数学可集-习题练习详解二

判断下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理条件，若满足条件，求出相应的

(2)f(x)3x在[1，1上（1）

6-x 26x26满(2)f(x)

1x33下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日定理条件？如满足，求出相应的

3

0[a f （2）f(x)sin

0π 在， 2解：(1)f'(x3xf(0)0f(a)a3f(a)f(0)f'(a满(2)f(x)

a222233f(0)

f()1f(f f

2cosarccos20 2满

(2（1）arcsinxarccosxπ （2）2

解：(1)令F 211F'(x) 11F(x)x0，得F(0C(2)F(x) 10(x0时F'(x)1F(x为非增函数abF(b)对函数f(x)sinxg(x1cosx在

π2πf()f

f'(g'(g()g(0)1

4f(x)在[a，bf"(x)f"(x)0f(x)在(a，bf(x在(a，b中有二个驻点f'(c)f"(x)

f'(d)x这与题设f"(x0f'(x0)

f(x0)f(x0)

f'(x)同理fx0)f(x，g(x在（a，b）内可导，g(x0

f(x)Cg(x)(x(a，b))（其中C是常数（提示：考虑函数(x)f(x)/解：令F(x)f(xF'(x)gx

g2x)(g(x)0且g(xf'(x)f(x)g'(xF'(x)0F(x)8．设函数

f

在

上连续，在

内有二阶导数，且f(af(b0，f(c0acb．证明：在(a，b内至少存在一点，使f"(0．(提示：a(a，c)，βc使得fa0

f'(β)x，βf(xE(a，bf"()f(x)在(a，bn1阶导数，求(xx0)n使 Pn(k)(x0)f(k)

(k

(x0)n！an

(x0)an

f(n)(x0n

(x0)(n1)！an1

(x0)an1

f(n1)(x0)(n

a0f(x0)，a1fx2sin极限lim x能否用洛必达法则计算？其值为何x0sinx2x2sin1 lim xlim

x416 xee

(1x)π1x

ln

（4） sin（5）

ln(xlna

(a0)；（6）

esin3x； x0x(1cos

f(ahf(ah2f(a)（设f"(x在）xa点邻近连续 解 x4

x (1x) lim (1x)

x

x2

ln)ln)

x

exex2xxsinx

exex21cosx

ex

ex2limln(xlnx)

lnx

lim1

esin3x

xaxaln

axalnxx0x(1cos

2x0x

f(ah)f(ah)2f(a)

f(ah)f(a)[f(a)f(ah)].

=limf'(a)f'(ah)f （1）lim

1；（2）lim1

11；（3）lim(1x)tanπx；（4）limx1xx1x

lnx

x0

ex1

1

limπarctanxln（5）lim1

2 x2

；

lim(cotx)lnx

lim(xex)x

lim(arcsinx)tanx解：(1)lim

1limxlnx

1 1x 1

lnxex1

ex

0x

x0

0

lim(1x)lim(1x)2

)

lnlim1

1lim limx1xlime1x

ex1x

1ln1x2 x

1

lim x

1l1

x2

im2

lim

x

limx

arctanx

lim

lnarctanx hx

lim

1

xx2

lim

(9)lim(x(9)lim(xex)xlim1(xex

xex

elimxlim

xex

sin2 22设

xf(x)x0

x

f(x)

sinxx

b

f(x)lim(axb) sinx f'(0lim) 0a0 f'(0) 设当x0f(x)ex(ax2bx1)o(x2a，bf

ax2bx

exb

exx0

lime

lim(exb)0b1limex2a)0a y

2；（2）yx

；（3）y

1

；（4）y

lnx（1）

x3x

00210)y'

x0单调增x0单调减

222x22y

(1x)20x10，x2x2单调增当2x0单调减x0所以x1单调增2当1x1

2 x12（1）exex(x1)

xx

lnx1 lnx2（1）F'(x)ex x1时F'(xlimF(x)F(x) F'(x)

11x1xlimF(x) F'(x)cosx-1limF(x)xsin

211G"(x)-sinx1limG'(xG(x)2222综上得令

F(x)lnx1

)

p，qZ，p，q2pqqp的大小（

f单调性f(x)lnx

(xf(x)1ln12x

f'(x)pqfpfpqlnppqln qlnpplneqlnpeplneqlnpepln2x

f'(x)同理若pq 设函数f(x在区间(a,b上恒有f'(x0f(x0，则f(x在(a,b上 解f'(x)f"(x)给定曲线C：yf(x)(xIy'f'(x)4-17C在（）上（C下凸 B．上凸 解y

