2022年福建省厦门市普通高中高考数学必刷试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷含解析注意事项10．5请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．2B052B一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知P与Q分别为函数2xy60与函数yx21的图象上一点，则线段|PQ|的最小值为( )6A．5

B．5 C．655

D．62．某地区高考改革，实“3+2+1”模式，“3”指语文、数学、外语三门必考科目指在物理、历史两门科目中必选一门指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科则一名学生的不同选科组合有（ ）A．8种 B．12种 C．16种 D．20种3．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才式出现如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A．542B．582C． 54216π D． 58216π一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则几何体的体积为（ ）A．433

B．43 C．233

D．23xOyE:x2y2b0)FF到直线2bxay0的距离为2c，则E的离心率为( )2

a2 b2A． 3 B．12 223已知AB是过抛物线y24x焦点F的弦，O是原点，则OAOB（ ）A．－2 B．－4 C．3 D．－37．已知函数f(x)2cosx0)在,上单调递增，则的取值范围（ ）2,2

0,2

3 322 A．3

B．

3

C．3,1

D．(0,2]用数学归纳法证明

，则当

时，左端应在 的基础上加上（ ）A． B．C． D．201920161.220162019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.2016年相比，2019年不上线的人数有所增加2016年相比，2019年一本达线人数减少2016年相比，20190.3D．20162019年艺体达线人数相同f(x)exMNyxg(x)ax2的图象上，则a的取值范围是（ ）A．,e

B．(,e) C．0,e

D．(0,e)22 22 在 ABC中，BD1DC，则2 AD1AB3AC4 4C．1AB+2AC3 3

=（ ）2 1B． AB+ AC3 3D．1AB2AC3 3中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如所示（单位：寸，若取，当该量器口密闭时其表面积为42.（平方寸，则图中x的值为( )A．3 B．3.4 C．3.8 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。Cy22px（p0）FlCA，BABN且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若MN 3AB，则l的斜率为 .3所有顶点都在球O的表面上若球O的表面积为,则该三棱柱的侧面积为 ．已知圆柱的上下底面的中心分别为OO，过直线O

的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形，则该圆柱的体积为

1 2 12已知数列满足：点

在直线2xy10上，若使a、a、a

构成等比数列，则m n n 1 4 m 17（12分）已知数列a的前n项和为n（1）求数列a的通项公式；n

，2San n

1nN*.（2）若c 1 1

T为数列的前n项和.

2n1.n 1an

1a

n n n 3n118（12分）如图，三棱柱ABA1BC1中，侧面BCB1AB=CB1=3，点A在平面BC11上的投影为棱BB1的中点E．ACC1A1为矩形；E-B1C-A1的平面角的余弦值．19（12分）已知函数f(x)lnxax2(ab1)xb1(a,bR).（1）若a0，试讨论f(x)的单调性；（2）若0a2,b1x

1 1为方程f(x)max2的两不等实根，求证：

42a.12 x x1 220（12分）惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式（）卫（）（）（）（）（）作息规律状况类经过数据整理，得到下表：卫生习惯状况类垃圾处理状况类体育锻炼状况类心理健康状况类膳食合理状况类作息规律状况类有效答卷份数380550330410400430习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；备两类良好习惯的概率；1”k0”表示任选一位第k kk类受访者不是习惯良好者（k1,2,3,4,5,6）.的大小关系.1 2 3 4 5 621（12分如图，ABC内接于圆AB是圆ODCBEDC平面AB，AB4，EB23．DEACD；ACx，VxB-ACE的体积，求函数Vx的解析式及最大值．x13t 22（10分）已知直线l y 2

（t为参数，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2cos.4 4 求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；P(1,2)，直线l与曲线CB两点，求|AB||PA||PB|的值.参考答案125601．C【解析】利用导数法和两直线平行性质，将线段|PQ|的最小值转化成切点到直线距离.【详解】已知P与Q分别为函数2xy60与函数yx21的图象上一点，可知抛物线yx21存在某条切线与直线2xy60平行，则k2， 设抛物线yx21的切点为x,x21，则由y2x可得2x2，0 0 0x1，所以切点为(1,2)，0则切点(1,2)到直线2xy60的距离为线段|PQ|的最小值，则|PQ|

|2126| .565min 5565故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力.2．C【解析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.【详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有C1C212种组合；24若一名学生物理和历史都选，则有C14种组合；4因此共有12416种组合C【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.3．C【解析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.【详解】最上面圆锥的母线长为22，底面周长为2π24π，侧面积为1224π42π，下面圆锥的母线长为25，22底面周长为2π48π1258π85π，没被挡住的部分面积为π42π2212π，中间圆柱的侧面积为2π214π.故表面积为854216，故选C.2【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.4．B【解析】由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积．【详解】由题意原几何体是正三棱柱，V故选：B．【点睛】

