现代设计方法课程02优化设计6课件

§2.6多目标优化方法与离散变量优化问题

概述多目标优化方法离散变量的优化问题实际的工程设计和产品设计问题通常有多个设计目标，或者说有多个评判设计方案优劣的标准。为了使设计更加符合实际，要求同时考虑多个评价标准，建立多个目标函数，这就是多目标优化问题。其数学模型为：一、概述在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多，目标函数越多，设计的综合效果越好，但问题的求解也越复杂。在多数情况下各个目标函数的优化又往往是相互矛盾的，不能期望他们同时达到最优解，有时会产生完全对立的情况，即一个目标函数是优点，对另一个目标函数却是劣点。几个概念：若各个目标函数在可行域内的同一点都取得极小值，则称该点为完全最优解；使至少一个目标函数取得最大值的点称为劣解；除完全最优解和劣解之外的所有解称为有效解；多目标的优化实际上是根据重要性对各个目标进行量化，将不可比问题转化为可比问题，以求取一个对每个目标来说都相对最优的有效解。分类与方法：根据处理各个目标的不同方式分为两类：一类是将多目标问题转化为一系列单目标问题求解；另一类则根据多个目标构造一个综合的评价函数，然后以单目标优化问题进行求解。常用的方法有：主要目标法、统一目标法（线性加权法或加权组合法、理想点法或目标规划法、功效系数法、乘除法）、协调曲线法和设计分析法。二、多目标优化方法统一目标法主要目标法协调曲线法

设计分析法(一)统一目标法此法将各个目标函数称为分目标函数统一到一个总的“统一目标函数”中，即令

使多目标函数的最优化问题转变为单目标函数的最优化问题来求解。问题是：如何定义f(X)？这是这一方法的核心，多数情况下加权因子可以根据设计经验值接给出，有时也可按下式计算得到加权因子。其中，是以第j项的分目标函数构成的单目标优化问题的最优值。如何确定合理的加权因子?2.目标规划法或称为理想点法先分别求出各个分目标函数的最优值，然后根据多目标函数最优设计的总体要求，作适当调整，制定出理想的最优值构造如下评价函数和单目标优化问题：此问题的最优解是一个最接近完全最优解的有效解，故称这种方法为求解多目标问题的理想点法。寻求一个最接近完全最优解的有效解。显然，此问题的最优解既考虑了目标函数的重要性，又最接近完全最优解，因此，它是多目标优化问题的一个更加理想、更加切合实际的相对最优解。3.功效系数法每个分目标函数都可以用各个功效系数来表示该项设计指标的好坏，规定：表示第i个目标函数的效果最好表示第i个目标函数的效果最差。那么，多目标问题的一个设计方案的好坏程度可以用各功效系数的平均值加以评定，即总的功效系数，即表示该设计方案的好坏，显然，最优设计方案应是这样，当时表示取得最理想的设计方案，反之，表示这种设计方案不可行，也表明必有某项分目标系数的。如何求？一般第i个目标函数在点上的功效系数值可以由以下线性插值关系得到：其中和分别表示第i个目标函数的最大值和最小值。此法虽计算较繁，但较为有效，比较直观，调整容易，不论各分目标的量级及量纲如何，最终都转化为0-1间的数值，且一旦有一分目标函数值不理想（）时，其总功效系数必为零，表明设计方案不可接受，须重新调整约束条件或各分目标函数的临界值；另外，这种方法易于处理有的目标函数既不是愈大愈好，也不是愈小愈好的情况。4.乘除法此法是将多目标函数最优化问题中的全部q个目标分为：目标函数值愈小愈好的所谓费用类（如材料、工时、成本和重量等）。目标函数值愈大愈好的所谓效益类(如产量、产值、利润和效益等)。(二)主要目标法针对在多目标函数最优化问题中，往往各目标函数的重要程度是不一样的。针对这样一种实际情况，首先应考虑主要目标，同时兼顾次要目标。设计时先将全部目标函数按其重要程度进行排列，最重要的排在最前面。

然后依次求各个目标函数的约束最优值，这时其他目标函数则根据初步设计的考虑，给予适当的最优值的估计值(估计出最大值和最小值，在求得实际最优值后应以实际最优值进行替换)。这样就可使多目标函数的约束最优化问题，转换成一些单目标函数的约束最优化问题，寻求整个设计可以接受的相对最优解。(三)协调曲线法（图解法）此法是在整个设计空间，根据各个目标函数的等值线以及约束面在设计空间的协调关系，来寻求多目标函数最优设计的最优方案。主要用于求解简单的多目标优化问题。(四)设计分析法用本法求解：问题时，先求出每一个（单）目标函数的约束最优解，再相互制约地对设计进行分析、协调、修改，把各个设计目标调整到要求值上，并得到最理想的协调关系。尽管许多离散优化问题可以先按连续变量优化问题求解得到连续最优解，再进行离散化处理得到离散解，但有些问题，则需要直接求解离散最优解。直接求解离散优化问题的解法就是离散优化方法。由于离散变量不具备连续、可微等一系列解析性质，因此几乎所有连续变量优化方法对于求解离散变量优化问题都不适用，目前，对离散变量优化方法的研究在理论上和程序上仍不成熟，下面介绍离散变量优化问题的基本概念和一般解法。(二)离散变量优化问题的最优解数学模型：其中I为离散数列集合。可见，离散变量优化问题的求解，就是在满足所有约束条件的离散点的集合中寻求使目标函数极小化的离散最优点。由于设计变量不连续，所有满足约束条件的点只能构成可行集，记作I，不满足约束条件的点构成非可行集，记作。1.穷举法对某些实际问题，如果它的每个变量都是离散变量，且其离散点数是有限的，可以考虑采用穷举法，即计算各离散变量取值的所有组合的目标函数值，然后通过比较这些函数值来寻找最优点。这种方法适用于变量取值组合数有限的情况。2.曲线拟合技术所谓曲线拟合，就是根据离散量的点列图，选定一种曲线去拟合那些离散点，从而获得可以描述该点列离散规律的近似函数表达式，建立数学模型。针对这一数学模型就可以近似认为变量是连续的，可以用前述的优化方法编写优化程序及进行计算来求优，建立近似函数表示式常用的方法是：

