）分布设随机变量X只可能取到两个值0和1，并且它的分布是、（0<p<1），则称随机变量X服从（0--1）分布或两点分布。它也可列表如下：X01P1-pp对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即，则总能在S上定义一个服从（0--1）分布的随机变量来描述这个随机试验的结果。（二）贝努利试验、二项分布只有两个结果A和的试验E称为贝努利试验，记。将贝努利试验E独立地做n次，称此一系列试验为n重贝努利试验。在n重贝努利试验中，用X表示事件A发生的次数，它所有可能取到的值是0、1、2、…、n，用k表示其中的任意值，则事件，所以它的分布律为k=0、1、2、…、n。我们称此分布律为二项分布，记作。下面证明（k=0、1、2、…、n）满足非负性和归一性，非负性显然，至于归一性，令，有二项分布具有广泛的实际背景，事实上，如果试验E只有两个结果A和，将E独立做n次，那么A发生的次数X服从二项分布，其中。例4某人向一目标独立射击400次，假设每次击中目标的概率是0.02，试求他至少击中目标两次的概率。解：一次射击只有两个结果：“击中目标—A”和“未中目标—”，因此，它可以看成是贝努利试验。独立射击400次就是400重贝努利试验，击中目标的次数，这里。事件“至少击中目标两次”=，所以例5设有80台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能用一人修理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是配备4个维修工人，每人负责20台；其二是配备3个维修工人，同时负责80台。试比较两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率。解：在任意时刻，一台设备有两种状态：出故障和工作正常，因此一台设备可以看成贝努利试验E。按第一配备维修工人方案，以Xi表示第i人维护的20台设备中同时发生故障的台数，则，并且第i人不能及时维修设备的事件是，以及i=1、2、3、4。所以，按第一配备维修工人方案，存在有故障的设备不能及时维修的概率是按第二配备维修工人方案，以X表示3人共同维护的80台设备中同时发生故障的台数，则，并且在同一时刻存在不能及时维修设备的事件是，并且由此可见，第二配备维修工人方案明显好于第一配备维修工人方案，不仅所用工人少，而且效率高。（三）泊松分布设随机变量X所有可能取到的值是0、1、2、…，并且取到各个值的概率为：，k=0、1、2、…，这时我们称X服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，记做。归一性：现实生活中有许多随机变量服从泊松分布，例如，电话交换台一分钟内接到呼叫的次数，一本书中一页出现的印刷错字的个数，某医院一天内急诊的患者数，某城市一天内的交通事故数等等，都服从或近似服从泊松分布。§3随机变量的分布函数有些随机变量的取值不能一一列出，或者说用表达它的取值规律没有实际意义。例如，一支灯泡的寿命X是随机变量，它所有取到的值为[0，+∞），但任取x∈[0，+∞），都有，这里要强调的是，数学上说的等式是分毫不差的。而对于这样的随机变量，我们更关心的是X落入一个区间的概率。如果我们规定灯泡的寿命超过500小时为合格品，自然我们就要考虑的概率，即。为了描述这样的随机变量的取值规律——分布，本节给出分布函数的概念。定义设X是随机变量，任取x∈R，是一个随机事件，它的概率有实际意义，可以理解与x有关，因而构成x的函数，记这个函数为，即，称此函数为随机变量X的分布函数。分布函数的性质：1°是x单调不减函数任取，则，因而。|x1|x1|x22°是有界函数，且，3°是右连续的，即。例1设随机变量X的分布律为X-123P1/41/21/4求X的分部函数以及、、。解：因为X只取-1、2、3，而在其它不取值，因而当x<-1，事件为不可能事件，所以；当-1≤x<2，事件，所以；当2≤x<3，事件，所以；当3≤x，事件，所以。综合上述得，图形如下F（x）••••••-123x，，。例2一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶。以X表示弹着点与圆心的距离，求X的分布函数。解：当x<0时，事件为不可能事件，所以；当0≤x≤2，依题意，k为比例常数，取x=2时，，所以k=1/4。当2<x，事件是必然事件，。综合上述得，图形如下的导数记为，则。称f（x）为随机变量X的密度函数。§4连续型随机变量及其概率密度有些随机变量所有取到值的个数不能一一列出，比如取在某个区间I内的所有实数，这样的随机变量不能象描述离散型随机变量的分布律的方式描述它的取值规律。事实上，如果随机变量X的所有取值构成一个区间I，那么对于任意的x∈I，事件是没有实际意义（），而对于任意的区间（a，b]∈I,事件有现实的意义，下面借助分布函数F（x）探讨描述的方法。我们知道，在高等数学中，牛顿—莱布尼茨公式：，因此有。这样，随机变量X落入区间（a，b]的概率可以由一个函数f（x）在这个区间上的积分确定，称f（x）为概率密度。这就是描述这种随机变量取值规律的方法—密度函数法，我们称这种随机变量为连续型随机变量。对于密度函数f（x）有如下性质：1°非负性f（x）≥0，x∈（-∞，+∞）。（如果存在f（x0）<0，则存在包含x0的区间（a,b]，使得，导致错误）2°归一性。密度函数的非负性、归一性的几何意义如下：的几何意义如下：3°X的分布函数与X的密度函数，有。再由高等数学知识可得，对于的连续点有。的几何意义如下：对于连续型随机变量X，因为，所以。例1连续型随机变量X的密度函数为，求（1）常数c，（2）。解：（1）由归一性得c=3。（2）。下面介绍几个重要的连续型随机变量（一）均匀分布如果随机变量X的概率密度为则称X在（a，b）上服从均匀分布。如果X在（a，b）上服从均匀分布，那末,对于任意满足的，应有该式说明取值于（a，b）中任意小区间的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的具体位置无关。这就是均匀的含义。均匀分布的随机变量，其分布函数为。例2设电阻值R是一个随机变量，它均匀分布在（二）指数分布如果随机变量X的概率密度为则X称服从参数为λ的指数分布。指数分布也被称为寿命分布，如电子元件的寿命，电话通话的时间，随机服务系统的服务时间等都可近似看作是服从指数分布的。3.正态分布如果随机变量的概率密度为；其中为常数，则称服从参数为的正态分布(Normaldistribution)，记为.由高等数学可知，eq\o\ac(○,1)当/