12344 ．323本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．5．A【解析】由已知可得到直线【详解】

2bxay

的倾斜角为45

1，再利用a2b2c2即可解决.，有2，有2bF到直线2bxay0的距离为2

，得直线2bxay0的倾斜角为452b1，c a即4a2c2

a2，解得e .323故选：A.【点睛】本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于a,b,c的方程或不等式，本题是一道容易题.6．D【解析】y2 y2 A

1,y，B

2,y

ABxmy1y

4，计算4 1 4 2 12OAOAOB1 2yy2 216 1

得到答案.【详解】y2 y2 y2y2A

1,y，B4 1

2,y4

，故OAOB2

1 2yy.16 12xmy1易知直线斜率不为0，设AB：xmy1，联立方程 ，OAOBOAOB1 2yy2 2y24my40yy12

4，故

yy16 1

3.D.【点睛】xmy1.7．B【解析】由πxπ,可得ππxπππ,结合ycosx在[π,0]上单调递增,易得3 2 3 3 3 2 3ππππ[π,0],即可求出的范围.3 32 3【详解】πxπ,可得ππxπππ,3 2 3 3 3 2 33 x0时,f(0)2cosπ而0ππ,3 32ycosx在[π,0]上单调递增π[π,0],3πππ3 3

2π ππ π

π π 2 2所以 ,

[π,0],则

0

,即 ,故0 .3

32 3

2 3 3 3

0故选:B.【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.8．C【解析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1= 时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．【详解】当n=k时，等式左端=1+1+…+k1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了项（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故选：C．【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./9．A【解析】设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为1.2x，通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.【详解】20162019年高考人数为1.2x，2016年高考不上线人数为2019年不上线人数为1.2x0.280.336x0.3xA正确；2016年高考一本人数0.3x，2019年高考一本人数1.2x0.260.312x0.3x，故B错误；2019年二本达线人数1.2x0.40.48x，2016年二本达线人数0.34x，增加了0.48x0.34x0.41倍，故C错误；0.34x2016年艺体达线人数0.06x，2019年艺体达线人数1.2x0.060.072x，故D错误.故选：A.【点睛】本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.10．D【解析】由题可知，可转化为曲线g(x)ax2与ylnx有两个公共点，可转化为方程ax2lnx有两解，构造函数2lnxh(x)x【详解】

，利用导数研究函数单调性，分析即得解f(x)exMNyxylnx上，即曲线g(x)ax2与ylnx有两个公共点，即方程ax2lnx有两解，2lnx即a

有两解，x2lnx令h(x) ，x则h(x)1lnx，x2则当0x1时，h(x)0；当x1时，h(x)0，e e故x1时h(x)取得极大值h1e，也即为最大值，e ex0h(x)xh(x0，所以0ae满足条件．故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.11．B【解析】在AB,AC上分别取点E、F,使得AE2EB,AF1FC,2可知AEDF为平行四边形，从而可得到ADAEAF2AB1AC，即可得到答案．3 3【详解】如下图，BD1DC，在AB,AC上分别取点E、F,使得AE2EB,AF1FC,2 2则AEDF为平行四边形，故ADAEAF2AB1AC,故答案为B.3 3【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．12．D【解析】根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数.【详解】由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为x,3,1和一个底面半径为1，高为5.4x的圆柱组合而成.2该几何体的表面积为2x3x35.4x42.2，x4，故选：D.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题.3452013．3【解析】33分别过作抛物线的准线的垂线垂足分别为A，N根据抛物线定义和MN33从而求得直线l的倾斜角.