(1)平均法假定在一组测量分析所得的离散值中，相对于一定的公称值，正负偏差出现的机会相等，那么在以这些公称值构造的代表线上，所有偏差代数和为零。故可用该代表线来表示这些离散数值的规律。(2)最小二乘法：拟合方程。这两种方法只能用于一元函数的拟合，对于多元函数，则必须采用回归分析方法获得多元线性回归方程或多元非线性回归方程，用以逼近多维离散量的分布状态。3.实用优化参数处理在处理离散型变量时，较实用的处理方法是：考虑有关的标准及规范：凡是与国家标准、部颁标准或设计规范有关的参数，都应参照相应数值进行修正，如滚珠直径、弹簧直径等，一般略大于优化参数值。考虑实际允许偏差处理时，要考虑设计参数规定的允差(及公差)，如配合尺寸孔径或轴径，在将优化所得的尺寸进行修正时，都应考虑配合种类及等级精度。4.离散惩罚函数法针对变量的离散型约束条件，可以建立如下形式的惩罚项：其中I为离散变量的下标集为一正指数，是与相邻的两个离散点，罚因子为一递增的正数序列，即可以看出，当时，，惩罚项等于零；当时，，惩罚项也等于零；当时，，惩罚项大于零。这就说明，惩罚项对离散点不惩罚，而对离散点之外的所有点都加以惩罚。离散惩罚项分析：按上面的惩罚项建立惩罚函数，则相应的离散变量优化问题变为：

改变罚因子并对此式不断求解，便可得到罚函数的离散型极小点序列，当时，该极小点序列逼近原离散变量优化问题的离散最优解。例：求解离散变量优化问题解：先解除离散型约束条件，取初始点用内点法求解连续最优解得到再用离散惩罚函数法求解，得到离散最优解：此离散最优解在可行域内，而且此解与连续最优解离散化后得到的解完全相同。离散化后即近似取整，四、优化结果分析优化设计计算完成后，需对计算的优化结果进行仔细的分析、检查其合理性，发现和改正一切可能的错误，以便得到一个符合工程实际的最优设计方案。对于优化结果给出的设计变量值，需要检查他们的合理性和可行性。利用约束函数值可以检查计算结果是否合理。对于大多数实际工程设计问题来说，最优解往往位于一个或几个不等式约束面上，这是最优解所在约束面，其约束函数值应该等于或接近于零；若不然，应考虑数学模型或最优化过程是否有误，若有误，可改变初始点或最优化方法重新进行计算。另外，经优化所得的结果一般只能认为是局部最优解，并不一定是全局最优解，尤其是多目标问题，为了使结果接近全局最优解，通常是多选几个初始点进行试算，或选用不同的优化方法进行试算，从所得各个最优解中筛选出最佳的结果来作为最优解。有时，还需对计算结果进行必要的处理，如工程设计中的设计变量，并非都是连续性的，往往是在一个问题中既有连续性的（如齿宽）又有整数性的（如齿数），也有离散性的（如模数），对于设计变量全为整数型的最优设计问题，可用整数规划方法求解。而对于具有上述混合型设计变量的最优化设计问题，有时则可将全部设计变量都假定为连续性的，在取得最优解后，在进行必要的处理，将求得的原为整数型和离散型的设计变量的非整数值和非应有的离散值，调整到离他最近的整数值和离散值（只允许向可行域内调整）。【本节思考题】1.各种多目标优化方法分别是如何处理多个优化目标的？2.各种多目标优化方法的使用有什么原则？

本章小节1.优化问题的数学模型：设计变量与设计空间目标函数与约束条件（什么是起作用约束）

可行域与等值线优化问题的图解法优化问题的最优解要么是一个内点，要么是目标函数等值线在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点。2.优化设计的极值条件与数值迭代法梯度优化问题的极值条件、k-t条件数值迭代法的基本思想与基本迭代公式数值迭代的终止准则

点距准则值差准则梯度准则3.一维搜索方法一维搜索的数学形式与几何意义单峰区间的定义与特点寻找单峰区间的进退法区间消去法

黄金分割法内分点计算公式和区间缩减原则、迭代步骤二次插值法：基本思想与区间缩减原则4.无约束优化方法梯度法：基本思想、搜索方向确定、迭代步骤牛顿法：牛顿方向、基本牛顿法和阻尼牛顿法的迭代步骤变尺度法：基本思想、搜索方向确定