人教版数学七年级下册 8.3 实际问题和二元一次方程组2-提升版-销售、顺逆、相遇、追击、环路、其

第8章第3节实际问题与二元一次方程组2辅导科目数学年级七年级教材版本人教版讲义类型提升版（适用于考试得分率介于60%-80%之间的学员）教学目的以含有多个未知数的实际问题为背景，让学生经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型。使学生熟练掌握用方程组解决实际问题。重、难点重点：销售问题、顺逆问题、相遇问题、追击问题、环路问题、工程问题难点：从实际问题中抽象出方程组授课时长建议授课时长2小时教学内谷【课程导入】张强和李毅二人分别从相距20千米的A.B两地出发，相向而行，如果张强比李毅早出发30分钟，那么在李毅出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米。求张强、李毅每小时各走多少千米。■张営zsd、时起的辭桿李鯉刨、时走的碑程千米V千来£rrT1【新知讲解】□知识点一：销售问题在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在商品销售问题中，首先理解几个概念：（1）成本价：有时也称进价，是商家进货时的价格；（2）标价：商家在出售时，标注的价格；（3）售价：消费者购买时真正花的钱数；（4）利润：商品出售后，商家所赚的部分；（5）利润率：商品出售后利润与成本的比值；（6）打折：以标价为基础，按一定比例降价出售，如：打8折，就是按标价的80%出售。商品打几折出售，就是按原标价的十分之几出售，即商品售价=商品标价X折扣率（7）盈亏问题：关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量。在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系：标价=进价X（1+利润率）利润=售价一进价利润率=利润100%进价利润=进价X利润率实际售价=标价X打折率□例题甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价,乙服装按40%的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？□练习商店新进一批商品准备出售，若打8折出售，则10天可以售完，并能获利10000元；若打7.5折出售8天可以售完，可获利8000元，商品存放一天需要100元的存货费，求这批商某大型超市投入15000元资金购进A、B两种品牌的矿泉水共600箱，矿泉水的成本价和销售价如下表所示：类别/单价成本价(兀/箱)销售价(元/箱)A品牌2032B品牌3550(1)该大型超市购进A、B品牌矿泉水各多少箱?(2)全部销售完600箱矿泉水，该超市共获得多少利润?§知识小结□知识点二：顺逆问题航行问题：①船在静水中的速度+水速二船的顺水速度；船在静水中的速度一水速二船的逆水速度；顺水速度一逆水速度=2X水速。飞机问题同样会出现顺风和逆风，解题方法与船顺水、逆水问题类似。3.三个基本量间的关系:路程3.三个基本量间的关系:路程=速度x时间；速度=时间;路程

速度□例题两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。一架直升机在A，B两个城市之间飞行，顺风飞行需要4小时，逆风飞行需要5小时•如果已知风速为30km/h，求A，B两个城市之间的距离.□练习一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时,逆流航行比顺流航行多用4小时.求该轮船在静水中的速度和水流速度；若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少干米？一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需2小时50分，逆风飞行需要3小时。求无风时飞机的飞行速度和两城之间的距离。A、B两地相距80千米，一艘船从A出发。顺水航行4时到B,而从B出发逆水航行5时到A，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别为存在静水中的速度与水流速度的和与差，求船在静水中的速度和水流速度。□知识点三：相遇问题相遇问题（或相向问题）：两人同时从不同地点出发，相向而行，直到相遇.两人不同时从不同地点出发，相向而行，直到相遇.这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和二两地的距离。基本量及关系：相遇路程=速度和X相遇时间寻找相等关系：快行距+慢行距二原距即甲走的路程+乙走的路程二两地距离相遇问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，可画线段图帮助理解与分析。□例题A、B两地相距20km，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，2小时后在途中相遇，然后甲返回A地，乙仍继续前进，当甲回到A地时，乙离A地还有4km,求甲、乙的速度.甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机。这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？□练习某班同学去18千米的北山郊游。只有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车、乙组步行。车行至A处，甲组下车步行，汽车返回接乙组，最后两组同时达到北山站。已知汽车速度是60千米/时，步行速度是4千米/时，求A点距北山站的距离。甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？§知识小结□知识点四：追击问题追及问题：两人同地不同时，同向而行，直到后者追上前者其等量关系是：两人所走的路程相等.（两人所用时间不同）两人同时不同地，同向而行，直到后者追上前者•其等量关系是：两人所走的路程之差=开始时两者相距的路程（即为起始两地的距离）.（两者所用时间相等）两人不同时不同地，同向而行，直到后者追上前者.其等量关系是：两人所走的路程之差=开始时两者相距的路程（为起始两地的距离）.（两者所用时间不同）基本量及关系：追及路程=速度差X追及时间寻找相等关系：快行距一慢行距二原距第一，同地不同时出发：前者走的路程二追者走的路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离二追者走的路程，追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析。※例题甲乙二人同时从A地到B地，甲每分钟走250米，乙每分钟走90米。甲到达B地后立即返回A地，在离B地3.2千米处相遇。A、B两地之间相距多少千米？甲乙两人练习赛跑如果甲让乙先跑10m，甲跑5s就能追上乙，如果乙先跑2s,那么甲跑4s就能追上乙，求两人每秒各跑多少米。□练习小平和小红同时从学校出发步行去小平家，小平每分钟比小红多走20米。30分钟后小平到家，到家后立即沿原路返回，在离家350米处遇到小红。小红每分钟走多少米？某车站有甲、乙两辆汽车，若甲车先出发1h后乙车出发，则乙车出发5h后追上甲车；若甲车先开出20km后乙车出发，则乙车出发4h后追上甲车，求甲乙两车的速度§知识小结□知识点五：环路问题环形跑道追及、相遇问题等同于直线追及、相遇问题。同时同地相向而行第一次相遇（相当于相遇问题）：甲的路程+乙的路程二跑道一圈长同时同地同向而行第一次相遇（相当于追及问题）：快者的路程一慢者的路程二跑道一圈长□例题1.甲、乙两人在周长为400米的环形跑道上练跑，如果同时同地相向出发，每隔2.5分钟相遇一次；如果同时同地同向出发。每隔10分钟相遇一次，假定两人速度不变，且甲快乙慢，求甲、乙两人的速度。□练习1.甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，如果同向跑，每隔31分钟相遇一次，如3果反向跑，则每隔40秒相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲、乙两人的速度？甲、乙两人在周长为400m的环形跑道上练跑，如果反向出发，每隔2.5min相遇一次；如果同向出发，每隔10min相遇一次，假定两人速度不变，且甲快乙慢，求甲、乙两人的速度§知识小结□知识点六：其它行程问题常见的主要有过桥、错车、上下坡/变速问题。1.过桥问题车辆或火车行驶的路程=桥梁（隧道）长度+车身长度2•错车问题①相遇错车问题（相向而行）结论：两车相向而行，路程为两车车长总和，速度为两列车的速度之和;②追击错车问题（同向而行）结论：两车同向而行，路程为两车车长总和，速度为两列车的速度之差；□例题已知某一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒钟，求火车的长度和火车的速度。

