上海市松江区2019-2020学年度第一学期期末质量监控试卷数学试卷(含答案)

13松江区2019学年度第一学期期末质量监控试卷

高三数学(满分150分，完卷时间120分钟)2019．12考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，做在试卷上一律不得分。2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，第1〜6题每个空格填对得4分，第7〜12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．TOC\o"1-5"\h\z1.已知集合A二｛xIx-120｝,B二｛0,1,2｝,则AQB=▲・3兀2•若角a的终边过点P(4,-3)，则sin(—+a)=▲.23•设z=-一-+2i，则IZ=▲.1+i(24.x2+一的展开式中x4的系数为▲.<x丿5.已知椭圆亍+亍=1的左、右焦点分别为F-、F2,若椭圆上的点P满足PF=2PF，则5.PF=▲.16•若关于x,y的二元一次方程组｛mx+my二m+2无解，则实数m=_▲_7.已知向量a=(1,2),b=(m,-3)，若向量(a-2b)〃b，则实数m=▲▲8•已知函数y=f(x)存在反函数y=f-1(x)，若函数—►—►▲y=f(x)+2x的图像经过点(1，6)，则函数y=f-1(x)+logx的图像必过点▲29.在无穷等比数列｛a｝中,若lim(a+a+nns12a的取值范围是▲.1ax+bio•函数y=的大致图像如图，若函数图像经过cx+d(0,-1)和(一4,3)两点，且x=-1和y=2是其两条渐近线，则a:b:c:d=

TOC\o"1-5"\h\z11.若实数a,b>0，满足abc=a+b+c,a2+b2=1，则实数c的最小值为▲.12．记边长为1的正六边形的六个顶点分别为A,A,A,A,A,A，集合123456M={aa=AA,(i,j=1,2,3,4,5,6,i丰j)}，在M中任取两个元素m、n，则m-n=0的概率ij为▲•二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.已知l是平面a的一条斜线，直线m=a，贝y(A)存在唯一的一条直线m，使得l丄m(B)存在无限多条直线m，使得l丄m(C)存在唯一的一条直线m，使得l〃m(D)存在无限多条直线m，使得l〃m设x,yeR，则“x+y>2”是“x,y中至少有一个数大于1”的(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件已知b、ceR，若Ix2+bx+cl<M对任意的xe[0,4]恒成立，则(A)M的最小值为1(B)M的最小值为2(C)M的最小值为4(D)M的最小值为8已知集合M={1,2,3,,10}，集合A匸M，定义M(A)为A中元素的最小值，当A取遍M的所有非空子集时，对应的M(A)的和记为S，则S=1010(A)45(B)1012(C)2036(D)9217解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，圆锥的底面半径OA=2，高PO=6，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是BC母线PA的中点.BC(1)求圆锥的侧面积与体积；(2)求异面直线CD与AB所成角的大小(结果用反三角函数表示)．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数f（x）=2\/3sinxcosx-2sin2x.（1）求f（x）的最大值；（2）在AABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（A）=0,b、a、c成等差数列，且AB-AC=2，求边a的长.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车•某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间t、人0的反应时间t、系统反应时间t、制动时间t，相应的距离分别为d、d、d、d•当车速为1230123v（米/秒），且v&[Q33.3时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，ke[Q.5,Q.9]）.■报警距裔；（危险距离窘卜叽.卜一4一廿％*卜也-nm1111阶段0、准备1、人的反应2、系统反应3、制动时间tQt=Q.8秒it=Q.2秒2t3距离d=2Q米Qd1d271d=——v2米32Qk（1）请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式d（v）；并求k=Q・9时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间．（精确到0.1秒）（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时（精确到1千米/小时）？

20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分设抛物线r:y2二4x的焦点为F，经过X轴正半轴上点M(m,0)的直线l交厂于不同的两点A和B.(1)若|F^|=3，求A点的坐标；只有一若存在说明理21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分n已知数列｛a｝满足：①agN(ngN*)；②当n=2k(kgN*)时，a=；nnn2当n丰2k(kgN*)时，a<a.记数列｛a｝的前n项和为S.nn+1nn求a,a,a的值；139若S=2020，求n的最小值；n求证：S=4S-n+2的充要条件是a=1(ngN*).2nn2n+1松江区2019学年度第一学期高三期末考试数学试卷参考答案一、填空题1.{1,2)；2.-4；3.1；4.40；5.4；6.—2；57.——；8.(4,3)；9.(0，3)U(3,3)；10-2：—1:1:1；11.—2\2；12.51；TOC\o"1-5"\h\z233351二、选择题13.B14.A15.B16.C三、解答题17.解：(1)由题意，得OA=2,P0=6,・・・PA=^PO2—OA2=^402分・••圆锥的侧面积为S=兀rl2x2\40=4\40兀；4分6分体积为V=-兀r2h=-兀x22x6=8兀；6分33(2)取PO的中点E,连接DE,CE,则ZCDE或其补角即为所求，如图所示；8分因AOLEO,AOLCO,EO\CO=O矢口，AO丄平面ECO又DE//AO,・・.DE丄平面ECO,：・DE丄EC,:.ADEC是RTA10分由DE=—OA=1,11分CE=\OC2+OE2=22+33=讨'1313分:ZCDE=arctan<13,即异面直线AB与CD所成的角为arctan.14分18.解：(1)f(x)=2*3sinxcosx—2sin2x=£3sin2x+cos2x—1=2sin(2x+)—1…・・・・4分6max6分max6分兀兀兀此时2x+=+2k兀，则x=+k兀,626

