2021衡水名师原创数学专题卷：专题十五《概率》

2021衡水名师原创数学专题卷

专题十五《概率》考点47：古典概型、几何概型（1-6题，9题，13,14题）考点48：事件的独立性与条件概率（7题，15题，19题）考点49：独立重复试验与二项分布、正态分布（9-12题，18题，20题，22题）考点50：离散型随机变量的分布列、期望与方差（8题，11,12题，16题，17题，19题，21,22题）试时间：120分钟满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I卷（选择题）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1•设O为正方形ABCD的中心，在O,A,B,C,D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（1214TOC\o"1-5"\h\zA.1B.2C.1D.455252.从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动，则这名女生被选中的概率是（123A.B.C.D.—2343•在1,2,3,6这组数据中随机取出3个数,则数字2是这3个不同数字的平均数的概率是（A.1A.1B.134.如图，边长为2的正方形中有一阴影区域2内的概率为3.则阴影区域的面积约为（）C.1D.34在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域A.83A.835•如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子,B．D.无法计算C.-3则豆子落在图中阴影部分的概率为（）nnn2n26.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1,则在该正方体内任取一点M，则其到顶点A的距离小于-nnn2n26.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1,则在该正方体内任取一点M，则其到顶点A的距离小于-的概率为()nnA.B.—24-2C.HD.7.盒内有5个红球、11个蓝球，红球中有2个玻璃球、3个塑料球，蓝球中有4个玻璃球、7个塑料球，假设每个球被摸到的可能性相同，现从中任取一球，若已知取到的球是玻璃球，则它是蓝球的概率是()C.-4D．A.-B.-338.已知某离散型随机变量X的分布列为X0123P274m27则X的数学期望E(X)=()B．1C.3D．2、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。)下列结论正确的有()公共汽年上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有105种.-两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是-；13780c.若随机変量x服从二项分布x〜b(5,3)，则p(—<x<―)=8—；D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11，若这组数据的平均数、中位数，众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为12.下面给出了关于正态曲线的4个说法,其中正确的说法是()曲线在x轴上方且与x轴不相交；当x〉卩时，曲线下降，当x<卩时，曲线上升当卩一定时，&越小，总体分布越分散，°越大，总体分布越集中；曲线关于直线x二卩对称，且当x二卩时位于最高点.11.随机变量X服从正态分布N(90,52)，则下述正确的是()A.E(X)二90B.D(X)二5C.P(X>100)二P(X<80)d.P(X>100)>P(X<100)江先生朝九晚五上班,上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行.江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟•公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间Z(单位:分)服从正态分布N(33,42)，下车后从公交站步行到单位要12分钟;乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间Z(单位:分)服从正态分布N(44,22)，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.从统计的角度看,下列说法合理的是()参考数据:若Z〜N(PQ2),则P(卩—Q<Z<p+Q)〜0.6827,P(p-2q<Z<卩+2q)〜0.9545,P(p-3q<Z<p+3q)-0.9973.若8:00出门，则乘坐公交上班不会迟到若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大若8:06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大若8:12出门,则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到第II卷(非选择题)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。)某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在TOC\o"1-5"\h\z同一个食堂用餐的概率为．如图所示的三角形称为希尔宾斯基三角形,现分别从图(2)和图(3)中各随机选取一个点,则此两点均取自阴影部分的概率为.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是.随机变量g的取值为0,1,2，若P=0)=1，E(g)=1，则D(g)=.四、解答题（本题共6小题，共70分。）17.（本题满分10分）抛掷一枚质地均匀的硬币2次，记正面朝上的次数为X.（1）求随机变量X的分布列；（2）若随机变量Y=2X+1，求随机变量Y均值、方差.18（.本题满分12分）第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：组别[30,40)[40,50)1^0,60)[60,70)[70,80)[80,90)(90,100)频数5304050452010（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设PQ分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求PQ的值（PQ的值四舍五入取整数），并计算P（51<X<93）；（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于卩的可以获得1次抽奖机会，得分不低于卩的可获得2次抽2奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为3，抽中价值为30元的纪念品B的概率为1.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望.（参考数据：P（卩一§<X<^+8）沁0.6827；P（卩一28<X<+28）沁0.9545；P（卩一38<X<卩+38）沁0.9973.）（本题满分12分）空气质量指数PM2.5（单位：卩g/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.5日均浓度0~3535~7575~115115~150150〜250>250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类型优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

