3.6有限群的分类

§9有限群的分类1.凯莱定理:设G是“阶群，则G一定与对称群S的某个子群同构。n凯莱定理表明，理论上讲，研究有限群只需把对称群S研究透n就够了，但由于S的阶数(n!)非常大，很难找出G具体与s的哪nn个子群同构。实际当中采用具体研究的方式。，定义设N,N,K,N是群G的正规子群。如果VxgG，都存在唯12sG一的xgN，使得x=xxLx；同时当i丰j时，N中的兀素与nii12sij中的元素可交换，则称G为N,N,K,N的直和，记为G12sG仝N㊉N㊉L㊉N.12s例如，以克莱茵四元群为例，K={e,a,b,c},4取N={e,a},N={e,b},则N,N<K,且有12124e=ee,egN,egN,a=ae,agN,egN,1212b=eb,egN,bgN,c=ab,agN,bgN,1212从而根据定义有K=N㊉N.412再比如，6阶循环群g=<a>=a,a2,a3,a4,a5}，a6=e。取N={e,a3}=<a3>,N={e,a2,a4}=<a2>,则不难验证有G=N㊉N。12123.有限群的结构定理群的分类思想就是把复杂的群分解成简单的、结构完全已知的群的直和，而循环群的结构最简单、完全清楚，因此，总是将一般的群分解成循环群的直和。以下将n阶循环群记为c。n

情形1:有限交换群的情形定理1每个有限交换群都同构于一些循环群的直和，这些循环群的阶数分别为m,m,L,m，满足mIm,mIm,L,mIm，即TOC\o"1-5"\h\z12s1223s-1sG=C㊉C㊉L㊉C。m1m2ms通常称m,m,L,m为g的不变因子(Invariantfactors)。12s定理2设正整数m=pnipn2Lpnt，其中p,p,L,p为互不相同的12t12t素数，n〉0，贝UiC仝C㊉C仝C㊉Cmpn1p12n2㊉L㊉C.ptnt即循环群还可以进一步分解为更小的循环群的直和)结合定理1和定理2得定理3任何有限交换群都可以写成一些有限循环群的直和，其中每个循环群的阶都是素数的方幕。定理4素幂阶循环群Z不可能再分解成阶数更小的循环群pn的直和。定理5若m与n互素，则C㊉C兰C。TOC\o"1-5"\h\zmnmn将m,m,L,m在整数范围内作因式分解，由于12smIm,mIm,L,mIm，1223s-1s因此m,m,L,m必有相同的素因子，把它们按从咼到低的次序12s排列如下：33}m=pnnPni2Lp%,TOC\o"1-5"\h\z12tm=Pn21Pn22LPn21,12tLLLLLLLm=Pns1Pns2LPnst，s12t其中有些n可以为0且0<n<n<L<n.称以上分解出的ij1j2jsj真因子pnij(n丰0)都叫G的一个初等因子(elementaryfactor).jij定理1，2，3可以简写成形式G二㊉工C二㊉工》Cmipniji=1i=1j=1j例1确定所有4阶和6阶交换群。解。（1）n=4=2x2=22，全部初等因子组为｛2，2｝，｛22｝，因此只有两种4阶交换群：C㊉C，C。224其中C㊉C就是克莱茵四元群k4（见前面例子）。224（2）n=6=2x3，初等因子组只有｛2，3｝，因此6阶交换群只有一个：C2㊉C3-C6。但要注意，这里给出的仅仅是交换群的情形，还有6阶非交换群存在：S。3例2列出所有1500阶的有限交换群解。n=1500=22x(2解。n=1500=22x(22,3,5,5,5}，{223,5,5,5｝，{2,2,3,5,52}^22,3,5,52｝，（2{223,5,5,5｝，{2,2,3,5,52}因此共有6种1500阶的交换群，分别为G=C㊉C㊉C㊉C㊉C,43555G=C㊉C㊉C㊉C,4352544G二C㊉C㊉C,43125G二C㊉C㊉C㊉C㊉C㊉C,4223555G二C㊉C㊉C㊉C㊉C,5223525G二C㊉C㊉C㊉C・6223125注意：利用定理5可以将G,G,G,G,G,G重新改写成12345615560G二15560G二C㊉C253001500G二C㊉C㊉C，G二C㊉C，G二C㊉C，5103051015062750最后得到G,G,G,G,G,G的不变因子分别为：123456｛5，5，60｝，｛5，300｝，｛1500｝，｛5，10，30｝，｛10，150｝，｛2，750｝。作业：(1)决定20及20阶以下交换群的结构；(2)给出2250阶交换群的所有结构，并求出相应的不变因子。再给出两个关于交换群的结论定理6素数阶的群总是交换群而且只有一个，即素数阶的循环群。定理7设G是”阶交换群，m是n的任何一个正因子，则G总存在m阶的子群。注意：定理7对非交换群不成立。如取G为S的全部偶置换作4成的群(即交错群A)，它是一个12阶非交换群，但可以验证4没有6阶子群。情形2：非交换群的情形正n边形的对称群概念：令T为正n边形顺时针旋转竺的旋转对n称，S为关于过中心的对称轴的镜面对称，则正n边形总共有2n个对称，正n边形的对称群表示为:D={I,T,K,Tn-i,S,ST,K,STn-1}，n其中，Tn=I,S2=I,ST=T1S,I为恒等变换。定理5设|Gl=pq,p,q为素数，且不妨设p>q。若q不整除p1，则G-Z；qp1pq若qlp—1，则G同构于由c和d生成的非交换群:cp=e,dq=e,dc—csd其中，p不整除S—1，pl(sq-1)o例子：15—5X3,p—5,q—3,q不整除p—1，所以15阶的群只有循环群Co15推论设p是奇素数，则2p阶的群要么是循环群C,要么是正2pp边形的对称群Dop例如，6—2X3阶群只有C和D(—S)；63310二2x5阶群只有C和D；10514=2x7阶群只有C和D。147定理68阶非交换群只有两个：一个是正四边形的对称群d；4另一个是四元数群Q8定理712阶非交换群有三个：一个是正六边形的对称群d；6一个是交错群a；一个是由两个元素ab生成的群，记为R4a,bRa6=e，b2=a2,ba=a-ib=a5b.总结:15及15阶以下交换和非交换群列表n群个数1{e}12C213C314C㊉C，C22425C51/r/