数学建模-降落伞选择

一、问题的提出为向灾区空投救援物资2000kg,需选购一些降落伞.已知空投高度为500m,

要求降落伞时的速度不能超过20m/s,

降落伞面可视为半径为

r

的半球面,

用每根长为l

的16根绳索连接着载重重为m的货物.rl每个降落伞的价格由3部分组成.

伞面价格由伞半径r决定,

绳索价格为

4元/

m,

其它费用为200元.降落伞在下降过程中受到空气阻力的作用.为了确定阻力的大小,用半径3m、载重300kg,的降落伞从500m高度做试验,测得下列数据:t/s03691215x/m500470425372317264t/s21242730x/m215降落试验的时刻t与高度x

的观察值试确定降落伞的选购方案,

每个伞得半径为多少,

在满足空投的前提下,

使费用最低.半径22.533.54费用651703506601000不同半径的降落伞的伞面价格二、问题的分析这是一个有约束的优化问题,

目标是总费用为最小.考虑使用同一种半径的降落伞,

并将变量n,

r

视为连续变量.

最后加以调整.约束条件表现为伞

时的速度.三、模型假设⑴伞面价格与伞半径

的关系1c

r1bc

ar

;（这里ab

是待定参数）.⑵载重m位于球心正下方球面处,

每根绳索长l

2r;⑶降落伞在下降过程中,

受到重力和阻力的作用,

阻力与下降速度和伞面积的乘积成正比.

阻力系数为k.四、模型建立⑴目标函数n个降落伞的总费用由伞面成本、绳索成本和其它费用构成,

分别为:2r

90.5rc

arb

;1c2

416c3

200伞面价格:绳索价格其它费用所以总成本为

3C

nc1

c2

cb

n

ar

90.5r

200⑵伞的速度和高度记时刻t

时伞的速度为v

t

,高度为h

t

,空气阻力为kr2v,由定律得关系:2dv

kr

v,dtm

mgv

0

0.其中m

2000/n,g

9.8m/s2⑴⑵方程⑵的解为kr

2n2.2000v

tkr

n2000g

1

exp

⑶再对速度积分,

注意到初始条件x

0

500.高度函数由此得到kr

2n2000g

20002

g

kr

2n

t

k

2r

4n2x

500

1

exp

2000

t

.⑷⑶约束条件降落伞

时的速度不超过

20m/s,即有关系式kr

2n2000g

20002

g

kr

2n

t

k

2r

4n2500

1

exp

2000

t

0,kr

2n2

20.2000t2000g

kr

n1

exp

以及n

1,2

r

4.由此得到优化模型.min

C

n

arb

64 2r

200,kr2nk

2r

4n22000g

20002

g

2

kr2n2s.t.kr2n

t

500

kr

n1

exp

2000

t

0,2000g

t

20.2000

1

exp

n

1,

2

r

4.四、模型求解⑴参数估计先考虑参数a,

b的估计.

由由11可以得到相应的估计值.c

arb

ln

c

ln

a

b

ln

r.在下建立相应程序:计算结果为取a

4.3,b曲线拟合图形再对参数k

进行估计.由实验数据进行拟合,

此时取n

1,

m

300,

r

3.从而原⑷改写为3k

9k

2

x

500

100g

t

10000g

1

exp

3k

t

.100由做非线性最小二乘估计.

编制下面文件.运行结果为图形为⑵优化模型求解将参数估计值a

4.3,b

4,k

18.5

代入优化模型,再由优化工具箱进行求解.编写求解程序结果为即n

6,r

3,t

27.04.⑶结果验证对取定的n

6,r验证降落伞的速度是否能满足条件.

为此,

首先求解非线性方程:kr

2n2000g

20002

g

kr

2n

t

k

2r

4