甲、乙两城市2020年5月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：甲aN甲aN工刁斗E9曰6<517A2309e工（34S<376Q7&807些1.ao（1）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？并简要说明理由.（2）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；（3）在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．（本题满分12分）某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为p，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每k个（k<5）—组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1+k次.设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次数为X.（1）求X的分布列及其期望；（2）（i）试说明，当厂越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；（ii）当p=0.1时，求使该方案最合理时k的值及1000件该产品的平均检验次数.21.（本题满分12分）随着经济的发展，个人收入的提高。自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整。调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额。依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）免征额3500元免征额5000元级数全月应纳税所得额税率（%）级数全月应纳税所得额税率（%）1不超过1500元的部分31不超过3000元的部分32超过1500元至4500元的部102超过3000元至12000元的部10

分分3超过4500元至9000元的部分203超过12000元至25000元的部分20（1）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记x表示总收入，y表示应纳的税，试写出调整前后y关于x的函数表达式；（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入并制成下F面的频数分布表：收人（元）1^000,5000)1^000,7000)[7000,9000)(9000,11000)111000,13000)113000,15000)人数304010875①先从收入在［3000,5000）及［5000,7000）的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用a表示抽到作为宣讲员的收人在1^000,5000）元的人数，b表示抽到作为宣讲员的收入在［5000,7000）元的人数，随机变量Z=|a-b|，求Z的分布列与数学期望;②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收人比调整前增加了多少?22.（本题满分12分）为进一步深化“平安校园”创建活动,加强校园安全教育宣传,某高中对该校学生进行了安全教育知识测试（满分100分）,并从中随机抽取了200名学生的成绩,经过数据分析得到如表所示的频数分布表，并绘制了得分在［30，40）以及190,100］的茎叶图，分别如图1、2所示.成绩b0,40)[40,50)1^0,60)[60,70)[70,80)[80,90)(90,100]频数5304050452010勺0112.ZB581000（1）求这200名同学得分的平均数;（同组数据用区间中点值作代表）⑵如果变量X满足P（卩-2q<X<卩+2q）〉0.9544且P（p-3q<X<卩+3o）>0.9974,则称变量X“近似满足正态分布N（JJQ2）的概率分布”。经计算知样本方差为210,现在取卩和b2分别为样本平均数和方差，以样本估计总体，将频率视为概率，如果该校学生的得分“近似满足正态分布N（JJQ2）的概率分布”，则认为该校的校园安全教育是成功的，否则视为不成功。试判断该校的安全教育是否成功，并说明理由。