兀1(2)由f(A)=0得sin(2A+三)=恳,兀1(2)由f(A)=0得sin(2A+三)=恳,62兀兀兀兀.・・2A+—=+2k兀或2A+—=兀一—+2k兀,(kgZ)6666,兀因0<A<兀A=—9分由b,a,c成等差数列，得2a=b+c,10分AB-AC=2,・・・bccosA=2,・°・bc=4,11分由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,12分a2=4a2-3X4,・a=2．…………14分19.解：(1)由题意得d(v)=d+d+d+d0123.・.d(v)=20+v+^^v2・20k当k=0.9时,d(v)=20+v+18'：20v18t(v)=20+上+1>1+2v18=1+2〔°=3.1(秒)31分3分4分7分(2)根据题意，要求对于任意kg[0.5,0.9],d(v)<80恒成立，9分即对于任意kg[0.5,0.9]，20+v+存2<80即20k601<__恒成立,v2v由kg［0.5,0.9］得丄g［丄丄20k1810—<60一-即v2+10v一600<012分10v2v解得_30<v<20.・・0<v<20(米/秒),13分20x360020x36001000=72(千米/小时)・•・汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时14分20.解：(1)由抛物线方程知，焦点是F(1,0)，准线方程为x=_1,设A(X],y1)，由IFAI=3及抛物线定义知，x1=2，代入y2=4x得y=±2迈所以A点的坐标A(2,2、②或A(2,_2p2)4分2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程是：x=my+2，x=my+2A，消去x得：y2-4my-8=0，由韦达定理得＜y2=4xy+y=4m12yy=-812OA-OB=(x,y)-(x,y)=xx+yy=葺-产+yy="人人)+yy=4-8<0,11221212441216126分故ZAOB恒为钝角，故原点O总在以线段AB为直径的圆的内部.（3）设A（X],y1）,则x1y1#0,因为IFAI=IFMI，则lm-ll=Xi+l，由m〉0得m=x]+2,故M（x]+2,0）.故直线AB的斜率10分因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y=-守X+b，代入抛物线方程2得b=-—y188b6432b得y2+y—=0，由题意a=+—yy11y1y2y1141xE12分c1001S=—xy1AOAE211141x1y1设E（xE，yE）4x——i，则yEy4x1+1

2xy1114分当且仅当訂=x1y2=4x2111y2=4x11所以M点的坐标为M(3,0),由1y1，即y2二4X2时等号成立,得4x2=4x,11解得x1=1或x1舍），15分(S)=2………△OAEmin，且a是自然数，•••a=0；1343<a=8，且agN(igN*),16i16分2分21.解：(1)因a=1，a<a21210<a<a，且a,a都是自然数；/.a=0或a=1；3•••a=0或a=1.……4分99a=2,4a=8，162)a2k340<a<a<910=2k-1(kgN*)，当2k-1<n<2k(n,kgN*)时,3分0<a<a<a2k-1+12k-1+22k-1+3<<a=2k-1，由于agN，2kn所以a=m—1或m,m=1,2,3,,2k-i-1.6分2k-1+m...(s)=(0+1)+(1+2)+(1+2十・3+4)+(1+2++8)+(1+2++16)64max+(1+2++32)=1+也+注=71422(S)=714+64X65=2794128max271火202:0279.64<n<128又2020-714=1306,1+2+3++50=1275<1306<1+2+3++50+51=1326所以n=64+51=115………min(3)必要性：若S=4S-n+2…2nn则：S=4S-2n+2①2n+12nS=4S-(2n+1)+2②2n+1+22n+1①-②得：a+a=4a-1(ngN*)③2n+1+12n+1+22n+1Pa=0Pa=1Pa=0由于s2n+1+1j,或s2n+1+1,或S2n+1+1，且a=0,或1Ia=1Ia=2Ia=22”+12n+1+22n+1+22n+1+2只有当a=1,a=1,a=2同时成立时，等式③才成立2n+12n+1+12n+1+28分10分11分.a=1(ngN*)………1