1980年全国高考数学试题及其解析

1980年全国高考数学试题及其解析1980年全国高考数学试题及其解析理工农医类一、将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式:(1)有理数范围;(2)实数范围(3)复数范围.二、半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.三、用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.(a、b、N都是正数,a≠1,b≠1)五、直升飞机上一点P在地平面M上的正射影是A.从P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N(如图).证明:平面N必与平面M相交,且交线l垂直于AB.(1)写出f(x)的极大值M、极小值m与最小正周期T;(2)试求最小的正整数k,使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m.七、CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高,已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列,求B(用反三角函数表示).、九、抛物线的方程是y2=2x,有一个半径为1的圆,圆心在x轴上运动.问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直.附加题问a、b应满足什么条件,使得对于任意m值来说,直线(L)与椭圆(E)总有公共点.文史类一．（本题满分8分）化简二．（本题满分10分）三．（本题满10分）用解析法证明直径所对的圆周角是直角。四．（本题满分12分）某地区1979年的轻工业产值占工业总产值的20%，要使1980年的工业总产值比上一年增长10%，且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%，问1980年轻工业产值应比上一年增长百分之几？五．（本题满分14分）六．（本题满分16分）1．若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC必平分对角线BD。2．写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？七．（本题满分16分）如图，长方形框架ABCD-A＇B＇C＇D＇。三边AB、AD、AA＇的长分别为6、8、3.6，AE与底面的对角线B＇D＇垂直于E。1．证明A＇EB＇D＇;2.求AE的长。八．（本题满分16分）1．把参数方程（t为参数）化为直角坐标方程，并画出方程的曲线的略图。2．当时，各得到曲线的哪一部分？又依直角三角形的性质,有AC2=AD·AB=c(c-x).但x2=c(c-x),AC2=x2,解法二:由题设有(CD·BD)2=(CD·AD)·(CD·AB),BD2=AD·AB.但AC2=AD·AB,BD=AC.两端乘以正数sin,问题化为证明2sinsin2≤1+cos.而2sinsin2=4sin2cos=4(1-cos2)cos=4(1-cos)(1+cos)cos.所以问题又化为证明不等式(1+cos)[4(1-cos)cos-1]≤0.8t2(1-t2)≤(1+t2)2,即-9t4+6t2-1≤0,-(3t2-1)2≤0.不等式成立.九、解:设圆的方程为(x-k)2+y2=1.再设圆与抛物线的一个交点为P(x0y0).在P点抛物线的切线与圆的切线垂直,必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切.由(1)、(2)式消去y0,得x0=-k,将(2)代入(3),得(x0-k)2+2x0-1=0,将x0=-k代入,得4k2-2k-1=0,由于对称性,圆与抛物线的另一交点(x0,-y0)处的切线也互相垂直.附加题解法一:消去参数,得消去y,整理得(1+a2m2)x2+2(a2mb-1)x+a2b2-a2+1=0.(a2mb-1)2-(1+a2m2)(a2b2-a2+1)≥0.化简并约去a2得(a2-1)m2-2bm+(1-b2)≥0.对任何m的值,要使这个式子永远成立,条件是即为所求的条件.解法二:直线(L)即y=mx+b;它通过P(0,b)点,斜率为m.如果P(0,b)落在(E)内或(E)上,如P1,则过P1点作任意直线(L)显然与椭圆(E)总有公共点.如果P(0,b)落在(E)外,如P2,那么由P2向椭圆作两切线,则(E)上所有的点都在两切线的一个夹角内,所以可以选择斜率m的值,使直线(L)落在这个夹角的补角内,(L)与(E)就没有公共点了.因此,(L)与(E)总有公共点的充要条件是p(0,b)点落在(E)内或(E)上.要使(E)与y轴有公共点,其充要条件是│a│≥1;这时,(E)与y轴的文史类参考答案及解析一、解：原式=二、解略：方程组的解为三、证：将圆的直径AB所在的直线取为X轴，圆心作为原点，不妨设定圆的半径为1，于是圆的方程是x2+y2=1.A、B的坐标是A（-1，0）、B（1，0）。设P(x,y)是圆上任一点，则有y2=1-x2.PA的斜率为，PB的斜率为，PAPB，APB为直角。四、解：设1979年的工业总产值为a，又设1980的轻工业产值比上一年增长x%，则按题意，1980年的轻工业产值为解得：x=32。答：略。五、解：六、证：1。SABC=SADC，且△ABC与△ADC有同底AC，两高线相等：BE=DF。设AC与BD交于点O，则RtBOERtDOF。OB=OD。即AC平分BD。（若E、O、F重合、则已有BO=BE=DF=DO）2．逆命题：若四边形ABCD的对角线AC平分对角线BD，则AC必将四边形分成两个面积相等的三角形。这个逆命题是正确的。证明如下：在上图中，由于OB=OD，BOE=DOF（对顶角），BEO=DFO=Rt，BOEDOF。BE=DF，即两高线相等。SABC=AC·BE=AC·DF=SADC。七、解：1.八