信号与系统-p4.8由函数零、极点分布决定频响特性

于是，系统的频率响应s

jNMs

jk

1

k

1

(s

pk

)G(s

zk

)H

(

j)

H

(s)

|NM

k

1

(

j

pk

)k

1G(

j

zk

)上式中，分子和分母的每一个因式，均表示s平面上一个指向jΩ轴的矢量。jpk，因式（jΩ-pk)表示的是沿虚轴变化的矢量jΩ与由原点指向pk的矢量的差矢量。上式中分子上的因式对应的矢量，称为零点矢量；分母上的因式对应的矢量，称为极点矢量。2NkM

AG

Bkk

1H

(j)

k

1

M

Nk

1k

1()

k

k即系统的幅频响应等于零点矢量的模之积比上极点矢量的模之积；相频响应等于零点矢量相角之和减去极点矢量相角之和。

k

kN

NkM MkkjkA

ek

1k

1j(

j

p

)G(

j

z

)

GNMk

1

k

1

k

kNk

1kM

kH

(j)

k

1

k

1

k

1

e

ABB

e

G

)j

(

H

(

j)

e

j()每个矢量均有它的模与相角，于是jpk3由H(s)的零极图粗略估计|H(jΩ)|与φ(Ω)ui

(t)

uo

(t)如上两例RC电路，试根据其零极图，粗略的画出其频响曲线。RCj

H

(

j)10.7072

()先看以电容电压为输出的情况。其零极图如下：⑴当Ω=0，极点矢量指向原点，其模长为α，相角等于0；于是|H(jΩ)|=α/α=1,φ(Ω)=0。⑵当Ω↑，极点矢量模↑，相角↑；|H(jΩ)|↓,φ(Ω)=-arctg(Ω/α)↓。⑶当Ω=α，|H(jΩ)|≈0.707,φ(Ω)=-(π/4)。⑷当Ω→∞，|H(jΩ)|→0,φ(Ω)=-(π/2)。4

j

H

(

j)

4.10全通系统与最小相移系统的零、极点分布1、全通系统的零极点分布所谓全通系统是指其幅频响应在所有频率上均为一常数。显然，全通系统的相频响应没有受到限制。由前边分析可知，全通系统函数的零点矢量的模之积与极点矢量的模之积，在所有频率上均相等。要做到这一点，零点与极点应该以虚轴为镜像对称分布。jN5NG

Bk

Akk

1H

(j)

k

1

GRC电桥，试求其传输函数H(s)，并说明当例如：R1C1=R2C2ui

(t)uo

(t)R1C12R2C时电路是全解通：网系络统。的传输函数H

(s)

Uo

(s)Ui

(s)122R21111sC11sCR

sCR

11R1C1

R2C2R1C1ss

s

H

()s

12

(s

1)(s

2

)s2

)(s

2s

11s当R1C1=R2C2=RC时H

(s)

s

s

j

零极点以虚轴镜像对称。62、最小相移系统的零极点分布所谓最小相移系统，其系统函数的零点均分布在s平面的左半平面或虚轴上。若有一个或多个零点分布在右半平面，就是非最小相移系统。jj比较以上两零极图，极点分布相同，零点的虚部相等，实部符号相反。显然，对于所有的频率上，左边图中零点的相角均大于右图中零点的相角。7任一非最小相移系统，均可表示为一全通系统与一最小相移系统的级联。H(s)

HAP(s)

Hmin

(s)非最小相移系统全通系统最小相移系统jjj例如：810

1(s

)[(s

)2

2

](s

)2

2H

(s)

2

2

221

10

2

2

2

2(s

)2

2(s

)[(s

)2

2

]

(s

)2

2(s

)2

222(s

)2

2(s

)2

2HAP(s)

2

2110(s

)[(s

)2

2

](s

)2

2Hmin

(s)