(3)学校决定对90分及以上的同学进行奖励，为了体现趣味性，采用抽奖的方式进行，其中得分不低于94的同学有两次抽奖机会，低于94的同学只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率分别为：奖金50100概率3414现在从不低于90同学中随机选一名同学，记其获奖金额为g，以样本估计总体，将频率视为概率，求g的分布列和数学期望•(参考数据：J210=14.5)答案以及解析1.答案：A解析：根据题意作出图形，如图所示，在O,A,B,C,D中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB),(OAC),(OAD),(OBC),(OBD),(OCD),(ABC)，(ABD),(ACD),(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况，所以在O,A,B,C,D中任取3点，则取到的3点21共线的概率为10=5，故选a.答案：B31解析：基本事件总数为C2=6(种)，这名女生被选中的有C1=C4=3(种)故概率P=;=;41362答案：A解析：在1,2,3,6这组数据中随机取出3个数,基本事件总数有4个,分别为,(1,2,6),(1,3,6),(2,3,6),数字2是这3个不同数字的平均数所包含的基本事件只有，共1个，所以数字2是这3个不同数字的平均数的概率是1.故选A.44.答案：A22■分=—又3,又解析：正方形中随机撒一粒豆子，S它落在阴影区域内的概率，p=-；阴影部正方形8S=4.：S=-故选：A正方形阴影部分35.答案：A=—(cosn—cos0)=2,二S=n一2，故豆子落在图中阴=—(cosn—cos0)=2,二S=n一2，故豆子落在图中阴阴影矩形00n—22影部分的概率为——=1—•故选：A.nn6.答案：D解析：由题意知，正方体的体积V=1，其中满足|ma<1的区域是以A为球心，1为半径的其体积为1其体积为1X4XnX13=-836所以所求概率为；61212*7•答案：A解析：记”取得篮球”为事件A,”取得玻璃球”为事件B,则已知取到的球为玻璃球，它时篮球的概率就是B发生的条件下发生的概率记作P（AIB）因为P(AB)=—=1,P(B)=—=3TOC\o"1-5"\h\z164168所以p(A1B)=盟故选A8•答案：B841解析：由题意可得：三+-+m+—=1.279272可得m=9•8-21E(X)=0x+1x+2x+3x=1.279927故选：B.9.答案：BD解析：解：对于A：公共汽年上有10位乘客，沿途5个车站，则每个乘客由5种下车的方式，则根据分步乘法计数原理可得乘客下车的可能方式有510种，故A错误;对于B：两位男生和两位女生随机排成一列共有A-二24（种）排法；两位女生不相邻的排法-1有A2A2二12（种），故则两位女生不相邻的概率是-，即B正确；321对于C：若随机変量X服从二项分布X〜B（5,，），则1—二3丿1—二3丿2-0=81'故CP(2<X<2)=P(X=2)+P(X=3)=C51二错误；对于D：设这个数字是x，则平均数为317^，众数是3,若X3，则中位数为3,此时x=-10，W31+x若3<x<5，则中位数为x，此时2x=-+3，x=4，31+x若x4，则中位数为5，2x5=-+3，x=18，所有可能值为一10，4，18，其和为故D正确；故选：BD.答案：ABD解析：根据正态曲线的性质知：正态曲线关于直线x二卩对称，故A正确；当x<R曲线上升，当时曲线下降；B正确；卩一定时，&越小，曲线越“瘦高”，表示取值越集中，故C不正确；曲线关于x=P对称，D正确.故答案为：ABD答案：AC解析：由随机变量X服从正态分布N(90,52)，所以卩二90，b=5，所以E(X)=90，D(X)=25，故A正确；B错误；根据正态分布密度曲线的对称性，P(X>100)=P(X<80)，P(X<100)=P(X<80)+P(80<X<100)，即P(X<100)=P(X>100)+P(80<X<100)所以P(X>100)<P(X<100)，故C正确；D错误；故选：AC.答案：CD解析：对于选项A,江先生乘坐公交的时间不大于43分钟才不会迟到，因为P(Z<43)<P(Z<45)，且P(33-12<Z<33+12)〜0.9973，所以P(Z<43)<P(Z<45)-0.5+0.5x0.9973-0.9987，所以“江先生上班迟到”还是有可能发生的,所以选项A不合理;对于选项B,若江先生乘坐地铁上班,则其乘坐地铁的时间不大于48分钟才不会迟到，因为P(44-4<Z<44+4)〜0.9545，所以P(Z<48)-0.5+0.9545x0.5-0.9773,所以“江先生8:02出门,乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.9773,若江先生乘坐公交上班,则其乘坐公交的时间不大于41分钟才不会迟到，因为P(33-8<Z<33+8)二0.9545，所以P(Z<41)〜0.5+0.9545x0.5-0.9773，所以“江先生8:02出门，乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.9773,二者可能性一样，所以选项B不合理;对于选项C,若江先生乘坐公交上班，则其乘坐公交的时间不大于37分钟才不会迟到，因为P(33-4<Z<33+4)二0.6827，所以

P(Z<37)-0.5+0.5X0.6827-0.8414,所以“江先生8:06出门，乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.8414,若江先生乘坐地铁上班,则其乘坐地铁的时间不大于44分钟才不会迟到,因为p(z<44)=0.5，所以“江先生8:06出门,乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.5,又0.8414>0.5所以选项C是合理的;对于选项D,江先生乘坐地铁的时间不大于38分钟才不会迟到，因为P(44-6<Z<44+6)-0.9973，所以P(Z<38)-(1-0.9973)x0.5-0.0014，所以“江先生8:12出门，乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性非常小，所以选项D合理,所以选CD.13.答案：14解析：由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2x2x2=8(种)，其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为2_18—4.14.答案：14.答案：2764解析：依题意，设图①阴影面积为1,设图n的阴影面积为S，则S=1,n13S则图②阴影为图①面积的4,2v_33_2S—■—图③阴影为图②面积的3,34416,4分别从图⑵和图⑶中各随机选取一个点,则此两点均取自阴影部分的概率为3-詈-寻故答案为：27故答案为：276415.答案：0.18解析：甲队以4:1获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输.若在主场输一场，则概率为2x0.6x0.4x0.5x0.5x0.6;若在客场输一场，则概率为2x0.6x0.6x0.5x0.5x0.6.・•・甲队以4:1获胜的概率P—2x0.6x0.5x0.5x(0.6+0.4)x0.6—0.1816•答案：25解析：本题主要考查方差与概率.已知P(g-0)—5，设PC-1)-x,P(g-2)-y.故E(g)—0x5+1xx+2xy—x+2y—1,131又因为一+x+y—1，所以x—,y—,555