AB求得MNN，【详解】A，B，NABNAFBF，3312NN1AABB ABMN33122

AB所以NN MN所以MNN30即直线MN32的倾斜角为，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为60，k 3.32AB3故答案为：3【点睛】此题考查抛物线的定义，根据已知条件做出辅助线利用抛物线定义和几何关系即可求解，属于较易题目.14．36【解析】只要算出直三棱柱的棱长即可，在OOA中，利用OA2OO2OA2即可得到关于x的方程，解方程即可解决.1 1 1【详解】R2R1x，则OA1

7，如图所示，设底面等边三角形中心为O1，1113 x，OO x，故OA2OO2OA2R27，1113 2x2 x2即3

7x23，故三棱柱的侧面积为3x236.36.【点睛】1554【解析】由轴截面是正方形，易求底面半径和高，则圆柱的体积易求.【详解】解：因为轴截面是正方形，且面积是36，所以圆柱的底面直径和高都是6Vr2h32654故答案为：54【点睛】考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题.16．13【解析】根据点在直线上可求得a，由等比中项的定义可构造方程求得结果.n【详解】a2xy10上，a2n1，n na,a,a1 4 成等比数列，a,a,a1 4

，即8132m1，解得：m13.故答案为：13.

4 1m【点睛】本题考查根据三项成等比数列求解参数值的问题，涉及到等比中项的应用，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 a1n 217（）3n3

（

）证明见解析【解析】1

S,n1

.（）利用 1

求得数列

的通项公式n SS ,n2 n（2）先将cn

n缩小即cn

n1213n

1，由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立.3n1【详解】（1）∵2S

1nN

n1，得

1.

n1

nan1

n1n2，两式相减，得anan1

1 31.3 1 n∴a 3n1 1c

3n 3n1 1 1（2）∵n

11n

11n1

2 3 3

3n1 3n11 3n1 3n11 2 1 3n1 3n111 1 1 1， ，

c211.又∵3n1 3n

3n11 3n1 n

3n

3n11 1 1 1 1 1∴T2n

n 3 32 32

3n

3n12n

1 1 1 2n .3n1 3 313∴T2n .3n【点睛】San

，考查利用放缩法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.2118（）见解析（）7【解析】通过勾股定理得出CEBBAEBB

AECAC，问题得证；1 1 1如图，以EECEB1EAxyz轴，求出平面EBCABC1 11的法向量，利用空间向量的夹角公式可得答案.【详解】AEBBCCAEBB，11 111 1BE

2BB1BC2EBC3，所以CE3，11因此BE2CE2BC2，所以CEBB，11BB1

AEC

AC，

AC，又四边形ACCA为平行四边形，1 11则四边形ACCA为矩形；11EECEB1EAxyz轴，所以A(0,0,1),A(0,2,1),B(0,1,0),C(3,0,0)，1 1平面EBC的法向量m(0,0,1)，设平面ABC的法向量n(x,y,z)，1 11由nCB1

(x,y,z)(3,1,0)0y 3x，由nBA(x,y,z)(0,1,1)0yz0，11令x1y 3,z3，即n(1,3,3)，cosmn

3 21，17所以，所求二面角的余弦值是

721.7【点睛】19（）答案不唯一，具体见解析）证明见解析【解析】fx，分b1与b1fx的单调性；

x

，得g(x)g(x)m，参变分离得a2

lnx2

lnx1，1 21 1 x x x

xx1 2 1分析不等式x1

42a，即转化为1xxx2 2

22lnx1

2x1

2t(t1)，再构造函数gtx1

2lntt，利用t导数得单调性，进而得证.【详解】（1）依题意x0，当a0时，f(x)1(b1)，x①当b1时，f(x)0恒成立，此时f(x)在定义域上单调递增；②当b1x

1f(x)0x1 b1 b1

,，f(x)0； f(x)的单调递增区间为

1 1，单调递减区间为

,. b1 b1 （2）方法1：由f(x)max2得lnx(a2)x2m0令g(x)lnx(a2)x2，则g(x)g(x)m，依题意有lnx1

(a2)x1

lnx2

1(a2)x2

2a2

lnx2x1

lnxx 1，21 1 xx

2lnxlnx要证 42a，只需证1 22(2a)

2 1（不妨设xx，x x xx

xx 1 21 2 12 1 2x x x即证1x2

22ln2，x x1 1令x2t(t1)，设gt2lntt1，则g(t)211(11)20，x t t t2 t1g(t)在(1,)单调递减，即g(t)g(1)0，从而有1x1方法2：由f(x)max2得lnx(a2)x2m0

142a.x2令g(x)lnx(a2)x2，则g(x)g(x)m，g(x)1(2a)1 2 x当x(0, 1)时g(x)0，x(1 ,)时g(x)0，2a 2a故g(x)在(0,

1)上单调递增，在(1

,)上单调递减，2a 2a不妨设xx，则0x

1 x，1 2 1 2a 21 1 x x