客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长450米，货车长600米•如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需21秒钟；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾离开货车车头共需1分45秒，求两车的速度.袁峰家离学校1880米，其中一段为上坡路，其余为下坡路，他跑步去学校共用时16分钟，，已知他上坡的速度为4.8千米/小时，下坡的速度为12千米/小时，那么，袁峰上坡、下坡各用了多长时间。※练习1.与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6km，骑自行车的人的速度是每小时10.8km。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。(1)行人的速度为每秒多少米?(1)行人的速度为每秒多少米?(2)这列火车的车长是多少米?2.一列客车长200m,—列货车长280m,在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车尾相离经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3:2,问两车每秒各行驶多少米?从少先队夏令营到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以12km/h的速度下山,以9km/h的速度通过平路，到学校共用了55分钟，回来时，通过平路的速度不变，但以6km/h的速度上山，回到营地又花去了1小时10分，问夏令营到学校的距离是多少公里?§知识小结□知识点七：工程问题工程问题：工作量=工作效率X工作时间一般的工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即工作量=工作时间X工作效率；工作时间=工作量F工作效率；工作效率=工作量F工作时间当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量.□例题1.某市准备对一段长120m的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天；设甲工程队平均每天疏通河道xm,乙工程队平均每天疏通河道ym，求x+y的值2.小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元•若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.※练习1.某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。2.一项工程，甲队单独做要12天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要20天完成.按原定计划，这项工程要求在7天内完成.现在甲、乙两队先合做若干天，以后为加快速度，丙队也同时加入这项工作，这样比原定时间提前1天完成任务.问：甲、乙两队合做了多少天？丙队加入后又做了多少天？【课堂检测】王先生开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50件，甲种商品的进价是每件35元,利润率是20%，乙种商品的进价是每件20兀，利润率是15%，共获利278兀，你知道王先生分别购进甲乙两种商品各多少件吗？一条船往返于甲乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶。已知船在静水中的速度为8km/h，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2：1，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了9h.问甲乙两港相距多远？A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出.（1）如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向（沿BA方向）而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度；（2）如果慢车先开出1小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇？甲、乙两人赛跑，如果乙比甲先跑8m,那么甲跑4s就能追上乙；如果甲让乙先跑Is,那么甲跑3s就能追上乙，求甲乙两人的速度甲、乙两人都以不变速度在400米的环形跑道上跑步，两人在同一地方同时出发同向而行,甲的速度为100米/分乙的速度是甲速度的3/2倍，问（1）经过多少时间后两人首次遇（2）第二次相遇呢？小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路•假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟•请问小华家离学校多远？某超市进行装修，若请A.B两个装修队同时施工，6天可以完成，需付两队装修费共3600元，若先请A队单独做4天，再请B队单独做9天可以完成，需付装修费3500元。(1)A、B两装修队工作一天，超市各应付多少元给他们?(2)已知A队单独完成需10天，B队单独完成需求15天，单独请哪个队超市所需费用最少?若装修完，超市每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于超市?请说明理由【课堂总结】尝试画出本次课所学知识结构图。【课后作业】1.某商场第1次用39万元购进A,B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润二单件利润X销售量）商品价格AB进价（元/件）12001000售价(元/件)13501200该商场第1次购进A,B两种商品各多少件？商场第2次以原进价购进A,B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原售价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于54000元，则B种商品是打几折销售的？华联商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%，乙商品加价40%作为标价，后适逢元旦商场搞促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折销售。某顾客购买甲、乙商品各一件，共付款538元，已知商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价。A、B两个港口相距300千米，若甲船顺水自A驶向B,乙船同时自B逆水驶向A,两船在C处相遇。若乙顺水自A驶向B,甲船同时自B逆水驶向A,两船在D处相遇。C、D相距30千米，已知甲船速度为27千米/小时，则乙船速度是多少千米/小时？4.从A地到B地的航线长9750km。一架飞机从A地顺风飞往B地需要12.5h，它逆风飞行同样的航线需要13h,请问该飞机的静风速度和风速各是多少？甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？92甲，乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行5小时相遇.如果甲比乙先出发亍小3时，那么乙出发后2小时两人相遇.求：两人的速度各是多少？某站有甲乙两辆汽车，若甲车先出发1小时后乙车出发，则乙车出发后5小时追上甲车；若甲车先开出30千米后，乙车出发，则乙车出发4小时后乙车所走的路程比甲车所走的路程多10/