2

2

4.11线性系统的稳定性x(，)其输出生有限的输出的系统：即当输入 ，系y()统必

定是稳定的。一、系统的因果性与稳定性关于系统稳定性与因果性，在第一章中有过描述。第一章是针对所有系统而言。所谓稳定性是指有限的输入只能产所谓因果性是指输出不会发生在输入作用于系统之前：即当t<t0，x(t)=0，必定有t<t0，y(t)=0。对于冲击响应为h(t)的系统，其稳定性是指单位冲激响应满足绝对可积：

h(t)

dt

9证明：（1）充分条件：对任意有界输入e(t，)

系统的零状态响应为：r(t)

h(

)e(t

)dr(t)

h(

)

e(t

)

d代入对激励信号的约束条件，e(t)

Mer(t)

Me

h(

)

d如果h(t满)足则

h(t)

dt

Mr(t)

Me

M10证明：（2）必要条件（略）所谓因果性是指单位冲激响应满足下式：h(t)

h(t)u(t)那么， 续时间线性系统的因果性与稳定性，在拉氏变换情况下，即在s域如何描述呢？由系统单位冲激响应来描述系统的因果性与稳定性，这里就应该单位冲激响应的拉氏变换，即系统函数在s域的表现。首先看系统的因果性。当系统是因果的，其单位冲激响应是因果信号：h(t)

h(t)u(t)于是，根据拉氏变幻的收敛域分析知道，其拉氏变换—系统函数的收敛域应该是s平面上某一收敛轴

Re{s}=σ0的右半平面。换句话说，j011j0系统函数的极点只能分布在s平面上收敛轴Re{s}=σ0的左半平面。再看系统的稳定性。当系统是因果稳定的，其单位冲激响应应该满足绝对可积：

h(t)

dt

0因此，线性因果稳定系统的系统函数的收敛域应该是Re{s}>0，即它的收敛轴是s平面上的虚轴。也就是说，因果稳定系统的系统函数的极点，只能分布在s平面虚轴的左半平面上。j012j0如果系统函数的极点分布在s平面虚轴的上，将会如何呢？

通过具体的例子来说明。s位阶跃信号u(t),不满足绝对可积。但是其在t>0时，稳定不变。例如原点上的一阶极点，对应的因式是

，1对应的反变换是单的形式，对应的反变换是等幅的正余弦信号，也不满足绝对可积。但是在t>0时，其幅度稳定不变。如果在虚轴上的极点是多重，对应的时间信号将不满足绝对可积，且在t>0时，其幅度是逐渐增加的。再例如虚轴上的一对共轭极点，对应的因式是s2

2或s0 0s2

2013显然，虚轴上的极点不管是单阶的还是多重的，都使系统不稳定。但是也有称虚轴上单阶极点的情况为临界稳定的。事实上，一个稳定系统的系统函数，对其零点的个数也有要求。例如：设系统函数为：H

(s)

N

(s)

s

A(s)D(s)

D(s)A(s)/D(s)是有理真分式。当输入一有界的x(t)=u(t)，输出中就会出现冲激信号δ(t)，而冲激信号的幅度是

的。可见以上系统是不稳定的。根据以上分析，从s域判断线性系统的稳定条件应该是：⑴

系统函数的极点，均应分布在s平面虚轴的左半平面上；也即系统函数分母多项式的根，如果是实数，则应该是负实数；如果是复数，则应具有负的实部。⑵

系统函数的分子多项式的阶次，不应高于分母多项式的阶次。14例如：下图示一反馈系统，试求：⑴系统函数，⑵k满足什么条件时系统稳定？⑶在临界稳定时，求系统的单位冲激响应。G(s)

Vi

(s)

Vo

(s)解：⑴先求系统函数。

4s

4V

(s)

s2ksG(s)o

4s

4s2ks[V

(s)

V

(s)]V

(s)

i

o

o

(4

k)s

4V

(s)V

(s)s2ksi

H

(s)

o

⑵系统函数的极点：p1,2

2

(4

k)

(4

k)2

16当k>4系统函数有正实部的极点，系统不稳定。因此，应该是k<4。⑶当k=4时，系统函数为：H

(s)

h(t)

4

cos

2tu(t)

4s24s

s

s2

4s

415kV

(s)iVo

(s)G(s)f

(t)e

stdtBF

(s)

