数列通项公式的常用解法归纳整理学生

数列通项公式的求法集锦观察法例1写出数列的一个通项公式，使它的前5项分别是下列各数（1）3,5,9,17,33（2）-1/2,1/2,-3/8,1/4,-5/32(3)2,22,222,2222,22222注：在平时学习中要牢记常见的一些数列通项公式，如n,1/n,2n,2n+1,n!,,n(n+1)等，其他数列往往由这些基本数列和其他常数进行四则运算得到的。二、公式法利用等差数列的通项公式利用等比数列的通项公式利用数列前n项和和通项公式的关系式：有些数列给出{}的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出。例2.数列{}的前n项和为=,求{}的通项公式。例3.已知各项均为正数的数列{}的前n项和为满足＞1且6=,n∈求{}的通项公式。例4.数列{}的前n项和为，=1，(n∈),求{}的通项公式。累加法形如(n=2、3、4…...)且可求，则用累加法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例5.在数列{}中，=1，(n=2、3、4……)，求{}的通项公式。例6．【2014·全国大纲卷（文17）】数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2.（1）设bn=an+1-an，证明{bn}是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式.累乘法形如(n=2、3、4……)，且可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例7．在数列{}中，=1，，求。例8．已知数列{}满足=，，求。五、构造法类型1.=先用待定系数法把原递推公式转化为其中，这样构造了等比数列，下面利用等比数列的知识即可求解。例9、已知数列{}满足=1，=()，求数列{}的通项公式。例10、设数列{}的首项，=，n=2、3、4……（）求{}的通项公式。例11、已知数列{}中，=2，=（）求{}的通项公式。类型2.=法一：在递推公式两边同时除以，得，将{}看成一个新数列，则可用类型一的方法解决；法二：在递推公式两边同时除以，得，将{}看成一个新数列，则可用累加法求解。例12、已知数列{}中，=1，=，求数列的通项公式。例13.已知数列{}中，=，求数列的通项公式。类型3.这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列，即令然后与已知递推公式比较，解出，从而得到是公比为p的等比数列。例14.设数列{}中，=4，，求数列的通项公式。类型4.这种类型的题目一般是将等式两边取对数后转化为类型1，用待定系数法求解.例15.已知数列{}中，=1，，求数列{}的通项公式。类型5.将原递推公式改写成，两式相减即得，然后按奇偶分类讨论即可.例16.已知数列{}中，=1，，求数列{}的通项公式。类型6.将原递推公式改写成，两式做商即得，然后按奇偶分类讨论即可.例17.已知数列{}中，=1，，求数列{}的通项公式。取倒数法：类型1.类型2.有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出。例18、已知数列{}，=，，求=？例19、已知数列{}满足，且（）求数列{}的通项公式。例20．已知各项均为正数的数列{}满足:，且求数列{}的通项公式。七．重新构造新方程组求通项法有时数列{}和{}的通项以方程组的形式给出，要想求出与必须得重新构造关于和的方程组，然后解新方程组求得和。例21.已知数列{}，{}满足=2，=1且（）,求数列{}，{}的通项公式。分析该题条件新颖,给出的数据比较特殊，两条件做加法、减法后恰好能构造成等差或等比数列，从而再通过解方程组很顺利求出{}、{}的通项公式。若改变一下数据，又该怎样解呢？下面给出一种通法。例22.在数列{}、{}中=2，=1/r