【绿色通道】高考数学总复习 42平面向量基本定理及坐标表示 新人教A

编辑ppt考纲要求1.了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．热点提示1.向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条件是高考考查的热点，常以选择、填空题的形式出现，为中、低档题．2．向量的坐标运算常与三角，解析几何等知识结合，在知识交汇点处命题，以解答题的形式呈现，属中档题.编辑ppt编辑ppt(2)范围向量夹角θ的范围是

，a与b同向时，夹角θ＝

；a与b反向时，夹角θ＝

.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是

，则a与b垂直，记作

.0°≤θ≤180°0°180°90°a⊥b编辑ppt提示：不正确．求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量a与b的夹角为π－∠ABC.

编辑ppt2．平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个

向量，那么对于这一平面内的任意向量a，

一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．不共线有且只有编辑ppt(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个

的向量，叫做把向量正交分解．(3)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对

叫做向量a的坐标，记作a＝

，其中

叫做a在x轴上的坐标，

叫做a在y轴上的坐标．互相垂直(x，y)(x，y)xy编辑ppt②设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为

，反之亦成立．(O是坐标原点) (x，y)编辑ppt3．平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算向量aba＋ba－bλa坐标(x1，y1)(x2，y2)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)编辑ppt(2)向量坐标的求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)则＝

，即一个向量的坐标等于

．(3)平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线⇔a＝λb⇔

.(x2－x1，y2－y1)该向量终点的坐标减去始点的坐标x1y2－x2y1＝0编辑ppt若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件能不能写成

提示：不能．因为x2，y2有可能为0，故应表示成x1y2－x2y1＝0.

编辑ppt编辑ppt答案：A

编辑ppt2．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为 ()A．(2,6) B．(－2,6)C．(2，－6) D．(－2，－6)编辑ppt解析：由题知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)．2(a－c)＝(4，－2)，由题意知：4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋d＝0，即(2,6)＋d＝0，故d＝(－2，－6)，选D.答案：D编辑ppt编辑ppt答案：(2,4)(－3,9)(－5,5)

编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt答案：2

编辑ppt【例2】(2009·广东卷)若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.思路分析：可以先设向量a的坐标为(m，n)，则由条件可以得到关于m，n的方程组，解方程组可得m，n的值．编辑ppt编辑ppt本题主要是考查向量加法的坐标运算及向量模的运算，信息量小，运算量少，考查了方程的思想.

编辑ppt变式迁移2已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值．解：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝.编辑ppt【例3】如右图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．编辑ppt编辑ppt编辑ppt求交点坐标问题就是共线向量的应用.

编辑ppt编辑ppt答案：D

编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt向量的工具性在解析几何中可以得到充分地体现，因此，近年的高考中常有解析几何与平面向量交汇的题目．向量的坐标运算在解析几何中的应用主要体现在：用向量给出的条件可以转化为向量的坐标的关系，而向量的坐标与曲线上点的坐标往往具有内在的联系，将这种内在的联系挖掘出来，也就找到了解题的思路．解析几何中的平行，求轨迹方程，求最值等问题都可以很容易地与平面向量结合起来，而向量的坐标运算也可以使这些问题的求解过程变得简单易行.

编辑ppt编辑ppt编辑ppt1．在平面向量基本定理的学习中，要注意定理的应用条件，e1、e2是一组不共线向量，当基底确定后，这种表示是唯一的．而对于基底的选取却不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量，都可以作为一组基底．平面向量基本定理是平面向量的重要内容，它是向量运算数量化、代数化的依据，为后面的学习奠定了基础．编辑ppt在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多．2．向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样可以将许多几何问题转化为同学们熟知的数量运算．