1

2

jf

(t)

jstF

(s)e

ds

j双边双边变换

逆变换象函数原函数记为：F

(s)

L

[f

(t)]记为：f

(t)

L

1[F(s)]Bilateral

Laplace

Transform(BLT)下面

双边

变换的收敛问题。4.12、双边变换16例：已知函数：f

(t)

u(t)

etu(t)波形如图。试确定f

(t的)解：（1）讨论ROCB的LTR。OCf

(t)e

t

dt0(1

)t0e

dt

te dt

BLT

的ROC为0

。

1170u(t)t0etu(t)tj01018（2）求BLTf

(t)e

stdtBF

(s)

0e(1s

)t

dt

0e

dt

st1

11

s

s19ROC

:

0

1BLT

可分解为两个UL来T处理，因此有两个边界。BLT一般t

0 :

1

t

0

:

2左边界 右边界若

1

，2

存BL在T

，反之，则不存在。在给出函数的BLT时，必须注明其

ROC1BF

(s)

1

s s

1ROC

:

0

11f

(t)

u(t)

etu(t)ROC

:

1ROC

:

0

203f

(t)

et

1

u(t)f2

(t)

1

e

u(t)t不同的函数在各不相同的RO条C

件下可能得到同样的B。LT4.13变换与变换的关系由第一节 知道，频率s=σ+jΩ上的推广，变换是变换是变换由实频率Ω至复变换在s平面虚轴上的特例。X

(s)

ℒ

{x(t)}

ℱ

x(t)e

X

(

j)变许多信号，将其 变换式中的jΩ换成s就是它的换，反之亦然。例如：单边指数衰减信号j

etu(t)

FT1

1

etu(t)

LT

变换与它的s

变换都有这种然而，并非所有信号的规律。例如：单位阶跃信号ju(t)

FT

()

1su(t)

LT

121一、变换收敛域包含虚轴此时，信号的 变换的极点在s平面上虚轴的左半平面。例如，上述的单边指数衰减的信号，其极点位于负实轴上。j

etu(t)拉氏变换收敛域此时，信号的 变换的收敛域包含了jΩ轴。负实轴上的重极点的例子：(

j

)21tetu(t)

FTs

)(21T

负实部的共轭复数极点的例子：00(

j

)2

2et

cos(

t)u(t)

FT

j

00(s

)2

2et

cos(

t)u(t)

LT

s

22二、变换收敛域不包含虚轴此时，信号的 变换的极点在s平面上虚轴的右半平面。例如，单边指数增长的信号，其极点位于正实轴上。其拉氏变换：jetu(t)的拉氏变换收敛域s

etu(t)

LT

1此时，由于信号是指数增长的，不满足绝对可积的条件，其

变换不存在。从s域看，信号的 变换的收敛域不包含虚轴，不能由其拉氏变换将s代以jΩ求得其 变换。23三、 变换的极点位于虚轴上例如：单位阶跃信号u(t)显然，当信号的 变换的极点是位于s平面虚轴上的极点，不能简单地将jΩ代替s已得到它的 变换。设信号x(t)的 变换为X(s)，它有虚轴上的单极点:jΩisu(t)

LT

1ju(t)

FT

()

1NX

(s)

X1

(s)

i1

s

jiAiNj

tii1x(t)

x1

(t)

Aie

u(t)Ni1i

iA

(

)

[

()

1X

(

j)

X

(

j)

]j124Ni

ii1A

(

)

[

()

1j1X

(

j)

X

(

j)

]i1N

Ai

(

i

)Ni1ij(

)Ai1

X

(

j)

N

X

(s)

|s

j

Ai

(

i

)i1此时，信号的变换包含两部分：一部分是将信号的拉氏变换X(s)中的s代以jΩ得到的，另一部分是对应于虚轴上单极点的冲激信号。设信号x(t)的 变换为X(s)，它有虚轴上的k重极点:jΩii(s

j

)kAi1X

(s)

X

(s)

25可以证明，此是对应的变换为：k1)(!X

j

X

s

|)()(

i

k

1)(

)A

jk

1s

j

i注意：单边拉氏变换在系统的瞬态分析，系统函数及其s