等腰三角形性质及判定

-PAGE.z.等腰三角形性质及判定要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如下图，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角〔或直角〕，但顶角可为钝角〔或直角〕.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等〔简称"等边对等角〞〕．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合〔简称"三线合一〞〕．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高〔顶角平分线或底边上的中线〕所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边也相等〔简称"等角对等边〞〕.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题例1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.

举一反三：1.：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．2.如图，在△ABC中AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求三角形各角的度数.3.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数类型二、等腰三角形中的分类讨论例2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为()．A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°举一反三：1.等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是．2.等腰三角形的一个底角是70度，则它的顶角是＿＿＿＿＿＿3.等腰三角形的周长是10，腰长是4，则底边为＿＿＿＿＿＿4.等腰三角形的一个底角是30度，则它的底角是＿＿＿＿＿＿5.等腰三角形的周长是20cm，一边长是8cm，则其它两边长为＿＿＿＿6.等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，则腰长为〔〕Ａ．6㎝ Ｂ．10㎝ Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝ 7等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是〔〕A．过顶点的直线 B．底边的垂线[]C．顶角的平分线所在的直线 D．腰上的高所在的直线8、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．9.一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组．〔1〕求a、b的值．〔2〕求这个等腰三角形的周长．10假设*，y满足|*﹣3|+=0，则以*，y的值为两边长的等腰三角形的周长为〔〕 A．12 B． 14 C． 15 D． 12或15类型三、等腰三角形性质和判定综合应用例3、：如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD．求证：〔1〕△ABD≌△CFD；〔2〕BE⊥AC．举一反三：2如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．1.如下图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD．(1)求证：BE＝AD；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；(3)△DBC是等腰三角形吗"并说明理由．3.如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．构造等腰三角形解题的辅助线常用做法等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考察。在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。则如何构造等腰三角形呢？一般有以下四种方法：〔1〕依据平行线构造等腰三角形；〔2〕依据倍角关系构造等腰三角形；〔3〕依据角平分线+垂线构造等腰三角形；〔4〕依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。1、依据平行线构造等腰三角形例1：如图。△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证DE=DF.2、依据倍角关系构造等腰三角形例2：如图。△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线求证：AB+BD=AB3、依据角平分线+垂线，构造等腰三角形例3，如图。△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D，求证：BF=2CD4、依据60°角或120°角，常补形构造等边三角形例4,、如图。∠BAD=120°BD=DCAB+AD=AC求证：AC平分∠BAD4、如图，AC＝BC，∠AC