(2)y (3)y42x

(4)yx2x解：(1)y'2xy"26xx3拐点3x

,2271下3x1,3y

(x1)2y -2(x-[(x1)2-2[(x1)23]28(x1)2[(x1)2yx1

x2

[(x1)2

(0，4

(21，4，在(02)上凸y'exy"2exxexx拐点(2,2在(2上在2,yy'

x1 -1)3-

22

=y =x无 无拐x1时y在1在(1,下f(x)在(a,b)上有连续的三阶导数，若有c(a,b)f"(c0f"'(c0P(cf(c必是曲线：yf(x)(x(a,b的拐点吗 f"'(x)在点P(c,f(c))两侧f"(x)P(c,f(c))是拐y

4x (2)y(2x5)3x2x1解：(1)y4x3

y"4x39 y'2x32(2x5)x3y

4-x33

4-x33

-(2x5)x39x-22

当x凹

y)2yx33x27 （1）y

1x2

(3)yx2ex（4）y(x2)23x2；（5）y(x1)(x1)3 (6)y2exex解：(1)y'

1

x2y"6x-

y"(0)-

y"(2)7y'

2(1x2)-4x2(4x2)2

0x1

x2y

4x(1x2)4(2(1x2

y"(1)-

y"(-1)1，极小值为-y'22y"y"(0)

y"(2)-y(2)y(0)

23

由第一判别法

1)2

938极小值y(0y(2y(x1)(x3 3

yx1x11

1) y'

11ln2y"2exe

y"(-ln2)21212y(1ln1)22求c

3 （2）2（3）3 f"(x)f(1)2f(1)C112C0C2C2C222C0C2C2C332C0C22Cyf(xyf'(x4-18，则x1f(x)x1不是f(x的驻x1f(x)x1f(x) yax3bxcx1取得极小值-1，且点（0，1）是它所表示的曲线的拐点，a，b，c．y3ax2

y'(1)3aby"-

y(1)abcy"(1)8a y(0)ca

b

c332x2(x

y ，[- (2)y1x，2y(x1)3x2，

12，2

y2tanxtan2x，

π，，解：(1)y'

32x(xy(-2)y(4)-

x yy(0)y(2)2x(1x)-

x2(2)y

(1x)2y(0)

y(1)y(1) y(0)22(3) 3

yx15

x20yy(0)0y(-1)-

y()

1 34y() 2 y(0)y(1)

525(4)

n2-secx4 y()1

y(0)

y()3 y(4y(0)d的圆形木材加工成截面为矩形的梁，如矩形的底为bh，则梁ykbh2（k为常数，问b，hy最大？y

()()(db h b hykb(d2b2)(0bdy'k(d2-b2)-=k(d23b2)b33

h632LABCABAB为多ABh，腰长为l2Vh(l

h)22

h24V'(l2lh)hlh2加工一密闭容器，下部为圆形柱形，上部为半球形，容积VrhV7r3r3=3r2V2r3 V2=3r22 rS"6r 01rh3V 5ABnn个数

1,2

ABxnny(xxi)2 y2nxxi i11xn， 为产量．假设产销P60

（元QRI=PQ60000Q)=(60 Q)R'40

QQR4（百件x（百件）时总收入为

12

，x

x解：1当0x4 12

Q'3-xx

Q22x4Q8(2x)6Q'-x

Q2（件）0．5（元/件）20（件p定为多少和每周进货多R(P

10p6)120

0.5R P(1)y

2x1x

x (2)y

x (3)y

1

(4)y

y

sinxx(x解：(1)

y

yy2y

y

yyx0为间断

y

yx0

y

yy

y1x11

y1

ey

e

y

yx1

yylimy

limyx1证明：对于曲线C：yf(x和直线l：ykxb(k0，k和b是常数lim[f(x)kxb]

lim[f(xkxb则l是C的斜渐近线．由此导出求曲线C

f(x)xlimf(xkxb斜渐近线ykxx2y x2解

x2x2

x2x2 yxy

x

xarctanx

xarctanx yx1yx

y

（3）y

x23x解（1） y"6x-

x1x1y0y32y"0

1x 在区间（1）y'0，函数单调增加；在区间[11)y'0 间（1）y'0x1x13 综上可列出函数在（）

-1

（1，-13）13

（1 （1，+3y 0----0+y --0+4+ 32↘16↘0↗yy1- 131x(2)解：函数在（-1+）x1y1'-1 ,y x x

xx0， x

y

1，0limxln(1x)

y'0，为单调减小；在（a） 0（0，y 0+y 1+ 0↗y （3）函数的定义域为（1）U（-1, 在定义域内连续x13y'2x(3x2)，y"4(3x1)(6x-1)4(6x(3xx0y

(3x

(3xx2,y49y"0时x13

limf(x)/