1o故DO|x(0-A+|d-A+51o故DO|x(0-A+|d-A+5x(2-»=|.17.答案：（1）随机变量X的取值可以为0,1,2.(1、2P(X=0)=-V2丿=1;P(X=1)=C1X42P(X=2)=C2x2X012P111424因此,随机变量X的分布列为：(2)由(1)知EX=0x1+1x1+2x1=1.424DX=(0—1)2X1+(1-1)2X1+(2—1)2X1=1.4242(用XB2,—，则E(X)=2x—=1,DX=2x——也可以)V2丿2222・•・E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=3,:.D(Y)=D(2X+1)=4D(X)=2解析：〜18.答案：(1)由已知频数表得：5“30«40〜50k45”20»10~E(X)=35x+45x+55x+65x+75x+85x+95x=65,200200200200200200200D(X)=(35-65)2x0.025+(45-65)2x0.15+(55-65)2x0.2+(65-65)2x0.25+(75-65)2x0.225+(85-65)2x0.1+(95-65)2x0.05=210，由196<b2<225，贝914<b<15，而14.52=210.5>210，所以g14,则X服从正态分布N(65,14)，所以P(51<X<93)=P(卩一Q<X<卩+2q)=P(卩一2q<X<卩+2q)+P(p-Q<X<卩+Q)

20.9545+0.68272=0.8186(2)显然，P(X<p)=P(X>p)=0.5,所以所有Y的取值为15，30,45，60,P(Y=30)=1X1+1X-X-=ZTOC\o"1-5"\h\z232331812111221111P(Y=45)=x—x—+—x—x—=,P(Y=60)=x—x—=-,233233923318所以Y的分布列为：Y15304560

P3221721所以E(Y)=15x—+30x+45x+60x=30,18918解析：19.答案：(1)由茎叶图可知：甲城市空气质量一级和二级共有10天，而乙城市空气质量一级和二级只有5天，因此甲城市空气质量总体较好．2)甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为10=2,TOC\o"1-5"\h\z153乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的在15天内任取1天’估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为Ix1=I3)X的取值为0，1，2，C0CI3C1C110CIC0P(X=0)=L0=，P(X=1)=f=，P(X=I)=rI1CI7CII1CII1151515数学期望EX=数学期望EX=0x3+1x晋I1X的分布列为：X012P310272121解析：X的可能取值为1和iiAX的可能取值为1和iiAkk20.答案：(1)解：PX=—=(1—p)由题,kk丿(1+kAPX=——=1—(1—p)k，kk丿故X的分布列为Xk1+kkP(1—p)k1—(1—p)k

11+広厂r1E(X)=(1-p)k+丁1-(1-p)k=1-(1-p)k+kkk(2)解：(i)由(1)记f(p)=1-(1-p)k+—，因为k>0,k所以f(p)在pE(0,1)上单调递增,故P越小，f(p)越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理(ii)记g(k)=1-(1-p)k+=1—0.9k+kk当g(k)<1且取最小值时，该方案最合理，因为g(1)=1.1,g(2)=0.69，g(3)-0.604,g(4)〜0.594，g(5)-0.61所以k=4时平均检验次数最少，约为1000x0.594=594次.解析：0,x<350021.答案：(1)调整前y关于x的解析式为y={(x-3500)x0.03,xe(3500,5000]；45+(x—5000)x0.1,xe(5000,8000]调整后y调整后y关于x的解析式为y={0,x<5000(x-5000)x0.03,xE(5000,8000](2)①由频率分布表可知，从收入在［3000,5000)及［5000,7000)的人群中抽取7人,其中在［3000,5000)元的人数为3人,在［5000,7000)元的人数为4人，再从这7人中选4人，所以Z的取值可能为0，2，4；TOC\o"1-5"\h\zC2-C218则P(Z=0)=P(a=2,b=2)